【课件】正方形2025-2026学年人教版八年级数学下册

21.3.3正方形1．理解并掌握正方形的判定和推导过程．2．能熟练运用正方形的判定进行计算和证明．如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开．怎样剪才能剪出一个正方形？？知识回顾2.菱形的性质：（1）角：菱形的对角相等．（2）边：菱形的四条边都相等．（3）对角线：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.ABCOD新知导入除了矩形、菱形之外，正方形也是特殊的平行四边形，那么它们之间有什么关系吗？正方形下面开始本节课的学习探究新知除了矩形、菱形之外，正方形也是特殊的平行四边形，那么它们之间有什么关系吗？有一个直角一组邻边相等矩形？？正方形菱形平行四边形探索新知猜想2：正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角.已知：如图，四边形

ABCD是正方形，对角线

AC、BD相交与点

O.求证：AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD.ABCDO证明：在四边形

ABCD中，∵正方形是矩形，∴AO＝BO＝CO＝DO.又∵正方形是菱形，∴AC⊥BD.探索新知正方形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？请同学们用正方形纸片折一折，看看你能发现什么？ABDC正方形是轴对称图形，有四条对称轴，分别是对边中点的连线以及两条对角线所在的直线.正方形的四条边都相等，说明正方形是特殊的菱形.正方形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？请同学们用正方形纸片折一折，看看你能发现什么？ABDC正方形是轴对称图形，有四条对称轴，分别是对边中点的连线以及两条对角线所在的直线.求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.例5已知：如图，四边形ABCD

是正方形，对角线AC，BD

相交于点O.求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO

是全等的等腰直角三角形.ABDCO证明：∵四边形ABCD

是正方形，∴AC=BD，AC⊥BD.∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°，AO=BO=CO=DO

.∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO

都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.ABDCO（SAS）归纳总结5种判定方法三个角是直角四条边相等一个角是直角或对角线相等一组邻边相等或对角线垂直一组邻边相等或对角线垂直一个角是直角或对角线相等一个角是直角且一组邻边相等平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结或对角线垂直且相等A例2

如图，在正方形ABCD中，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE.(1)求证：BF=DE；

例2

如图，在正方形ABCD中，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE.(2)当点E运动到AC的中点时(其他条件都保持不变)，四边形AFBE是什么特殊四边形？请说明理由.

已知：如图，在菱形

ABCD中，对角线

AC=DB.求证：四边形

ABCD是正方形.对角线相等的菱形是正方形.ABCDO猜想：

剩余猜想，同学们自己动手证明一下吧！证明：∵

四边形

ABCD是菱形,∴

AB=BC=CD=AD，AC⊥DB.∵

AC=DB，∴AO=BO=CO=DO.∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC是等腰直角三角形.∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°.∴

四边形

ABCD是正方形.常用的正方形判定方法：定义法矩形法菱形法有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.有一组邻边相等的矩形是正方形.对角线相互垂直的矩形是正方形.有一个角是直角的菱形是正方形.对角线相等的菱形是正方形.归纳总结证法2：如图.∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°.∵BE为∠ABC的平分线,EF⊥AB,EG⊥BC,∴∠1=∠2=45°,EF=EG.∴∠3=∠4=45°,∴∠1=∠3,∠2=∠4,∴BF＝EF,BG＝EG.∴BF=EF=EG=BG,∴四边形EFBG是菱形.又∠FBG=90°,∴菱形EFBG是正方形.例题精析ADBCEFG1234

如图,Rt△ABC的两条外角平分线相交于点D,∠B=90°,过点D分别作DE⊥BA于点E,DF⊥BC于点F.（1）求证：四边形BFDE是正方形；（2）若BF=6,C为BF的中点,求AE的长.对应训练ABCFDE2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是A.当AB=BC时，四边形ABCD是菱形B.当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C.当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形D.当AC=BD时，四边形ABCD是正方形√课堂练习3.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC；②∠ABC=90°；③AC=BD；④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的组合是

(只填写序号).

②③和①④课堂练习正方形判定1判定2判定3判定4对角线互相垂直的矩形是正方形.有一组邻边相等的矩形是正方形.对角线相等的菱形是正方形.有一个角是直角的菱形是正方形.课堂小结1.如图，在直角三角形中，∠C=90〫，∠A,∠B的平分线交于点D，DE⊥AC，DF⊥C