公式法第2课时（教学课件）数学新教材北师大版八年级下册

4.3公式法

第四章

因式分解第2课时学

习

目

标1.理解并掌握用完全平方公式分解因式;（重点）2.灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解进行计算．（难点）知识回顾2.把下列各式分解因式:(1)ax4-ax2;(2)x4-16.提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)；平方差公式法：a2-b2=(a+b)(a-b).解:(1)ax4-ax2=ax2(x2-1)=ax2(x+1)(x-1).(2)x4-16

=(x2+4)(x2-4)=(x2+4)(x+2)(x-2).1.因式分解学过了哪些方法？有公因式，先提公因式.因式分解要彻底.情境引入填空：（1）(a+2b)2＝

；（2）(3a-b)2

＝

.a2+4ab+4b29a2-6ab+b2

以上都是用完全平方公式：(a+b)2＝a2+2ab+b2，(a-b)2＝a2-2ab+b2计算得出来的.整式的乘法上述算式有什么共同特征？如果将上面的算式等号左右两边交换位置，等式还成立吗？根据上述问题中的等式填空：（1）a2+4ab+4b2＝

；（2）9a2-6ab+b2＝

.新知探究

探究一：用完全平方公式因式分解(a+2b)2(3a-b)2

根据学习用平方差公式因式分解的经验和方法，你能将形如“a2+2ab+b2、a2-2ab+b2”的式子因式分解吗？因式分解它们有什么共同特征？你能由此得到什么结论？新知探究用完全平方公式因式分解：知识归纳分别把乘法公式(a+b)2＝a2+2ab+b2，(a-b)2

＝a2-2ab+b2反过来，就得到:语言叙述：两个数(或式子)的平方和加上(或减去)这两个数(或式子)的积的2倍，等于这两个数(或式子)的和(或差)的平方.形如a2±2ab+b2的式子称为完全平放式.a2+2ab+b2＝(a+b)2

，

a2-2ab+b2＝(a-b)2

.下列各式是不是完全平方式？（1）a2－4a+4;（2）1+4a²;

（3）4b2+4b-1;（4）a2+ab+b2;

（5）x2+x+0.25.新知探究是（2）因为它只有两项；不是（3）4b²与-1的符号不统一；不是分析：不是是（4）因为ab不是a与b的积的2倍.新知探究完全平放式的特点：知识归纳1.是三项式（或可以看成三项）；2.有两个同号的数或式的平方；3.中间是这两个数的积的±2倍.

只有完全平放式才可以用完全平方公式因式分解.注意：公式中的a，b既可以是单项式，也可以是多项式.新知探究

B

1.把下列各式因式分解：(1)x2＋14x＋49；

(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9.新知探究解：(1)x2＋14x＋49＝

x2＋2×7x＋72

＝(x＋7)2；(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9＝[(m＋n)－3]2＝(m＋n－3)2.将m+n看成成一个整体.新知探究2.把下列各式因式分解：(1)3ax2＋6axy＋3ay2；(2)－x2－4y2＋4xy.解：(1)3ax2＋6axy＋3ay2＝3a(x2＋2xy＋y2)＝3a(x＋y)2；(2)－x2－4y2＋4xy＝－(x2＋4y2－4xy)＝－(x2－4xy＋4y2)＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2]＝－(x－2y)2.先提取公因式.首项系数为负数，一般先提取“-”号.新知探究用完全平方公式因式分解的注意事项：知识归纳

运用完全平方公式因式分解所得结果是“和的平方”还是“差的平方”,取决于“积的二倍项的符号”与“平方项的符号”的关系:“积的二倍项”与“平方项”同号时,结果是和的平方;异号时,结果是差的平方。新知探究2.把多项式8a3-8a2+2a因式分解,结果正确的是(

)A.2a(4a2-4a+1) B.8a2(a-1)C.2a(2a-1)2 D.2a(2a+1)2C新知探究公式法知识归纳

根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法.新知探究

探究二：完全平方公式因式分解的应用解：(1)2022+202×196+982＝2022+2×202×98+982＝(202+98)2＝3002＝90000.利用完全平方公式因式分解，可以简化计算.(2)38.92-2×38.9×48.9+48.92＝(38.9-48.9)2＝(-10)2＝100.1.利用完全平方公式因式分解计算下列各式：(1)2022+202×196+982；

(2)38.92-2×38.9×48.9+48.92.新知探究

方法归纳：解答此类问题的关键是对原式进行变形，将原式转化为含已知代数式的形式，然后整体代入求值.新知探究（1）回顾从整式乘法到因式分解的探索过程，你有哪些感悟？（2）在解决哪些问题时，用因式分解的方法更加便利？请举例说明.提示：整式乘法与因式分解是互逆的恒等变形,可以利用整式乘法来检验因式分解的结果是否正确。因式分解是解题的工具,可以将复杂的多项式转化为乘积形式,方便化简与计算。新知探究

在进行因式分解时,应遵循“一提、二套、三检查”的原则，一般按如下步骤进行:因式分解的一般步骤：知识归纳典例分析

把下列各式因式分解:(1)a2+4a+4;(2)(x-1)2-6(x-1)+9;

(3)(x2+4)2-16x2.

例1解:(1)a2+4a+4=a2+2·a·2+22

=(a+2)2.(2)(x-1)2-6(x-1)+9=(x-1)2-2·(x-1)·3+32=[(x-1)-3]2=(x-4)2.(3)(x2+4)2-16x2=(x2+4)2-(4x)2=(x2+4+4x)(x2+4-4x)=(x+2)2(x-2)2.

已知a,b,c分别是△ABC三边的长,且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状,并说明理由．例2典例分析∴△ABC是等边三角形．解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得

a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即(a－b)2＋(b－c)2＝0，∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，巩固练习1.下列不能用公式法因式分解的是(

)A.a2-6a+9B.1+4a2C.4b2+4b+1D.a2+2ab+b2B

D4.如图是长与宽分别为a,b的长方形,它的周长为14,面积为10,则a3b+2a2b2+ab3的值为(

)A.2560B.490C.70D.49巩固练习

BCA巩固练习7.因式分解：y3−4y2+4y＝

.y(y−2)28.若m2=n+2025，n2=m+2025，且m≠n，则代数式m3-2mn+n3的值为

.-20259.为了烘托新年的节日氛围,市政人员在某广场上用鲜花摆放了一个圆形花坛,已知该花坛的面积为πa2+18πab+81πb2(a>0,b>0)平方米,则这个圆形花坛的半径为

.

(a+9b)米6.下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是

.(填序号)①x2-2x-2；②x2+1；③x2-4x+4；④x2+4x+1.③巩固练习10.把下列各式因式分解:(1)4x2+8x+4;(2)(x-2y)2+8xy.(3)-9x3+18x2-9x;

(4)(x2+4)2+8x(x2+4)+16x2.(3)-9x3+18x2-9x=-9x(x2-2x+1)=-9x(x-1)2.(4)(x2+4)2+8x(x2+4)+16x2=(x2+4)2+2·(x2+4)·4x+(4x)2=(x2+4+4x)2=(x+2)4.(2)(x-2y)2+8xy=x2-4xy+4y2+8xy=x2+4xy+4y2=(x+2y)2.解：(1)4x2+8x+4=4(x2+2x+1)=4(x+1)2.巩固练习11.已知x2+4x+y2−2y+5＝0,求xy的值.解：∵x2+4x+y2−2y+5＝0，∴(x2+4x+4)+(y2−2y+1)=0，

即(x+2)2+(y−1)2＝0,∴x+2＝0，y−1＝0.

∴x＝−2，y＝1.∴xy＝−2.巩固练习12.已知a,b,c分别是△ABC的三边长.(1)分别将多项式ac-bc,-a2+2ab-b2进行因式分解;(2)若ac-bc=-a2+2ab-b2,试判断△ABC的形状,并说明理由.解:(1)ac-b