青海省西宁市2025-2026学年下学期高二数学4月第一次阶段检测（含答案）

2025~2026学年度第二学期第一次阶段高二数学考生注意1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分,考试时间120分钟。2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。4．本卷命题范围:人教A版选择性必修第二册第五章。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数fx的导函数为f′x,若limfA.-5B.-1C.1D.52.已知函数fx=2x2−x+1,则A.2B.2C.2Δx3.函数fx=A.1e,+∞C.e,+∞D.04.函数fx=A.-9B.0C.535.已知函数fx=x3A.2B.1C.-1D.-26.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是ABCD7.已知定义在R上的函数fx，其导函数为f′x，且A.f2026>C.ef2026<8.若函数fx=12x+cosx−m在区间A.π4,C.π6,二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.下面导数运算正确的是A.cosπ2C.xsinx10.设f′x是函数fx的导函数，下列将y=fxABCD11.已知fx是定义在R上的奇函数,且当x>0时,A.f0=0B.当x<C.fx≥2当且仅当x≥3D.x=−26-T-523B三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.一作直线运动的质点的位移y(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为yt=12t2+t13.若直线y=2x+5是曲线y=14.已知函数fx=x3−3x2−mx四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(本小题满分13分)已知函数fx=lnx−a(1)求a的值；(2)求曲线y=fx在16.(本小题满分15分)已知函数fx(1)求f′x(2)求fx的极值及在1e17.(本小题满分15分)将一条长为l的铁丝截成两段,分别弯成两个正方形,要使两个正方形的面积和最小,两段铁丝的长度分别是多少?18.(本小题满分17分)给定函数fx(1)判定函数fx的单调性，并求出fx(2)画出fx(3)求出方程fx=19.(本小题满分17分)已知函数fx=ln1+x(1)证明:fx在区间0,+∞(2)设x1，x2分别为fx在区间(i)设函数gt=fx1+t−fx(ii)比较2x1与x2025~2026学年度第二学期第一次阶段检测·高二数学参考答案、提示及评分细则1.Df′−5=2.B函数fx=2x2−x+1从1到3.A函数fx的定义域为0,+∞,f′x=lnx+x⋅1x=lnx+1,令4.C因为fx=13x3−x2−3xx≤0,所以f′x=x2−2x−3,令f′x>0,得x<−1,令5.B由题意得f′x=3x2+3−2f6.C考查四个选项,横坐标表示时间,纵坐标表示的是距学校的距离,由此知,此函数图象一定是下降的,由此排除A；再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与x轴平行，由此排除D，之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快,由此可确定C正确,B不正确.故选C.7.B令Fx=fxex,则F′x=f′x−fxex>0,所以F8.D由fx=12x+cosx−m,得f′x=12−sinx,令f′x=0,得x=π6,当x∈0,π6时,f′x> 0,fx单调递增,当x∈π6,π2时,f′x<09.BC由导数的运算公式,得cosπ2′=0,lnx′10.ABC对于A，有可能二次函数为原函数，直线为导函数，原函数先增后减，导函数先正后负，符合要求，故A正确；对于B，有可能x轴上方曲线为导函数，另一支为原函数，原函数始终单调递增，导函数始终为正，符合要求，故B正确；对于C，有可能x轴上方曲线为导函数，另一支为原函数，原函数始终单调递增，导函数始终为正,符合要求,故C正确;对于D,无论谁作导函数,谁作原函数,都无法同步,故D错误.故选ABC.11.ABD因为函数fx是定义在R上的奇函数,所以f0=0, A正确;当x<0时,−x>0,fx= −f−x=−x2−3e−x−2, B正确;f−1=−1−3e−2=2e−1>2,C错误;当x<0时,12.3由题意得y′t=t+1，所以y′2=13.4解法一:对于y=ex+x+a,其导数为y′=ex+1,因为直线y=2x+5是曲线的切线,直线的斜率为2,令y′=ex+1=2,即ex=1,解得x=0,将x=0解法二:对于y=ex+x+a,其导数为y′=ex+1,假设14.(−∞,−3]由fx=x3−3x2−mx,得f′x=3x2−6x−m,因为fx在0,+∞上单调递增,所以f′x≥0在15.解:(1)由fx=lnx−ax因为f′2=−152，所以f′(2)由(1)，得fx=lnx−2x2由f′x=1x−所以曲线y=fx在x=1处的切线方程为y−16.解:(1)由题意得fx的定义域为0,+∞f′x=2x−3+1所以f′x的最小值为2(2)由(1)知f′x令f′x>0,得0<x<12,或x所以fx的单调递增区间为0,12和1,+∞所以fx在x=12处取得极大值,在x所以fx的极大值为f12=−54又f1e显然f1e2<f1,fe2>f115分17.解:设一个正方形的边长为x,则另一个正方形的边长为l4−∴两个正方形的面积和S=x2+l∴x=l8时故当0<x<l8时,S′<0,S单调递减;当∴当x=l8时,S的极小值也是最小值为l232综上,当两段铁丝的长度都为l2时,它们的面积和最小.1518.解:(1)函数fx=x+2ex的定义域为R，求导得f′x=x当x∈−∞,−3时,f′x<0,当因此函数fx在−∞,−3上单调递减，在−3,+∞上单调递增，在x=−3处取得极小值所以函数fx的单调递减区间为−∞,−3,单调递增区间为−3,+∞;极小值为6分(2)由(1)知，函数fx在−∞,−3上单调递减，在−3,+∞上单调递增，f由fx=0,得x=−2,又f0=2,因此函数当x<−2时,fx<0恒成立,当x≥0时,fx≥2ex于是函数fx在[−3,+∞)的值域为在坐标平面内作出函数y=f11分(3)方程fx=aa∈R的解,即为直线y=a由(2)知,当a<−1e3时,直线y=a当−1e3<a<0时,直线y=当a=−1e3或a≥0时,直线y=a所以当a<−1e3时,fx=a没有解;当−1e3<a<0时,fx=a19.(1)证明:因为fx=ln所以f′x当x>0时,令f′x=所以当0<x<13k−1时,f′x>0,所以fx在0,+∞上存在唯一的极值点.又因为f13k−1>f0=0,f12k=ln