新定义4以概率知识为背景的新定义解答题

新定义4以概率知识为背景的新定义解答题【题型解读】与概率、统计有关的新定义问题主要有两个类型:(1)以高等数学知识为背景的问题;(2)概率、统计方法的新定义问题.解概率与统计下的新定义问题,就是要细读定义关键词,理解本质特征,适时转化为“熟悉”问题.类型一概率、统计方法的新定义问题【例1】条件概率与条件期望是现代概率体系中的重要概念.近年来,随着人们对随机现象的不断观察和研究,条件概率和条件期望已经被广泛地运用到日常生产生活中.定义:设X,Y是离散型随机变量,则X在给定事件Y=y条件下的期望为E(X|Y=y)=∑i=1nxi·P(X=xi|Y=y)=∑i=1nxi·P(X=xi,Y=y)P(Y=y),其中{x1,x2,…,xn}为X的所有可能取值集合,P(X=x,Y=y)表示事件“X=x”与事件“(1)求P(ξ=2,η=5),P(η=5);(2)求E(ξ|η=5),E(ξ|η=n)(n≥2).【解析】(1)由题设,P(ξ=2,η=5)=(1-p)·p·(1-p)·(1-p)·p=(1-p)3p2,P(η=5)=C41(1-p)3p2=4(1-p)3p(2)由题设,E(ξ|η=5)=∑i=14[xi×P(ξ=xi,η=5)P(η=5)]同(1),P(η=n)=Cn-11(1-p)n-2p2=(n-1)(1-p)n-2p2,P(ξ,η=n)=(1-p)n所以E(ξ|η=n)=∑i=1n-1[xi×P(ξ,η=n)思维升华1.解决本题的关键:(1)应用独立事件的乘法公式求P(ξ=2,η=5),由ξ∈{1,2,3,4}有四种情况求P(η=5).(2)根据题目中给出的新公式及(1)中求P(ξ|η=5)的结论,进而求出P(η=n),P(ξ,η=n),即可求E(ξ|η=n).2.解决此类问题,可以类比我们学习过的条件概率和数学期望加以理解,要有目标意识,紧扣题目条件中所给的公式进行计算.对点训练设(X,Y)是二维离散型随机变量,它们的一切可能取值为(xi,yj),其中i=1,2,3,…,n,j=1,2,3,…,m,则称P(X=xi,Y=yj)=pij(pij≥0)为二维随机变量(X,Y)的联合分布列.定义:P(X=xi)=pi·=∑j=1mpij,称(p1·,p2·,…)为(X,Y)关于X的边际分布列,P(Y=yj)=p·j=∑i=1npij,称(p·1,p·2,…)为(X,Y)关于Y的边际分布列;对于固定的j,称p(i|j)=P(X=xi|Y=yj)=pijp·j(i=1,2,3,…,n)为给定Y=yj条件下的离散型随机变量X的条件分布列,(X,Y)y1y2…ymPi·x1p11p12…p1mp1·x2p21p22…p2mp2·………………xnpn1pn2…pnmpn·P·jp·1p·2…p·m1(1)求证:对于∀j,∑i=1np(i|(2)若(X,Y)的联合分布列与边际分布列如表:(X,Y)123Pi·10.30.10.10.520.050.10.150.330.050.10.050.2P·j0.40.30.31求给定X=2条件下Y的条件分布列;(3)把三个相同的小球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中.记放入1号盒子的球的个数为X,放入2号盒子的球的个数为Y,则(X,Y)是一个二维离散型随机变量.列出(X,Y)的联合分布列与边际分布列.【解析】(1)∑i=1np(i|j)=p1jp·j+p(2)因为P(X=2)=p2·=0.3,所以用第二行Y=1,2,3的值分别除以0.3,可得给定X=2条件下Y的条件分布列:Y|(X=2)123P111(3)由题意可知X的可能取值为0,1,2,3,Y的可能取值为0,1,2,3,设x1=y1=0,x2=y2=1,x3=y3=2,x4=y4=3,由概率的乘法公式知,pij=P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi|Y=yj)·p·j,2≤i+j≤5,p·j=C3j-1(13)j-1(23)4-j,1≤j≤4,P(X=xi|Y=yj)=C4-ji-1(1所以pij=C3j-1(13)j-1(23)4-jC当i+j>5时,显然pij=0,所以(X,Y)的联合分布列与边际分布列如表:(X,Y)0123Pi·011118112104211002310001P·j84211【点睛】本题以二维离散型随机变量为背景,给出相关定义,考查了条件概率、概率的乘法公式等,将新定义翻译成熟悉的知识是解答本题的关键,属于难题.类型二极大似然估计问题【例2】(2024·杭州模拟)在概率统计中,常常用频率估计概率.已知袋中有若干个红球和白球,有放回地随机摸球n次,红球出现m次.假设每次摸出红球的概率为p,根据频率估计概率的思想,则每次摸出红球的概率p的估计值为=mn.(1)若袋中这两种颜色球的个数之比为1∶3,不知道哪种颜色的球多.有放回地随机摸取3个球,设摸出的球为红球的次数为Y,则Y~B(3,p).(注Pp(Y=k)表示当每次摸出红球的概率为p时,摸出红球次数为k的概率)①完成表格:k0123P14(Y=271P34(Y=927②在统计理论中,把使得Pp(Y=k)的取值达到最大时的p,作为p的估计值,记为,请写出的值.(2)把(1)中“使得Pp(Y=k)的取值达到最大时的p作为p的估计值”的思想称为最大似然原理.基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计.具体步骤:先对参数θ构建对数似然函数l(θ),再对其关于参数θ求导,得到似然方程l'(θ)=0,最后求解参数θ的估计值.已知Y~B(n,p)的参数p的对数似然函数为l(p)=∑i=1nXilnp+∑i=1n(1-Xi)ln(1-p),其中Xi=0【解析】(1)因为Y~B(3,p),所以p的值为14或3①表格如下:k0123P14(Y=272791P34(Y=192727②由题意知,Pp(Y=k)=C3kpk(1-p)3-当Y=0或1时,参数p=14的概率最大;当Y=2或3时,参数p=34所以=14(2)对对数似然函数进行求导,l'(p)=1p∑i=1nXi-11-p∑i=1n(1-Xi),因此似然方程为1p∑i=1n因此,用最大似然估计的参数与用频率估计概率的是一致的,故用频率估计概率是合理的.思维升华1.本题的解题路径:(1)①根据二项分布的定义→求出相应的概率,完成表格;②已知条件→Pp(Y=k)=C3kpk(1-p)3-k→p→(2)l'(p)→与用频率估计概率作比较→作出判断.2.最大似然估计是一种基于概率理论的方法.用于估计一个概率模型的参数,使得观测到的数据在该模型下出现的概率最大.换句话说,它寻找的是使我们观察到的数据最有可能发生的参数值,解决此类问题一般要利用导数与函数的性质.【加练备选】(2024·长沙模拟)某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染,现有n只白鼠,每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为12,被感染的白鼠数用随机变量X表示,假设每只白鼠是否被感染之间相互独立(1)若P(X=5)=P(X=95),求数学期望E(X);(2)接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为p,现有两个不同的研究团队理论研究发现概率p与参数θ(0<θ<1)的取值有关.团队A提出函数模型为p=ln(1+θ)-23θ2,团队B提出函数模型为p=12(1-e-θ).现将100只接种疫苗后的白鼠分成10组,每组10只,进行实验,随机变量Xi(i=1,2,…,10)表示第i组被感染的白鼠数,将随机变量Xi(i=1,2,…,10)的实验结果xi(i=1,2,…,10)绘制成频率分布图,①试写出事件“X1=x1,X2=x2,…,X10=x10”发生的概率表达式(用p表示,组合数不必计算);②在统计学中,若参数θ=θ0时使得概率p(X1=x1,X2=x2,…,X10=x10)最大,称θ0是θ的最大似然估计.根据这一原理和团队A,B提出的函数模型,判断哪个团队的函数模型可以求出θ的最大似然估计,并求出最大似然估计.参考数据:ln32≈0.4055【解析】(1)由题意知,随机变量X服从二项分布,即X~B(n,12由p(X=5)=p(X=95),Cn5(12)5(1-12)n-5=Cn=Cn95(12)95(1-得n=100,所以E(X)=np=50.(2)①记事件T=“X1=x1,X2=x2,…,X10=x10”,则P(T)=[C101p(1-p)9]3[C102p2(1-p)8]3·[所以P(T)=(C101)3(C102)3(C103)2(C104)②记g(p)=ln[(C101)3(C102)3(C103)2(C10则g'(p)=25p-751-当0<p<14时,g'(p)>0,g(p)单调递增当14<p<1时,g'(p)<0,g(p)单调递减故当p=14时,g(p)取得最大值在团队A提出的函数模型p=ln(1+θ)-23θ2(0<θ<1)中记函数f1(x)=ln(1+x)-23x2(0<x则f1'(x)=11+x-43x当0<x<12时,f1'(x)>0,f1(x)单调递増当12<x<1时,f1'(x)<0,f1(x)单调递减当x=12时,f1(x)取得最大值ln32-16<14,在团队B提出的函数模型p=12(1-e-θ)中,记函数f2(x)=12(1-e-x),可知f(x)令f2(x)=14,解得x=ln2,则团队B可以求出θ的最大似然估计,且θ0=ln2是θ的最大似然估计类型三信息熵问题【例3】(2024·锦州模拟)信息论之父香农在1948年发表的论文“通信的数学理论”中指出,任何信息都存在冗余,冗余大小与信息中每个符号(数字、字母或单词)的出现概率或者说不确定性有关,香农借鉴了热力学的概念,把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”,并给出了计算信息熵的数学表达式.设随机变量X所有取值为1,2,…,n,且P(X=i)=pi>0(i=1,2,…,n),p1+p2+…+pn=1,定义X的信息熵H(X)=-∑i=1npilog2(1)当n=1时,求H(X)的值;(2)当n=2时,若p1∈(0,12),探究H(X)与p1的关系,并说明理由(3)若p1=p2=12n-1,pk+1=2pk(k=2,3,…,n),求此时的信息熵H【解析】(1)若n=1,则p1=1,因此H(X)=-(1×log21)=0.(2)H(X)与p1正相关,理由如下:当n=2时,p1∈(0,12),则p1+p2=1,H(X)=-p1log2p1-(1-p1)log2(1-p1令t=p1,则f(t)=-tlog2t-(1-t)log2(1-t),其中t∈(0,12),所以1t>2,则f'(t)=-log2t+log2(1-t)=log2(1t所以函数f(t)在(0,12)上单调递增所以H(X)与p1正相关.(3)因为p1=p2=12n-1,pk+1=2pk(k=2,3,…,n),所以pk=p2·2k-2=2k-2故pklog2pk=12n-k+1log212n-k+1=-n-k+12n-于是H(X)=n-12n-1+∑i=2npklog2pk=n整理得H(X)=n-12n-1-n2n+n2令Sn=12+222+…+n-12n-1+n2n,则1两式相减得12Sn=12+122+…+12因此,Sn=2-n+22n,所以H(X)=n-12n-1-n2n+思维升华1.解决本题的关键:(1)利用新定义,直接求解;(2)判断函数的单调性,利用单调性求解;(3)将问题转化为数列问题,利用错位相减法求和.2.信息熵可以理解为某种特定信息出现的概率,解题的关键是紧扣定义,恰当地利用相关概率公式计算.对点训练在信息论中,熵是接收的每条消息中包含的信息的平均量,又被称为信息熵、信源熵.若把信息熵定义为概率分布的对数的相反数,设随机变量X的所有取值为1,2,3,…,n(n∈N*),P(X=i)=pi,定义信息熵:H(X)=Hn(p1,p2,…,pn)=-∑i=1npilog2pi,∑i=1n(1)若n=2,且p1=p2,求随机变量X的信息熵;(2)若p1=12n+12,p2=12n,pk+1=2pk,k=2,3,…,n(3)设X和Y是两个独立的随机变量,求证:H(XY)=H(X)+H(Y).【解析】(1)若n=2,则随机变量X的取值为1或2,又p1+p2=1,故p1=p2=12H(X)=-∑i=12pilog2pi=-(p1log2p1+p2log2p2)=-(12log212+所以随机变量X的信息熵为1.(2)由题意,当k≥2时,pk=2k-2p2=2k-2pklog2pk=12n-k+2log而p1log2p1=(12n+12)log2(1H(X)=-∑i=1npilog2pi=-(12n+12)log2(12n+12)-∑i=2npilog2pi=-(12n+令Sn=222+…+n-12n-1+n2n,则12Sn=223+…+n-12n+n2n+1,两式相减得12Sn=222所以Sn=32-n则H(X)=-(12n+12)log2(12n+1(3)由题意,H(X)=Hn(p1,p