山东省日照市第一中学2025-2026学年高三下学期3月份单元质量检测数学（含答案）

参照秘密级管理★启用前试卷类型：A

高三下学期3月份单元质量检测

数学试题2026.03

命题人：高三数学组审题人：高三数学组

一、单选题

1.已知全集U={-2,-1,0,1,2,3},集合,则集合M元素的个数是

A.2B.3C.4D.5

2.的展开式中x⁴y²的系数为

A.88B.89C.90D.91

3.已知函数f(x)=x²+2ax-1与g(x)=e+b的图象在x=0处的切线重合，则a+b=

A.e-1B.e+1D.

4.有5名同学A,B,C,D,E参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序.若A和B都不是第

1个出场，且C不是最后一个出场，则这5人不同的出场顺序种数为

A.42B.50C.54D.60

5.已知直线1:ax+by+c=0,A(x,y₁),B(x₂,y₂)(其中x₁≠x₂),当时，

直线1与直线AB的位置关系为

A.垂直B.平行C.相交D.以上位置关系都有可能

6.已知双曲线Ω:,圆0:x²+y²=a²+b²与x轴交于A,B两点，

M,N是圆0与双曲线在x轴上方的两个交点，点A,M在V轴的同侧，且AM交BN于点

G,且M为线段AG的中点，则双曲线的离心率为

A.√5B.√5+1C.√3D.√3+1

7.直线1与圆C:x²+y²-6x-2y+6=0交于A,B两点，且△ABC的面积为2,已知M

是圆C上的动点，则MA·MB的最大值为

A.2+2√2B.2+4√2C.4+2√2D.4+4√2

8.若方程|Inx|=kx的三个根x₁,x₂,x₃(x₁<x₂<x₃)成等比数列，则公比为

A.√2+1B.√3+1C.Je+1D.3

二、多选题

答案第1页，共7页

9.下列说法中正确的是

A.一组数据1,1,2,3,5,8,13,21的第60百分位数为4

B.两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数r的绝对值越接近于1

C.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到x²≈6.852,根据小概率值

α=0.005的x²独立性检验：xo₀05=7.879,可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概

率不超过0.5%

D.若随机变量X服从正态分布N(3,o²),且P(X≤4)=0.7,则P(2<X<4)=0.4

10.设复数z满足|z-2|+|z+2|=4√2,则

A.z|≥2

B.存在复数z,使得z²为纯虚数

C.存在t∈R,关于z的方程z=t+2t·i有解

D.若复数w满足w|-1|=1,则|z-W的最小值为2√2-2

11.已知四面体ABCD满足AB=AC=CD=BD=2,BC=2√2,点A,B,C,D均在

球O₁的表面上，球O₂与四面体的4个面均相切，过直线O₁O₂的平面截四面体ABCD所得

的截面的面积为S,则

A.球O₁的表面积为8πB.当四面体ABCD体积最大时，O₁O₂=2-√2

C.当AD=√2时，S的最大值为√3D.当AD=√2时，S的最小值为

三、填空题

12.已知向量a=(2,-1),b=(-1,2),c=(m,3),若(a+c)/(b+c),则m=

13.已知函数若关于x的方程f²(x)-kf(x)+1=0恰有两个不同

的实数根，则实数k的取值范围为·

14.已知数列{an}中，a₁=1.其余项由如下规则生成：若n为奇数，a+1有的概率为

an-1,有的概率为an+2;若n为偶数，的概率为an-1,有的概率为

an+2.则a₈=9的概率为

四、解答题

15.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

(1)求cosA的值；

(2)若D是边BC上一点，AD=DC=2BD,c=1,求△ABC的周长.

答案第2页，共7页

16.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°,AB=2,E为AB的中点，将△ADE沿DE翻折

至△A'DE,得到四棱锥A-BCDE.

(1)证明：平面ABE⊥平面BCDE;

(2)当二面角A'-DE-C为120°时，求CA和平面ADE所成角的正弦值.

17.甲乙两人进行若干局乒乓球训练赛，每局比赛必须决出胜负，且每局比赛结果相互

独立.已知甲每局比赛获胜的概率为,规定先达到净胜3局者获得训练赛胜利并结束

训练赛(某人的净胜局数=某人胜的局数一某人负的局数).

(1)记经过n局比赛，甲获得训练赛胜利的概率为Pn,求P₃.

(2)经过若干局后，甲胜的局数与乙胜的局数的差为X,记事件“X=k时，甲最终获得训练

赛胜利”发生的概率为qk,求证：{k+1-qk}(-3≤k≤2,k∈Z)是等比数列；

(3)求甲获得训练赛胜利的概率.

答案第3页，共7页

18.已知双曲线C:1(a>0,b>0)的离心率为√2,点P(2,-1)在双曲线C

上；

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)设点S是双曲线C上的动点，T是圆E:(x-5)²+y²=2上的动点，且直线ST与圆E

相切，求|STI的最小值；

(3)如图，A,B是双曲线C上两点，直线PA,PB与y轴分别交于点M,N,点Q在直线AB

上；若M,N关于原点对称，且PQ⊥AB,是否存在点R,使得|QR|为定值；若存在，

求出该定点R的坐标；若不存在，请说明理由；

19.已知函数f(x)=4ax+axcosx-3sinx(a∈R).

(1)当a=2时，求f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)当时，证明：对任意x≥0,都有f(x)≥0;

(3)证明：,n∈N.

答案第4页，共7页

高三下学期3月份单元质量检测数学参考答案

题号1234567891011

答案CDDDCDDABDABCACD

12.-413.(-∞0,-2)U{2}4

8.由I|nx|=kx,得x>0,所以

方程|lnx|=kx的根等价于直线y=k与f(x)图象的交点的横坐标.

因为函数(x>0)的导数为

当0<x<e时，y>0,(x>0)单调递增；

当x≥e时，y≤0,(x>0)单调递减，

又x=1时，x>1时，作出f(x)的大致图象，如下图：

(*),因为x₁,x₂,x₃(0<x₁<x₂<x₃)成等比数列，设公比为q(q>1),

所以x₃=qx₂,代(*)式得

由,即所以q(lnq-Inx₂)=Inx₂,解得

答案第1页，共7页

代入

整理得q²-2q-1=0,解得q=√2+1或q=1-√2(舍去),则公比为√2+1.

15.(1)由题意知，sinC-sinB≠0,即b≠c,即B≠C.

因为

即sinAsinC-sinAsinB=cosAcosB-cosAcosC,

所以cos(A-B)=cos(A-C),又-π<A-B<π,一π<A-C<π,

所以A-B=A-C或A-B=C-A,所以B=C(舍)或B+C=2A,

因为A+B+C=π,所以则

(2)方法一：设BD=x,则AD=DC=2x,BC=3x,

在△ABD中，由余弦定理可

在△ACD中，由余弦定理可

由cos∠ADB=-cos∠ADC,可得18x²=b²+2,

在△ABC中，由余弦定理可得BC²=AB²+AC²-2·AB·AC·cos∠BAC,

即9x²=1+b²-b,

联立解得b=2,所以△ABC的周长为AB+AC+BC=3+√3.

方法二：设BD=x,则AD=DC=2x,BC=3x,即CD=2DB,

故AD-AC=2(AB-AD),

,可得36x²=4+b²+2b,

在△ABC中，由余弦定理可得BC²=AB²+AC²-2·AB·AC·cos∠BAC,

即9x²=1+b²-b,

联立解得

,b=2,所以△ABC的周长为AB+AC+BC=3+√3

16.(1)由题意得，△ABD为等边三角形，

又E为AB中点，所以DE⊥EA,DE⊥EB,故DE⊥A'E.

答案第2页，共7页

又因为A'E∩BE=E,所以DE⊥平面ABE.

又因为DEc平面BCDE,所以平面ABE⊥平面BCDE.

(2)如图，以E为原点，ED,EB以及垂直于平面BCDE的直线为x,y,z轴，建立空间直

角坐标系，

由(1)知，BE⊥DE,

又AE⊥DE,所以∠A'EB即为二面角A-DE-C的平面角，即

∠AEB=120°.

则E(0,0,0),,c(√3,2,0),D(√3,0,0).

,D=(5.00),

设平面ADE的法向量n=(x,y,z),则即取n=(0,√3,1)

设直线CA'与平面ADE所成的角为θ,

所以直线CA'与平面A'DE所成角的正弦值为

17.(1)由题意可知经过3局比赛，甲获得训练赛胜利，需3局连胜，则

(2)由题意，qk为事件“X=k时，甲最终获得训练赛胜利”发生的概率，

由乙胜的局数即为甲负的局数，甲胜的局数与乙胜的局数的差为X,

故X即为甲的净胜局数，所以X=-3,-2,-1,0,1,2,3.经过若干局后，假定当前X=k,

①当k=3时，即甲的净胜局数X=3,

则此时甲获得训练赛胜利并结束训练赛，所以q₃=1;

②当k=-3时，即甲的净胜局数X=-3,乙的净胜局数-X=3,

则此时乙获得训练赛胜利并结束训练赛，则q-3=0;

答案第3页，共7页

③当-2≤k≤2,k∈Z时，

由甲的净胜局数-2≤X≤2,则乙的净胜局数为-X,且-2≤-X≤2,

故根据比赛规则比赛并未结束，要继续下一局.

记事件A=“X=k时，甲最终获得训练赛胜利”(-2≤k≤2,k∈Z),

事件B=“下一局比赛甲获胜”,

下一局若甲赢(即事件B发生),则X=k+1;若乙赢(即事件B发生),则X=k-1;

因为qk=P(A),qk+1=P(Ak+1),qk-1=P(A-),

且

所以由全概率公式得，P(A)=P(AIB)P(B)+P(AIB)P(B),

即P(4)=P(4+)P(B)+P(A₋1)P(B),因,整理得9k+1=3q-2qk-1,

两边都减去qk,则可得qk+1-9k=2(qk-9k-1),

又当k=-2时，q-2-9-3=q-2≠0,

故数列：q-2-9-3,q-1-q-2,qo-q-1,q₁-9o,q₂-q,q₃-92是公比为2的等比数列.

即数列{qk+1-qk}(-3≤k≤2,k∈Z)是公比为2的等比数列.

(3)由题意，甲最终获得训练赛胜利的概率即为qo.

记ak=k+1-qk(-3≤k≤2,k∈Z),则q₃-9-3=a₂+a₁+a₀+a_₁+a_2+a_₃=1-0=1,

由(2)知，数列{qk+1-qk}(-3≤k≤2,k∈Z)是公比为2的等比数列，

则q₃-q-3=a_₃(1+2+2²+2³+2⁴+2⁵)=1,解得

又a_₃+a_2+a_₁=(q-2-9-3)+(q-1-q-2)+(qo-q-1)=9o-9-3=90,所以

故甲最终获得训练赛胜利的概率为

18.(1)因为双曲线C的离心率为√2,点P(2,-1)在双曲线上，

答案第4页，共7页

解得a²=3,b²=3.所以双曲线的方程为

(2)圆E:(x-5)²+y²=2的圆心E(5,0),半径为√2.

因为T是圆E上的动点，直线ST与圆E相切，所以ST⊥TE,|TE|=√2.

所以ST|=√ISE²-|ETI²=√SE²-2.

设S(x₀,y。),因为点S是双曲线C上的动点，所

所以

当时，|SE|取得最小值，此

(3)由题意知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=kx+m.

整理得(1-k²)x²-2kmx-m²-3=0,

△=(-2km)²-4(1-k²)(-m²-3)=4(m²-3k²+3)>0且1-k²≠0,

设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则

直线PA的方程为,令x=0,则

即.同理可得，

因为M,N关于原点对称，

答案第5页，共7页

整理得(2k+1)x₁x₂-(2k-m+1)(x₁+x₂)-4m=0,

整理得m²+2km+4m+6k+3=0,即(m+3)(m+2k+1)=0,所以m=-3或m+2k+1=0.

若m+2k+1=0,则m=-2k-1,则直线方程为y=kx-2k-1,即y+1=k(x-2),

此时直线AB过点P(2,-1),不符合题意.

若m=-3,则直线方程为y=kx-3,恒过定点D(0,-3),

所以|PD|=√2²+(-1+3)²=2√2为定值，又PQ⊥AB,在Rt△PQD中，PD为斜