华东师大版数学八年级下册 第17章 平行四边形 单元测试培优卷

华东师大版数学八年级下册第17章平行四边形单元测试培优卷一、选择题:本大题共10个小题，每小题3分，共30分。1．如图，在平行四边形ABCD中，AD=5,AB=62,∠B是锐角，AE⊥BC于点E,F为AB的中点，连接DF,EF，若∠EFD=90A．6 B．8 C．52 D．2．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为BC的中点，点F，G为CD上的点，且FG=12A．123 B．15 C．153 D．453．如图，已知在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，以B为中心，取旋转角等于∠ABC把△BAE顺时针旋转，得到△BA'E'，连接DA'，若∠ADC=60∘A．.130∘ B．150∘ C．4．如图，在▱ABCD中，点E是BC延长线上一点，AE=AB．设AB=x，AC=y，当AD⋅CE为定值时，无论x，y的值如何变化，下列代数式的值不变的是（）A．x+y B．x2−y2 5．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点D在AB边上，连结CD．点E是CD的中点，连接AE．若AB⊥AE，则AE的长是（）A．2 B．125 C．52 6．如图，在▱ABCD中，E,F分别是AB,CD的中点，P是对角线AC上一点（点P不与端点重合），过点P作PQ//AB交BC于点Q，交CE于点A．△ABC的面积 B．△BOC的面积 C．△COP的面积 D．△BQO的面积7．如图，有两个完全重合的▱ABCD和▱AEFG，把▱AEFG绕点A按逆时针方向转动，使得点E落在▱ABCD的边CD上，连接BG，∠DAB=45°，AB=10A．102 B．10 C．5 D．8．如图在四边形ABCD中AD∥BC，AB=AC，BC=6，△DBC面积为24，AB的垂直平分线MN分别交AB，AC于点M，N，若点P和点Q分别是线段MN和BC边上的动点，则PB+PQ的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．99．如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB为直角三角形，AB⊥x轴于点B，点A在第一象限，C为斜边OA上一点，且OB=BC，过点C作DC⊥BC（点D在直线AB的右侧），已知AB=CD，点D在反比例函数y=4x的图象上，反比例函数y=kx的图象过点A．结合图象判断下列结论：①△OBA≌△BCD；②四边形AOBD是平行四边形；③点C是OAA．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．如图，在□ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，分别作点C关于AB，AD的对称点G，H，连接CG，CH，AG，AH，GH.如果AB=30，∠EAF=30°，□ABCD的面积为2703，那么下列说法不正确的是（）A．S△GCH=C．GH<AF+CF D．CE=33二、填空题:本大题共6个小题，每小题3分，共18分。11．如图，在▱ABCD中，E是CD的中点，连接AE、BE，M是AE的中点，连接CM交BE于点N．若BE=6，则BN的长为．12．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=4，∠ABC=60°，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将平行四边形ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGC，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则DF的长度为．

13．如图，在▱ABCD中，点E、F分别是边AB、BC的中点，连接EC、FD，点G、H分别是EC、FD的中点，连接GH，若AB=62，BC=10，∠BAD=135°，则GH的长度为14．如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，AD=4，AB=2，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF则EF的最大值与最小值的差为．15．如图，等边△ABC的边长为8，D，E分别为BC，AC的中点，过点D作DF⊥AB于点F，G为EF的中点，连接DG，则△DFG的面积为.16．如图，△ABC与△CDE中，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=120°，连接BD，点F、H、G分别为DE、BD、AB的中点，则∠FHG的度数为°；若AC=6，CD=2，在△CDE绕点C任意旋转的过程中，则△FGH面积的最大值是．三、解答题:本大题共10个小题，共102分。17．如图，在▱ABCD中，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，∠DAE=35°．（1）求证：△AED≌△CFB；（2）求∠CBF的度数．18．如图，在平行四边形AFCE中，EF是对角线，B、D是直线EF上的点，且ED=FB．求证：四边形ABCD是平行四边形．19．如图，在▱ABCD中，BE⊥CD于点E，BF⊥AD于点F.（1）请表示出平行线AD与BC之间的距离.（2）若BE=2cm，BF=4cm，求平行线AB与CD之间的距离.20．如图，在▱ABCD中，连接AC，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN，交CD于点E，连接（1）求证：AC是∠BAE的平分线；（2）若AB=5，BC=2，求△AED的周长．21．深圳福田区部分小区，如图1，居民可通过智能回收箱扫描二维码投放废纸和废塑料，废品回收可实现资源循环利用.某学习小组对一批回收废纸和回收废塑料进行了调查，相应数据如下：名称每吨生产再生纸数量（单位：吨）共生产再生纸废纸x①16吨名称每吨可回炼无铅汽油数量（单位：吨）共回炼无铅汽油废塑料②③18吨（1）任务一：现回收废纸和废塑料共50吨，已知每吨废塑料回炼的无铅汽油量是每吨废纸生产再生纸数量的34（2）任务二：请求出（1）中x的值；（3）任务三：如图2，在某区的智能回收箱运营体系中，点A为清运回收点，点B为分拣点，点C为打包点，点D为回收加工点，且满足：AB⊥BC，AB=6千米，BC=8千米，AB的垂直平分线DF与AC交于点D.将各点位置简化为图3.现需在BC边上设置智能回收运营点G，使得点G到点A，B，C，D四个流程点的距离之和最小，请求出其最小值.22．在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P为平面内一点.（1）如图1，α=90°，P在BC上，CD⊥AP，若CP=AC，且AP=4，则AD=；S△ABP=；（2）如图2，P为BC中点，连接AP，过B点的直线分别交AP，AC于E，F两点，若AE=AF，求证：CF=2PE.（3）如图3，α=60°，P为△ABC外一点，且满足∠APB=150°，求证：CP=AB.23．根据题意解答（1）观察发现：如图（1），已知直线m∥n，点A、B在直线n上，点C、P在直线m上，当点P在直线m上移动到任意一位置时，总有与△ABC的面积相等．（2）实践应用①如图（2），在△ABC中，已知BC=6，且BC边上的高为5，若过C作CE∥AB，连接AE，BE，则△BAE的面积=；（3）②如图（3），A、B、E三点在同一直线上，四边形ABCD和四边形BEFG都是邻边相等的平行四边形，若AB=5，AC=4，求△ACF的面积．（4）拓展延伸如图（4），在四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S△ABC＜S△ACD，过点A画一条直线平分四边形ABCD面积（简单介绍作法，不必说明理由）24．如图1，两个正方形ABCD和CEFG共一个直角顶点C，连接BG、DE交于点H，连接BE、DG、BD、GE．（1）当AB=4，EF=3时，①作图：请在图1中分别取BD、DG、BE的中点M、N、P（不要求尺规作图），并直接写出MN和MP的关系：______；②若BE=6，求此时DG的长；（2）当BG=5，求DG+BE的最小值．25．数学综合与实践小组同学对北师大版八年级下册数学教材第160页第21题进行了深入研究.如图，已知线段AB=3，以点B为端点作射线BM，使∠ABM=60°，C为射线BM上一动点，满足CB>3，以AB，CB为邻边作平行四边形ABCD，连接AC，再将△ABC沿AC所在直线折叠，点B的对应点为B'，B'C交AD于点E，连接BD.（1）求证：B'E=DE：（2）当B'D=AD时，求∠BAC的度数；（3）当△AB'D为直角三角形时，请直接写出平行四边形ABCD的面积.26．在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，点D在射线BC上，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转180°-2α得到线段AE(点E不在直线AB上)，过点E作EF∥AB，交直线BC于点F.（1）如图1，α=45°，点D与点C重合，求证：BF=AC；（2）如图2，点D，F都在BC的延长线上，用等式表示DF与BC的数量关系，并证明.

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE=x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DQ∥BC，∴∠Q=∠BEF，∵F为AB的中点，∴AF=FB，∵∠AFQ=∠BFE，∴△QFA≌△EFBAAS∴AQ=BE=x,QF=EF，∵∠EFD=90∴DF⊥QE，∴DQ=DE=AD+AQ=x+5，∵AE⊥BC，BC∥AD，∴AE⊥AD，∴∠AEB=∠EAD=90∴AE∴整理得：x2解得x=4或−9（舍去），∴BE=4，∴AE=A故选：D．【分析】本题以平行四边形为背景，综合考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定、勾股定理及方程思想。解题关键在于构造辅助线：延长EF交DA延长线于Q，连接DE。由F为AB中点及平行四边形对边平行，可证△QFA≡△EBF（AAS），得AQ=BE=x，QF=EF。结合∠EFD=90°，可得DF垂直平分QE，故DQ=DE=AD+AQ=x+5。在Rt△ADE与Rt△ABE中，分别用勾股定理表示AE2，建立方程(x+5)2-52=(62)2-x2，解得x=4，进而得AE=214，对应选项D。考查几何综合推理与方程建模能力。2．【答案】B【解析】【解答】解：连接OE，设OF与EG交于点H，∵四边形ABCD为平行四边形，∴OB=OD，AB=CD∵O为BD中点，E为BC中点，∴OE=12CD=1∴∠OEG=∠FGE，∵∠OHE=∠FHG，∴∆OEH≅∆FGH，∴OH=FH，∵S▱ABCD∴S∆BOE=1∴S△BOE∵S∆EOH=1∴S△EOH∵SS阴影故答案为：B．【分析】连接OE，设OF与EG交于点H，由平行四边形性质得OB=OD，AB=CD，由三角形中位线定理得出OE=FG，OE∥FG，由二直线平行，内错角相等得∠OEG=∠FGE，结合对顶角相等，可用“AAS”证△OEH≌△FGH，由全等三角形的对应边相等得OH=FH；设hBE为△BEO中BE边上的高，hBC为平行四边形ABCD中BC边上的高，根据平行四边形的中心对称性可求出hBE=12hBC，从而根据三角形面积公式、平行四边形面积公式及平行四边形ABCD的面积可求出△BOE的面积为152；设hAB为为平行四边形ABCD中AB边上的高，hOE是△OEH中OE边上的高，根据平行四边形的中心对称性及全等三角形对应边上的高线相等推出hOE=143．【答案】C【解析】【解答】∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，AD∥BC，∴∠AD∴∠D∵AE⊥BE，∴∠BAE=30°，∵△BAE顺时针旋转，得到△BA'E'，∴∠B∴∠DA'【分析】根据平行四边形的性质得∠ABC=∠ADC=60∘,AD4．【答案】B【解析】【解答】解：作AM⊥BE于M，

根据等腰三角形三线合一，得BM=ME，

由平行四边形性质，知AD=BC，

AD⋅CE=BC·CE=(BM+MC)(ME-MC)=BM2-MC2

在Rt△ABM中，BM2=AB2-AM2=x2-AM2，

在Rt△ACM中，CM2=AC2-AM2=y2-AM2，

∴BM2-MC2=x2-AM2-（y2-AM2）=x2-y2，

故答案为：B.【分析】通过作AM⊥BE于M，利用等腰三角形的性质得到BM=ME，根据等量代换以及线段和差，将AD·CE转化为BM2-MC2，再根据勾股定理，分别表示出BM与MC，最后进行相减即可.5．【答案】B【解析】【解答】解：如图，取BC中点为点F，连接FE交延长交AC于点G.∵AB=AC=5，BC=8，点F为BC中点，∴AF⊥BC，BF=1在Rt△ABF中，AF=A∵E为CD中点，∴EF∥AB，∴FG是△ABC的中位线，

∴FG=∵AB⊥AE，∴FG⊥AE，∵点G是AC的中点，点F为BC中点，

∴∴AE=故选：B．【分析】由于等腰三角形具有三线合一性，因此可取BC中点F，则AF垂直平分BC，可由勾股定理求得AF，又点E是CD中点，则EF是△BCD的中位线，则EF平行AB，再延长FE交AC于点G，则FG是△ABC中位线，即FG等于AB的一半，再由中线等分三角形的面积可得△AFG的面积等于△ABC面积的四分之一，再由面积公式即可求得AE长．6．【答案】B【解析】【解答】解：连接EP，过E点作EN⊥AC交AC于点N，过F点作FM⊥AC交AC于点M，如图

由题意可知AB∥CD，AB=CD，

∴∠EAN=∠FCM，

∵E，F分别是AB，CD的中点，

∴AE=BE=CF=DF，

在△ANE和△CMF中，

∠ANE=∠CMF=90°，∠EAN=∠FCM，AE=CF，

∴△ANE≌△CMF(AAS)，

∴FM=EN.

∴S△CPF=S△CPE，

∵PQ∥AB，

∴PQ上的点到AB上的点距离相同，

∴AE=BE，

∴S△AEC=S△BEC，S△AEP=S△BEO，

∴S△CPE=S△BOC，

∴S△CPF=S△BOC，

∵已知△CPF的面积，则一定能求出△BOC的面积。故答案为：B.【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质、平行线间的距离、三角形的面积等知识。

首先利用AAS证明出△ANE≌△CMF，得出FM=EN，进而推出S△CPF=S△CPE；然后根据平行线间的距离相等可以得出几组三角形的面积相等，最后即可得出答案。7．【答案】B【解析】【解答】解：连接BE，过B作BM⊥CD于M，BN⊥AE于N，过G作GH⊥AE于H，如图所示：

由旋转的性质可知，AE＝AB=10，AG＝AD＝2，∠GAE＝∠DAB＝45°，

∴∠AEB＝∠ABE，AH＝GH=2，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴CD∥AB，∠C＝∠DAB＝45°，BC＝AD＝2，

∴∠CEB＝∠ABE，BM=2，

∴∠BEN＝∠BEM，

又∵BE＝BE，

∴△BEN≌△BEM（AAS），

∴BN＝BM=2=GH，

又∵∠GQH＝∠BQN，

∴△QGH≌△QBN（AAS），

∴BQ＝CQ，HQ＝NQ，

∴BG＝2BQ，

∵AB=10，

∴AN=AB2−BN2=22，

∴HN＝AN﹣AH=2，

∴【分析】连接BE，过B作BM⊥CD于M，BN⊥AE于N，过G作GH⊥AE于H，先根据旋转的性质得到AE＝AB=10，AG＝AD＝2，∠GAE＝∠DAB＝45°，则∠AEB＝∠ABE，AH＝GH=2，再根据平行四边形的性质得到CD∥AB，∠C＝∠DAB＝45°，BC＝AD＝2，则∠CEB＝∠ABE，BM=2，根据三角形全等的判定与性质（AAS）证明△BEN≌△BEM得到BN＝BM=8．【答案】C【解析】【解答】解：过点D作DH⊥BC于点H，连接AP，AQ，

∵△DBC面积为24，BC=6，

∴12×6×DH=24，

∴DH=8，

∵MN是AB的垂直平分线，

∴PA=PB，

∴PB+PQ=PA+PQ，

∵PA+PQ≥AQ，

∴当A，P，Q三点在同一直线上时，PB+PQ取最小值，且最小值为AQ的长度，

∴当AQ的值最小时，PB+PQ的值最小，

当AQ⊥BC时，AQ的值最小，

∵AD∥BC，

∴AQ=DH=8，

∴PB+PQ故答案为：8.【分析】如图，过点D作DH⊥BC于点H，连接AP，AQ，首先根据△DBC面积为24，可求出DH=8，然后根据线段的垂直平分线的性质，得出PB+PQ=PA+PQ，从而得出当A，P，Q三点在同一直线上时，PB+PQ取最小值，且最小值为AQ的长度，然后根据垂线段最短求得当AQ⊥BC时，AQ的最小值=8，即可得出PB+PQ的最小值为8.9．【答案】C【解析】【解答】解：∵AB⊥OB，DC⊥BC，∴∠OBA=∠BCD=90°，∵OB=BC，AB=CD，∴△OBA≌△BCDSAS，故①∴OA=BD，∠AOB=∠DBC，∵OB=BC，∴∠AOB=∠OCB，∴∠DBC=∠OCB，∴OA∥BD，∵OA=BD，∴四边形AOBD是平行四边形；故②正确；∴AD=OB,AD∥OB，如图所示，延长DA交y轴于一点E，过点D作DF⊥x轴，∵AD∥OB，∴∠OED=180°−∠FOE=90°，∵DF⊥x轴，∠FOE=90°，∠OED=90°，∴四边形OFDE是矩形，同理，四边形OBAE是矩形，∵点D在反比例函数y=4x的图象上，∴矩形OFDE的面积是4，∴∵AD=OB，∴AE=BF，∴OB=BF，∴矩形OBAE的面积是2；∵反比例函数y=kx的图象过点A．∴k=2；故条件不足，无法得到点C是OA的中点；故③错误；

故正确的结论有3个，故选：C．【分析】根据全等三角形的判定定理SAS即可证明△OBA≌△BCD判断①；利用全等三角形的性质可知OA=BD，再结合等边对等角可知OA∥BD，根据平行四边形的判定定理即可判断四边形AOBD是平行四边形，判断②；条件不足，无法得到点C是OA的中点判断③；延长DA交y轴于一点E，过点D作DF⊥x轴，先证明四边形OFDE是矩形，根据k值的几何意义，得到OFDE的面积，进而求出四边形OEAB的面积，即可求得k的值判断④，进而可得正确结论的个数．10．【答案】A【解析】【解答】解：如图，连接DH，

∵AE⊥BC，AF⊥CD，

∴∠AEC=∠AFC=∠AFD=90°，

∵∠EAF=30°，

∴∠ECF=150°，

∵AB=30，四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=∥CD，AD=∥CB，CD=30，

∴∠B=∠D=180°−∠ECF=30°，∠BAD=∠ECF=150°

∴AE=12AB=15，BE=153，

∵□ABCD的面积为2703，

∴AF=93，

∴AD=2AF=183，

∴CE=BC−BE=183−153=33，D不符合题意，

由轴对称的性质可得DH=CD=30，∠DHA=∠CDA=30°，CH⊥AD，CG⊥AB，

∴HN=CN=AE=15，GM=CM=AF=93，∠MCN=30°，∠CHD=60°，

∴CH=30=DH，CG=AD=183，∠MCN=∠HDA，

∴△CGH≅△DMHSAS，

故答案为：A.【分析】由四边形的内角和可得∠ECF=150°，利用平行四边形的面积公式求得AF，AE的长度即BC、BE的长度，进而得到CE=33，D正确；由轴对称的性质可得△CDH是等边三角形，CG=AD，进而通过SAS判定△CGH≅△DMH得到∠GAH=60°，S△GCH=11．【答案】92【解析】【解答】解：取AB的中点F，连接EF，DF，过点D作DG//MN交BE的延长线与点G，如图所示：

∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵E为CD的中点，F为AB的中点，∴CE=DE=12CD∴AF=BF=CE=DE，∵AB//CD，∴四边形BFDE和四边形AFED都是平行四边形，∴DF=BE=6，BE∥DF，

∴NG//MD.∵AE、DF为▱ADEF的对角线，M为AE的中点，∴M为AE、DF的交点，∴DM=12DF=3.

∵DG//MN，NG//MD，

∴四边形MNGD为平行四边形.

∴NG=DM=3.

∵MN//DG，∵点E为CD的中点，

∴DE=CE.

又∵∠DEG=∠CEN，∴△DEG≌△CENAAS∴NE=GE=1∴BN=BE−NE=6−3故答案为：92【分析】取AB的中点F，连接EF，DF，过点D作DG//MN交BE的延长线与点G，证明四边形BFDE和四边形AFED都是平行四边形，得出DF=BE=6，BE∥DF，证明M为AE、DF的交点，可得DM=12DF=312．【答案】5【解析】【解答】解：如图，

作CK⊥AB于K，过E点作EP⊥BC于P．

∵∠ABC=60°,BC=4，

∴∠BCK=30°，

∴BK=2,CK=42−22=23，

∵C到AB的距离和E到CD的距离都是平行线AB、CD间的距离，

∴点E到CD的距离是23，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC,∠D=∠ABC,∠A=∠BCD，

由折叠可知，AD=CG,∠D=∠G,∠A=∠ECG，

∴BC=GC,∠ABC=∠G,∠BCD=∠ECG，

∴∠BCE=∠GCF，

在△BCE和△GCF中，

∠ABC=∠GBC=GC∠BCE=∠GCF，

∴△BCE≌△GCFASA；

∴CE=CF，

∵∠ABC=60°,∠EPB=90°，

∴∠BEP=30°，

∴BE=2BP，

设BP=m，则BE=2m，

∴EP=BE2−BP2=3m，

由折叠可知，AE=CE，

∵AB=6，

∴AE=CE=6−2m，

∵BC=4，

∴PC=4−m，

在Rt△ECP中，

由勾股定理得(4−m)2+(3m)2=(6−2m)2，

解得m=5413．【答案】73【解析】【解答】解：连接CH并延长交AD于点K，连接EK，作EL⊥DA交DA的延长线于点L，∵点G、H分别是EC、FD的中点

∴DH=FH，GH=12EK

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD=BC=10，AD∥BC

∴∠HDK=∠HFC，∠HKD=∠HCF

∴△HDK≌△HFCAAS

∴KH=CH，KD=CF

∵点E、F分别是边AB、BC的中点∵∠BAD=135°，∴∠LAE=180°−∠BAD=45°

∵EL⊥DA∴EL=AL∴AE=∴EL=AL=3∴LK=AD+AL−KD=3+10−5=8，∴EK=EL2+L∴GH=故答案为：732．

先根据点E、F分别是边AB、BC的中点，分别求出AE，CF的长，再证明△HDK≌△HFC，得到KH=CH，KD=CF，又因为G为CE的中点，根据中位线性质可得：GH=12EK，把求GH转化为求EK，再证明△ALE为等腰直角三角形，求出AL和EL，从而可以求出DL，最后再根据勾股定理：EK=EL【解析】【解答】解：如图：取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=120°∴∠D=180°-∠BCD=60°，AB=CD=2∴AM=DM=DC=2∴△CDM是等边三角形∴∠DMC=∠MCD=60°，AM=MC∴∠MAC=∠MCA=30°∴∠ACD=90°∴AC=23在Rt△ACN中，AC=23，∠ACN=∠DAC=30°∴AN=12AC=∵AE=EH，GF=FH∴EF=3AG∴AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长∵AG的最大值为23，最小值为3∴EF的最大值为3，最小值为3∴EF的最大值与最小值的差为3-32=3故答案为32【分析】取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N；再证明∠ACD=90°，求出AC=23、AN=3；然后由三角形中位线定理，可得EF=1215．【答案】2【解析】【解答】解：连结DE.

∵等边△ABC的边长为8，D，E分别为BC，AC的中点，

∴DE=4，∠B=60°，BD=4，DE//AB.

∵DF⊥AB于点F，

∴BF=2，DF⊥DE.

∴FD=23，

∴△EDF的面积为12DF·DE=12×23×4=43.

∵G为EF的中点，∴△DFG的面积为【分析】连结DE，可证明△EDF是直角三角形，分别求得DF、DE，可求得其面积，结合G为EF的中点，可求得△DFG的面积.16．【答案】60；4【解析】【解答】解：∵∠ACB=∠DCE=120°，∴∠ACD+∠DCB=∠BCE+∠DCB，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCESAS∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，∵点F、H、G分别为DE、BD、AB的中点，∴GH∥AD且GH=12AD，HF∥BE∵AD=BE，∴GH=HF，∴△FHG是等腰三角形，∵GH∥AD，∴∠HGB=∠DAB，∵HF∥BE，∴∠FHD=∠EBD，又∵∠GHD=∠DBA+∠HGB，∴∠FHG=∠FHD+∠GHD=∠EBD+∠DBA+∠HGB=∠CBE+∠CBD+∠DBA+∠HGB=∠CAD+∠CBD+∠DBA+∠DAB==∠CAB+∠CBA=180°−∠ACB=180°−120°=60°，∴△FHG是等边三角形，即△FGH是等边三角形，如图，△LMN是边长为a的等边三角形，LP是底边上的高，∴PM=PN=1LP=L∴S∴对△FGH来说，S△FGH又∵GH=1S△FGH∴当AD取得最大值时，S△FGH在△ACD中，AD<AC+CD，∴当A、C、D三点共线时，即点D在AC延长线上时，AD取得最大值，此时，AD=AC+CD=6+2=8，S△FGH∴△FGH面积的最大值是43故答案为：60，43【分析】首先根据SAS证得△ACD≌△BCE，进而BE=AD，再根据三角形中位线定理得出利用SAS可证得△ACD≌△BCE，于是可得AD=BE，∠CAD=∠CBE，根据三角形的中位线定理得出GH∥AD且GH=12AD，HF∥BE且HF=12BE，可证得GH=HF，进而可推出∠FHG=60°；根据三角形三边之间的关系可知AD<AC+CD，因而，当A、C、D三点共线时，即点D在AC延长线上时，17．【答案】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD=CB，又AD//BC，∴∠DAE=∠BCF，∵DE⊥AC，BF⊥AC．∴∠DEA=∠BFC=90°，在△AED和△CFB中，∠DEA=∠BFC∴△AED≌△CFB​​​​​​​（2）解：在Rt△ADE中，∠DAE=35°，∠DEA=90°，∠ADE=90°−∠DAE=55°∵△AED≌△CFB∠CBF=∠ADE=55°【解析】【分析】（1）首先根据平行四边形的性质，得到AD//CB，AD=CB，得到∠DAE=∠BCF，然后根据垂直得到∠DEA=∠BFC，即可用AAS证明全等；

（2）在（1）的基础上得到∠CBF=∠ADE，在RT▲ADE中，根据∠DAE=35°，根据三角形内角和得到∠ADE即可.18．【答案】解：连接AC，交BD于点O，∵四边形AFCE是平行四边形，

∴OE=OF,OA=OC，

∵ED=FB，

∴OE+ED=OF+FB，即OD=OB，

∵OD=OB，OA=OC，

∴四边形ABCD是平行四边形．【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质与判定定理，解题的关键是作辅助线连接AC交BD于点O，先利用平行四边形对角线互相平分的性质，得到OA=OC、OE=OF，结合已知条件ED=FB，通过等式的基本性质推出OE+ED=OF+FB，即OD=OB，再根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定定理，即可证明四边形ABCD为平行四边形。19．【答案】（1）解：∵平行四边形ABCD，

∴AD∥BC，DC∥AB，

∵BF⊥AD，

∴平行线AD与BC之间的距离是BF的长（2）解：∵DC∥AB，BE⊥CD，

∴平行线AB与CD之间的距离是BE的长，

∴平行线AB与CD之间的距离是2cm【解析】【分析】(1)根据平行四边形对边平行的性质，结合“平行线间的距离是垂线段长度”，确定AD与BC的垂线段BF的长即为其距离。

(2)利用平行四边形面积的两种表示方法（以AD为底乘BF、以CD为底乘AB与CD的距离），结合AB=CD的性质，通过面积相等求出AB与CD之间的距离。20．【答案】（1）证明：由作图可知，MN垂直平分AC，∴AE=CE，

∴∠EAC=∠ECA，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠BAC=∠ECA，

∴∠BAC=∠EAC，

∴AC是∠BAE的平分线；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD=5，AD=BC=2，

∵MN垂直平分AC，

∴AE=CE，

∴△AED的周长=AD+DE+AE

=AD+DE+CE

=AD+CD

=2+5

=7，

∴△AED的周长为7【解析】【分析】

（1）根据作图步骤可知，MN垂直平分AC，由线段垂直平分线的性质得AE=CE，再根据等边对等角得∠EAC=∠ECA，又四边形ABCD是平行四边形，则AB∥CD，通过两直线平行内错角相等可得∠BAC=∠ECA，等量代换后得∠BAC=∠EAC，由角平分线的定义即可证明；

（2）根据平行四边形的性质可得AB=CD=5，AD=BC=2，再根据垂直平分线的性质可得AE=CE，最后通过三角形的周长公式即可求解．（1）证明：由作图可知，MN垂直平分AC，∴AE=CE，∴∠EAC=∠ECA，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAC=∠ECA，∴∠BAC=∠EAC，∴AC是∠BAE的平分线；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=5，AD=BC=2，∵MN垂直平分AC，∴AE=CE，∴△AED的周长=AD+DE+AE=AD+=AD+CD=2+5=7，∴△AED的周长为7．21．【答案】（1）解：①16x（或50−24x），②34x，（2）解：24x+16解得x=45，（或经检验，x=45（或（3）解：延长AB至点E，使得AB=BE，连接DE交BC于点G，点G即为所求.

过点D作DF⊥AB于点F，∴DF所在直线是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠A=∠1，∵∠A+∠C=90∴∠2=∠C，∴BD=DC，∴AD=DC，∴点D为AC的中点，∵DF所在直线是AB的垂直平分线，∴点F为AB的中点，BF=3；∴DF是△ABC的中位线，∴DF=4，又∵AB=BE=6，∴BF=9，又∵DF⊥EF，∴由勾股定理，DE=D又∵GA+GD=DE，∴G到A，B，C，D四个流程点的距离之和最小值：BC+DE=8+97【解析】【解答】（1）解：废纸数量：再生纸共16吨，每吨废纸产x吨再生纸，所以数量为16x废塑料每吨回炼量：是废纸的34，即3废塑料数量：回炼汽油共18吨，每吨产34x吨汽油，所以数量为183故答案为：①16x（或50−24x），②34x，【分析】（1）根据“数量=总产量÷单产量”及倍数关系，用含x的代数式表示表格数据，关键是理解产量、单产量、数量的关系.（2）利用废纸与废塑料总量列分式方程，求解并检验，核心是建立方程模型解决实际问题.（3）通过轴对称（延长AB构造对称点）将距离和转化为线段和，结合三角形中位线、直角三角形性质求最小值，关键是“化折为直”的几何变换思想与性质运用.22．【答案】（1）2；4（2）证明：取CF的中点N，连接PN，则CF=2FN，如图2所示：∵点P为BC中点，∴PN是△BCF的中位线，∴PN∥BF，∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，∵PN∥BF，∴∠APN=∠AEF，∠ANP=∠AFE，∴∠APN=∠ANP，∴AP=AN，∴AP-AE=AN-AF，∴PE=FN，∴CF=2PE；（3）证明：将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到AM，连接CM，PM，如图3所示：则∠PAM=60°，AP=AM，∴△APM是等边三角形，∴AP=MP，∠AMP=60°，∵∠BAC=α=60°，AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠PAM=∠BAC=60°，∴∠PAB+∠BAM=∠BAM+∠MAC，∴∠PAB=∠MAC，在△PAB和△MAC中，AP=MP∠PAB=∠MAC∴△PAB≌△MAC（SAS），∴PB=CM，∠APB=∠AMC=150°，∴∠PMC=360°-（∠AMP+∠AMC）=360°-（60°+150°）=150°，∴∠APB=∠PMC=150°，在△APB和△PMC中，AP=MP∴△APB≌△PMC（SAS），∴AB=CP，即CP=AB【解析】【解答】解：（1）过点B作BH⊥AP交AP的延长线于点H，如图1所示：∵CD⊥AP，CP=AC，AP=4，∴AD=PD=12∵CD⊥AP，BH⊥AP，∴∠H=∠ADC=90°，∴∠ACD+∠DAC=90°，又∵∠BAH+∠DAC=∠BAC=α=90°，∴∠BAH=∠ACD，在△BAH和△ACD中，∠H=∠ADC=90°∠BAH=∠ACD∴△BAH≌△ACD（AAS），∴BH=AD=2，∴S△ABP=12AP•BH故答案为：2；4；【分析】（1）过点B作BH⊥AP交AP的延长线于点H，根据等腰直角三角形的性质，利用AAS得到△BAH≌△ACD，即可得到BH=AD=2，然后根据三角形的面积公式解答即可；（2）取CF的中点N，连接PN，，则PN是△BCF的中位线，则CF=2FN，然后根据平行线的性质和等角对等边得到AP=AN，则PE=FN，证明结论即可；（3）将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到AM，连接CM，PM，则△APM是等边三角形，然后根据SAS推理得到△PAB≌△MAC得PB=CM，∠APB=∠AMC=150°，即可得到∠APB=∠PMC=150°，然后可以得到△APB≌△PMC，然后根据全等三角形的对应边相等证明结论．23．【答案】（1）△APB（2）15（3）解：如图（3），过点B作BH⊥AC于点H，连接BF．∵AB=BC，∴AH=12在直角△AHB中，BH=AB2−AH2∴S△ABC=12×4×21=221∵四边形ABCD和四边形BEFG都是邻边相等的平行四边形，∴AC∥BF，∴S△ACF=S△ABC=221（4）解：如图所示．过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE．∵BE∥AC，∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，∴有S△ABC=S△AEC，∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED；∵S△ACD＞S△ABC，所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线【解析】【解答】（1）已知直线m∥n，A、B在直线n上，C、P在直线m上，

∵m∥n，所以点C、P到直线n的距离相等（平行线间距离处处相等），

△ABC和△APB以AB为公共底，且高相等（即C、P到AB的距离），

根据三角形面积公式，同底等高的三角形面积相等，

∴总有△APB与△ABC的面积相等。

（2）已知在△ABC中，BC=6，BC边上的高为5，根据三角形面积公式，可得：S△APC=12×BC×高=12×6×5=15。

又∵CE∥AB，所以△BAE与△ABC以AB为公共底，且高相等（平行线AB与CE间的距离），

即△BAE与△ABC同底等高。

根据“同底等高的三角形面积相等”，可得S△BAE=S△ABC=15。

24．【答案】（1）解：①如图，

MN=MP,MN⊥MP；②由①知：BG⊥DE，∴∠BHD=∠DHG=∠BHE=∠EHG=90°，∴BH∴BH∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，AB=4，EF=3，∴BD∵BE=6，∴BE∴36+DG∴DG2=14（2）解：如图，分别取BD、DG、GE、DE的中点M、N、Q、K，连接MN,NQ,MQ,MK,KQ同理（1）①可得MN是△BDG的中位线，NQ是△GED的中位线，MK是△BED的中位线，KQ是△DEG的中位线，∴MN=1∴DG+BE=2KQ+2MK=2∵MK+KQ≥MQ，∴当M,K,Q三点共线时，KQ+MK有最小值，最小值为MQ的长，即DG+BE有最小值，最小值为2MQ的长，同理（1）①得BG=DE=5，BG⊥DE，∴MN=1∵MN∥BG,NQ∥DE，∴MN⊥NQ，∴MQ=M∴2MQ=52，即DG+BE的最小值为5【解析】【解答】（1）解：MN=MP,MN⊥MP，理由如下：∵点M、N、P分别是BD、DG、BE的中点，∴MN是△BDG的中位线，MP是△BED的中位线，∴MN=1∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=CD,CE=CG,∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCESAS∴BG=DE，∠CGB=∠CED，∴MN=MP，∵∠CGB=∠CED，∴∠CGB+∠GHE=∠CED+∠GCE，∴∠GHE=∠GCE，∵∠GCE=90°，∴∠GHE=∠GCE=90°，∴DE⊥BG，∵MN∥BG,MP∥DE，∴MN⊥MP；【分析】（1）①根据三角形中位线定理可得MN=12BG,MP=12DE,MN∥BG,MP∥DE，再根据正方形性质可得BC=CD,CE=CG,∠BCD=∠ECG=90°，根据角之间的关系可得∠BCG=∠DCE，根据全等三角形判定定理可得△BCG≌△DCESAS，则BG=DE，∠CGB=∠CED，根据角之间的关系可得∠GHE=∠GCE=90°，再根据直线平行性质即可求出答案.

②根据勾股定理，结合边之间的关系可得BH2+EH2+DH2+HG2=BE2+DG2=BD2+GE2，根据正方形性质可得AB=4，EF=3，再代入等式即可求出答案.

（2）分别取BD、DG、GE、DE的中点M、N、（1）解：MN=MP,MN⊥MP，理由如下：∵点M、N、P分别是BD、DG、BE的中点，∴MN是△BDG的中位线，MP是△BED的中位线，∴MN=1∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=CD,CE=CG,∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCESAS∴BG=DE，∠CGB=∠CED，∴MN=MP，∵∠CGB=∠CED，∴∠CGB+∠GHE=∠CED+∠GCE，∴∠GHE=∠GCE，∵∠GCE=90°，∴∠GHE=∠GCE=90°，∴DE⊥BG，∵MN∥BG,MP∥DE，∴MN⊥MP；②由①知：BG⊥DE，∴∠BHD=∠DHG=∠BHE=∠EHG=90°，∴BH∴BH∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方