四川省泸州市泸县2026年中考一模数学试题（原卷版+解析版）

数学试题

注意事项：

1.全卷分为第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，共4页.全卷满分150

分.考试时间共120分钟.

2.答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、准考证号和座位号.考试结束，

将试和答题卡一并交回.

3.选择题每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案.非选择题须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上

对应题号位置作答，在试卷上作答无效.

第I卷（选择题共48分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分；在每小题给出的四个选项中，有

且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置）

1.下列各选项是方程d+2x+l=°的解的是（）

A.IB.-]C.2D.-2

2.从血,0,肛3.14,3这5个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是（）

7

124

5555

3.在平面直角坐标系中，点〃（-5,2）关于原点对■称的点的坐标是（）

A（5,-2）B.（-5,-2）C.（-5,2）D.（-2,5）

4.已知关于x的二次函数），=（x-2『+l,下列结论错误的是（）

A.开口向上B.对称轴为直线X=2

C.最小值为1D.当XV2时'）'随X的增大而增大

5.若△ABCs△£>"•,且s"8c：S“EF=3：4,则△ABC与△。即的周长比为

A.3：4B.4：3

CG：2D.2：G

6.如图，两个三角形为全等三角形，则Na的度数是（）

b

55°'

/74°\\/

b

A.74°B.45°

C.55°D.5I°

OC2

7.如图，AB〃CD,AC与6。相交于点O,若一=一，CD=6,则A6的长为（）

AO3

A9B.8C.6D.4

8.关于％的一元二次方程/+,如+m—1=0有两个相等的实数根，则用的值是（）.

A.1B.2C.3D.4

9.如图，四边形A3CO内接于GO，A3为的直径，连接AC.若NA£>C=115。，则/B4C的度

©

A.15°B.23°C.25°D.30°

10.我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估计圆周率兀，理论上能把兀的值计第到任意精度.“割

圆术”的第一步是计算圆内接正六边形的面积，若圆的半径为1,则圆内接正六边形的面积为（）

A逑B.这叵D.3

2244

11.如图，将VAOB绕点。逆时针方向旋转得到△COD,AB与CD交于点P,若NBOC=160°,

ZAOD=100°,则4CPB等于（）

A.120°B.150°C.155°D.160°

12.新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点.若二次函数y=f-x+c为

常数）在一2Vx<4的图像上存在两个二倍点，则c的取值范围是（）

B.C

A.-2<c<—-4<<2

44

9

C.-4<c<-D.-10<c<—

44

第II卷（非选择题共102分）

二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）

13.抛物线y=/-2x+3的顶点坐标是.

14.一元二次方程一3工_1=0的两根为斗/，则x：+%2=.

15.将抛物线y=2/先向右平移2个单位长度，再向上平移I个单位长度，所得新抛物线的解析式为

16.RJABC中,ZC=90°,AC=3,BC=4.把它沿边AC所在的直线旋转一周，所得到的几何体

的表面积为.

17.如图，在平面直角坐标系xOv中，直线y=一才-2与不轴、y轴分别交于4、B两点,C、。是半径

为I的0。上两动点，且CO=应，。为弦。。的中点.当。、。两点在圆上运动时，ARM面积的最大

值是___________

三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）

18.解方程：（工一1）2二31一3.

3a2-2a+]

19.化简(-----+a-2)

a+2a+2

四、解答题（本大题共3个小题，每小题10分，共30分）

20.计算:712-(3.14-^)°

21.如图，在平面直角坐标系中，已知VA3c的三个顶点都在格点上.

（1）画出VA3c关于原点0对称的

（2）将VABC绕点对I页时针旋转90。得到..AzBG，请在图中画出,并求出线段4c旋转过程

中所扫过的面积.

22.Oe“pSe"横空出世，路身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天.为激发青少年崇尚科

学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动.下面是随机抽取全校部分学生的模型

设计成绩（成绩为百分制，用工表示），并整理，将其分成如下四组：A：60<x<70,B：70<x<80,

C：80<x<90,D：90<x<l（X）.下面给出了部分信息：

（1）本次共抽取了名学生的模型设计成绩，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为；

（2）请补全频数分布直方图；

（3）请估计全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数；

（4）学校决定从模型设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状

图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率.

五、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分）

23.2025年9月3口纪念中国人民抗口战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵中，受阅武器装备以新型

四代装备为主体，展示我军强大的战略威慑实力.某商场以30元/件的进价购进一批坦克模型，当该坦克

模型售价为50元/件时，第一周销售50件，第二、三周该坦克模型十分畅销，销售量持续上潴，在售价不

变的基础上，第三周的销售量达到72件.

（1）求第二、三周该垣克模型销售量的周平均增长率；

（2）经市场预测，在售价不变情况下，第四周的销售量将与第三周持平，现商场为了减少库存，采用

降价促销方式，通过调查发现，该坦克模型每件降价1元，周销售量就增加4件，当该坦克模型每件降价

多少元时，商场可获得最大利润，最大利润为多少？

24.如图，过圆外一点/，作。。的切线，切点为AA8是。。的直径.连接尸O,过点A作尸。的垂线，垂

足为D，同时交OO于点C，连接3cpe.

（1）求证：PC是。0的切线：

（2）若BC=2,OB=MOD,求切线Q4的长.

25.综合与探究:

如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=〃x2-2x+c与x轴交于点A（—3,0）和点C,与），轴交于点

8（0,3）,点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A,点C）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1,动点P在抛物线上，且在直线A3上方，求4ABp面积的最大值及此时点P的坐标；

（3）如图2,过原点O作直线/交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为机，点N的横坐标为〃.求证:

mn是一个定值.

泸县初中2023级第一次学业水平模拟考试

数学试题

注意事项：

1.全卷分为第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，共4页.全卷满分150

分.考试时间共120分钟.

2.答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、准考证号和座位号.考试结束，

将试和答题卡一并交回.

3.选择题每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案.非选择题须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上

对应题号位置作答，在试卷上作答无效.

第I卷（选择题共48分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分；在每小题给出的四个选项中，有

且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置）

1.下列各选项是方程d+2x+l=°的解的是（）

A.IB.-]C.2D.-2

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查解•元二次方程，掌握解•元二次方程的方法是解题的关键.

利用因式分解法进行求解即可.

【详解】解：X2+2x4-1=0

（J+1）2=0

X,=x2=-1

故选B.

2.从血,（）,肛3.14，S这5个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是（）

1234

A.-B.—C.-D.一

5555

【答案】B

【解析】

【分析】本题考杳概率公式和无理数的判断，需准确识别无理数个数，解题的关键是熟练掌握无理数的概念

即无限不循环小数.

先找出无理数，再用概率公式求解即可.

【详解】解：J5,0,4,3.14,，这5个数中无理数有正和不，

・♦・抽到无理数的概率是1，

故选：B.

3.在平面直角坐标系中，点“（-5,2）关于原点对称的点的坐标是（）

A.（5,—2）B.（—5,—2）C.（—5,2）D.（—2,5）

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了关于原点对称的点，熟练掌握关于原点对称的两个点的横、纵坐标都互为相反数是解题

的关键.根据关于原点对称的点的特征即可求解.

【详解】解：点"（一5,2）关于原点对称的点的坐标是（5,-2）,

故选：A.

4.已知关于x的二次函数），=（犬-2『+1,下列结论错误的是（）

A.开口向上B.对称轴为直线x=2

C.最小值为1D.当xv2时，N随x的增大而增大

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数顶点式），=a（x-〃）2+Z的性质，逐一进行判断即

可.

【详解】解：:y=（x-2）?+\,

・•・抛物线的开口向上，对称轴为直线x=2,

・••当x=2时，函数有最小值为1，当x<2时，>随x的增大而减小；

综上：只有选项D错误，符合题意；

故选D.

5.若5cs且SAABC：SWE产3：4,则AABC与△OEF的周长比为

A.3：4B.4：3

C.73：2D.2：G

【答案】C

【解析】

【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方，周长的比等于相似比解答.

【详解】解：•••△ABCs^DEF,且SAABC：SADEF=3：4,

:•△ABC与ADEF的相似比为6：2,

•:△ABC与4DEF的周长比为6：2.

故选C

【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形面积的比等于相似比的平方，周氏的比等于相似

比.

6.如图，两个三角形为全等三角形，则Na的度数是（）

A.74°B.45°

C.55°D.51。

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的性质，掌握相关知识点是解题的关键.

根据第一张图先求出边〃的对角，再结合全等三角形的性质可得出Za的度数.

【详解】解：由第一张图先求出边。的对角为180。一55。-74。=51。，

•.•两个三角形为全等三角形，

第二张图中。的对角为51。,

即/a=51。，

故选D.

OC2

7.如图，AB//CD.AC与3。相交于点。，若一二一，8=6,则A区的长为（）

AO3

D

B"

A.9B.8C.6D.4

【答案】A

【解析】

【分析】证明sABOsaCZX?,根据相似三角形的性质即可求解.

【详解】解：・・・48〃。。，・・.Z4=NC,ZB=N。，

・•・“ABOsaCDO,

.PCCD

••而一瓦‘

DC2

■:—二一，8=6,

A03

,26

••一二---,

3AB

・•・AB=9,

故选：A.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明.ABOs.co。是解题的关键.

8.关于”的一元二次方程%2+"4+优一1=（）有两个相等的实数根，则，"的值是（）.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的计算公式是关键.

一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式为零，计算判别式并求解方程.

【详解】解：•・・方程/+〃a+m一1=（）有两个相等的实数根，

判别式△=〃「-4」•（加-1）=0,BPfn2-4rn+4=0»

(m-2『=0,

解得，m=2.

故选:B.

9.如图，四边形ABC。内接于C。，八3为。。的直径，连接AC.若NADC=115。，则/B4C的发

数为（）

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理；根据圆内接四边形对•角互补，直径对直角求解即可.

【详解】解：…四边形A8CO内接于。。，

Z^=180°-ZADC=180o-115o=65°,

・AB为0。的直径，

/.zS4CB=90°,

:ZBAC=90。-ZB=90。-65。=25。，

故选：C.

10.我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估计圆周率兀，理论上能把兀的值计算到任意清度.“割

圆术”的第一步是计算圆内接正六边形的面积，若圆的半径为1,则圆内接正六边形的面积为（）

A3V2R3#r5/2n6

2244

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了正六边形与圆的相关计算，涉及等边三角形的判定和性质，连接OAOB，过点。作

OG_LA8于点G,先证明VAOB为等边三角形，再求出VA08的面积，根据正六边形的面枳为6倍

V4O8的面枳，求解即可，熟练掌握知识点是解题的关键.

【详解】如图，连接04,03,过点。作OG_LA3于点G,

ANA0B等边三角形，

0A=OB=AB=1,

RtZXOAG中，NOAG=60。，

VsinZOAG=—,

OA

••（JCJ=----，

2

,,SVACB=；AB.OG=乎»

・•・圆内接正六边形的面积为==6x走=正，

3VAUo42

故选:B.

11.如图，将VA03绕点。逆时针方向旋转得到△COD,AB与。。交于点〃，若N8OC=160°,

ZAOD=100°,则4CPB等于7、）

【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关铤.由旋转的性质可得N3O0=NAOC,

NA=NC,再根据三角形外角的性质求解即可.

【详解】解：如图,

D

AB

将V408绕点。逆时针方向旋转得到△COD,

:"BOD=ZAOC,ZA=ZC.

・・・/8OC=160。，ZAOD=100°,

ZAOC=30°,

由三角形的外角性质可知，ZAQC=ZA+ZAPQ=ZC^ZAOC.

/.ZAPQ=^AOC=30°,

NCPB=180°-30°=150°.

故选B.

12.新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点.若二次函数y=f-x+c(c,为

常数)在一2Vx<4的图像上存在两个二倍点，则c的取值范围是()

rI/9

A.-2<c<一B.—4<c<一

44

,109

C.-4<c'<—D.-10<cv—

44

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程及不等式的关系，由点的纵坐标是横坐标的

2倍可得二倍点在直线y=2x上，由—2<x<4可得二倍点所在线段A8的端点坐标，结合图象，通过求抛

物线与线段交点求解，掌握相关知识是解题的关键.

【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为y=2x,

将工二-2代入y=2尢，得：y=-4,

将工=4代入y=2x,得：y=8,

设4(—2,T),3(4,8),如图:

y=x^-x+c

联立《

y=2x

整理得：x2—3x+c=0»

当A>0时，抛物线与直线y=2上有两个交点，即9-4c>0,

9

解得：CY-,

4

当直线x=—2和直线x=4与抛物线交点在点A,3上方时，抛物线与线段A3有两个交点,

把工=-2代入y=/-x+c,得：y=6+c,

把工=4代入y=/一x+c,得：y=\2+Ct

6+0-4

―12+c>8，

解得：0-4>

,9

「・^4<cv—,

故选：B.

第II卷（非选择题共102分）

二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）

13.抛物线y=/-2x+3的顶点坐标是.

【答案】（1,2）

【解析】

【分析】本题考查二次函数的顶点坐标，熟练掌握一般式化顶点式的过程是解题关键.

通过配方法将一般式转化为顶点式来求解.

222

【详解】解：y=x-2x+3=x-2x+l+2=(x-l)+2,

，顶点坐标为（1,2）.

故答案为：（1,2）.

14.一元二次方程工2一33_1=0的两根为七,々，则工；+々2=.

【答案】II

【解析】

【分析】本题考查了根与系数关系定理，完全平方公式的变形计算，熟练掌握定理是解题的关键.

根据一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再利用完全平方公式的变形求解即可.

【详解】解：:一元二次方程f-3x—1=0的两根为不超，

-

.3—11

x}+x2=-=3,xlx2=—=-1.

・•・,=（%+9）2-2七9=32-2X（-1）=9+2=11.

故答案为：11

15.将抛物线y=2/先向右平移2个单位长度，再向上平移I个单位长度，所得新抛物线的解析式为

【答案】y=2（x-2『+l

【解析】

【分析】本题考查二次函数的平移问题，熟练掌握平移口诀是解题关键.

根据二次函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”进行变换.

【详解】解：将抛物线），=2/向右平移2个单位长度，得到），=2（%-2『；再向上平移1个单位长度，得

到J=2（X-2）2+1.

故答案为：），=2（工-2『+1.

16.RJA3C中，ZC=90°,AC=3,BC=4.把它沿边AC所在的直线旋转一周，所得到的几何体

的表面积为.

【答案】367r

【解析】

【分析】先利用勾股定理得AB=5,由于RtaABC沿边AC所在的直线旋转一周所得几何体为圆锥，圆锥

的母线长为5,底面圆的半径为4,然后计算它的侧面积和底面枳的和即可.

【详解】解:「△ABC中，•・・NC=90°,AC=3,BC=4.

"8=5,

n△ABC沿边4c所在的直线旋转一周所得几何体为圆锥，圆锥的母线长为5,底面圆的半径为4,

所以所得到的几何体的全面积=nX42+,x2nX4义5=36TT.

2

故答案为367T.

【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇

形的半径等于圆锥的母线长.

17.如图，在平面直角坐标系中，直线夕--十一2与“轴、,轴分别交于八、8两点，C、D是半径

为I的CO上两动点，且CO=&，P为弦CD的中点.当C、。两点在圆上运动时，面积的最大

值是___________

【答案】3

【解析】

【分析】结合垂径定理以及y=-x-2与坐标轴的交点来判断三角形PC。和三角形OW都是等腰直角

三角形，由等腰三角形的三线合一得0。=工/13=应，OP，DC=包,由三角形三边关系得：

222

PQvOQ+OP,当户、。、。共线时，S。步最大，求出AB、PQ,根据面积公式计算即可.

【详解】解：作。。_LA8于Q,连接。尸、OD、0C,如图：

•:CD=6，OC=OD=i,

，OC2+OD2=CD2,

・•・08为等腰直角三角形，

由y=一工一2得，

当.1=0时，y=-2；当y=0时，x=-2

即点4（-2,0）,B（0,-2）,

：・OA=OB=2,

・•・△043为等腰直角三角形，

,*•AB=,2?+2?=2\fl，

•:0Q1AB,

:.。。是A3的中线，

则0Q=gAB=&,

由三角形三边关系得：PQ<OQ+OP,

由题得，当P、0、。共线时，此时尸Q=OQ+O。，S△八期最大，

•・•户为中点，

・•・0P=-DC=—^

22

・•・PQ=。尸+。。二半，

：,SABP=；ABPQ=；X2五X当^=3;

故答案为：3.

【点睛】本题考查了圆的相关知识点的应用：垂径定理，斜边上的中线等于斜边的一半，三角形三边关

系，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点坐标；综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的

关键.

三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）

18.解方程：（X—1）2=3X—3.

【答案】％=1,々=4

【解析】

【分析】本题主要考查了解一元二次方程一一因式分解法，利用因式分解法求解可得.

详解】解：(X-1)2=3(1一1),

(X-1)2-3(X-1)=0,

(x-l)(x-4)=0,

工-1=0或A■-4=0,

—1,X-,—4.

19.化简（二一+a-2）+1.

。+2。+2

【答案】—

a-i

【解析】

【详解】分析：首先将括号里面的部分进行通分，再利用完全平方公式、平方差公式进行化简，之后进行约

分即可.

a2-1,a+2

详解:原式=

a+2(a-l)2

a+\

~^1

点睛：本考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先

乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的.最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果

要化成最简分式或整式.

四、解答题（本大题共3个小题，每小题10分，共30分）

20.计算：712-(3.14-^-)°+出十四.

【答案】6+4

【解析】

【分析】此题考查了实数的混合运算、二次根式的加法等知识，熟练掌握二次根式的化简、零指数塞、负整

数指数幕是解题的关键.先化简二次根式，计算零指数基、负整数指数暴，再计算加法即可.

【详解】解：店一（3.14-乃-|l-x/3|

=2>/3-l+4-V3+l，

=a+4.

21.如图，在平面直角坐标系中，已知VA8C的三个顶点都在格点上.

（1）画出VA4C关于原点o对称的△AMG；

（2）将VA3C绕点B顺时针旋转90。得到请在图中画出A2BC2,并求出线段3c旋转过程

中所扫过的面积.

【答案】（1）见解析；

（2）见解析，—.

4

【解析】

【分析】本题考杳了作图-旋转变演，勾股定理，扇形面积计算，掌握知识点的应用是解题的关键.

（1）根据中心对称的性质作图即可；

（2）根据旋转的性质作图即可，利用勾股定理求出3C的长，再利用扇形面积公式计算即可.

【小问1详解】

解：如图，VA8c即为所求；

解：如图,即为所求.

由网格可得8C=J『+42=J万,

•・•?CBC290?,

・♦・线段BC旋转过程中所扫过的面积为伏），"即）=17£.

3604

22.DeepSe或横空出世，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天.为激发青少年崇尚科

学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动.下面是随机抽取全校部分学生的模型

设计成绩（成绩为百分制，用工表示），并整理，将其分成如下四组：A：60«x<70,B：7（）<x<8（）,

（1）本次共抽取了名学生的模型设计成绩，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为；

（2）请补全频数分布直方图；

（3）请估计全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数；

（4）学校决定从模型设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状

图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率.

【答案】（1）50,144°

（2）见解析（3）全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数为720人

【解析】

【分析】本题考查了频数直方图，扇形统计图，中位数，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，看懂

统计图是解题的关键.

（1）rh。组学生人数除以其百分比可求出抽取的学生人数，

（2）求出B组学生人数，补全频数分布直方图即可；

（3）用1200乘以成绩不低于不分的人数占比即可;

（4）列表，根据列表共有12种等可能的结果，其中所选的两位同学恰为甲和丙的结果有：（甲，丙）,

（丙，甲），共2种，用概率公式计算所选的两位同学恰为甲和丙的概率即可.

【小问1详解】

解：本次共抽取了10个20%=50（名）学生模型设计成绩,

20

。组所对应圆心角的度数为一x360。=144。.

5C^

故答案为：50,144°；

［小问2详解】

补全频数分布直方图如图所示.

校乜设计成绩的嫉数分布直方图

【小问3详解】

30

全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数为而xl200=720（人）:

【小问4详解】

列表如下：（或画树状图）

甲乙丙

甲（甲，乙）（甲，丙）（甲，丁）

乙（乙，甲）（乙，丙）（乙，丁）

丙（丙，甲）（丙，乙）（丙，丁）

T（丁，甲）（丁，乙）（丁，丙）

共有12种等可能的结果，其中所选的两位同学恰为甲和丙的结果有：（甲，丙），（丙，甲），共2种，

」•所选的两位同学恰为甲和丙的概率为士=7.

126

五、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分）

23.2025年9月3日纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵中，受阅武器装备以新型

四代装备为主体，展示我军强大的战略威慑实力.某商场以30元/件的进价购进一批坦克模型，当该坦克

模型售价为50元/件时，第一周销售50件，第二、三周该坦克模型十分畅销，销售量持续上涨，在售价不

变的基础上，第三周的销售量达到72件.

（1）求第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率；

（2）经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平，现商场为了减少库存，采用

降价促销方式，通过调查发现，该坦克模型每件降价1元，周销售量就增加4件，当该坦克模型每件降价

多少元时，商场可获得最大利润，最大利润为多少？

【答案】（1）第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为20%

（2）当该坦克模型每件降价1元时，商场第四周销售该坦克模型可获最大利润1444元

【解析】

【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用.

（1）设第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为x,根据题意列出方程求解的值即可；

（2）设该坦克模型每个的售价降价〃，元，根据题意利润与机函数关系式，根据函数开口方向以及函数顶点

坐标判断最大利润所对应得〃?值，即可得出答案.

【小问1详解】

解；设第二、三周该坦克模型俏售量的周平均增长率为“，

依题意，得：50（1+x）2=72,

解得：x=0.2或1=一2.2（舍去），

答：第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为20%.

【小问2详解】

解：设当该坦克模型每件降价〃?元时，商场第四周销位该坦克模型可获利元，

依题意，得：=（50-m-30）（724-4/w）,

整理得）,=-4机2+8机+144。，

=Y（〃L炉+1444

•I<0

・•・当相=1时，）有最大值,为1444，

答：当该坦克模型每件降价1元时，商场第四周销售该坦克模型可获最大利润1444元.

24.如图，过圆外一点尸作。。的切线，切点为AA〃是O。的直径.连接P。，过点A作尸。的垂线，垂

足为。，同时交0。于点。，连接BCPC.

（1）求证：PC是0。的切线：

（2）若BC=2,OB=MOD,求切线的长.

【答案】（1）见解析（2）3加

【解析】

【分析】（1）连接OC,由垂径定理可得AO=CD,通过△OAZ）^AOCO（SSS）,得

ZAOD=NCOD,通过AOAPGJOC尸（SAS）,可得NOC尸=NQ4P=90°,根据切线的判定定理，即可

求解：

（2）由三角形的中位线得到O£）=g8C=gx2=l,0A=0B=M0D=M,

在RlZ\4OO中，根据勾股定理，得到AO的长，tan/AOD=3,在RkAPO中，根据正切三角函

数，即可求解，

【小问1详解】

解：连接OC,

VAC1PO,

:・AD=CD,

VOA=OCfOD=OD,

・•・一。1度一OCQ(SSS),

・•・ZAOD=ZCOD.

•：OA=OC,OP=OP,

・•..OAgaOCP(SAS),

・•・40cp=/OAP,

是：。的切线，

・•・^OAP=90°,

・•・ZOCP=ZQ4P=90°,

・•・PC是oo的切线，

【小问2详解】

解：•：AD=CD,AO=BO,

・•・OD=-BC=-x2=l,

22

・•・OA=OB=MOD=VTo,

3

22

在RtZ\A3O中，AD=yjAO-DO=710-1=3»tanZAOD=-=-=3t

在RtaA尸。中，PA=4OtanN4P0=屈乂3=3标，

故答案为：3>/10.

【点睛】本题考查了垂径定理，全等三角形的性质与判定，切线的性质与判定，三角形的中位线，解直角三

角形，熟练掌握相关性质定理及判定定理是解题关键.

25.综合与探究：

如图I,在平面直角坐标系中，抛物线》=。丫2-2工+，与工轴交于点4(—3,0)和点。，与)，轴交于点

8(0.3),点夕是抛物线卜点人与点。之间的动点(不包括点人•点C).

（2）如图1,动点P在抛物线上，旦在直线八月上方，求.八8P面积的最大值及此时点。的坐标;

（3）如图2,过原点。作直线/交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为〃?，点N的横坐