勾股定理及其应用（知识+23个题型讲练+中考题演练+难度分层练）原卷版-2024人教版八年级数学下册

专题20.1勾股定理及其应用

（知识荟萃+23个题型讲练+中考真题演练+难度分层练共71题）

【原卷版】

。目录导航

知识荟萃.................................................................................3

知识点梳理01:勾股定理..............................................................3

知识点梳理02：勾股定理的证明........................................................3

知识点梳理03：勾股定理的应用........................................................5

知识点梳理04:利月勾股定理作长为"的线段（n>l,且n为整数）.....................6

题型讲练.................................................................................6

题型1：用勾股定理解三角形...........................................................6

题型2：巳知两点坐标求两求距离.......................................................7

题型3：勾股树（数）问题...............................................................7

题型4：以直角三角形三边为边长的图形面积.............................................7

题型5：勾股定理与网格问题...........................................................8

题型6：勾股定理与折叠问题...........................................................9

题型7：利用勾股定理证明线段平方关系................................................10

题型8：勾股定理的证明方法..........................................................10

题型9：以弦图为背景的计算题........................................................11

题型10：用勾股定理构造图形解决问题.................................................12

题型11：勾股定理与无理数...........................................................12

题型12：求梯子滑落高度（勾股定理的应用）.............................................13

题型13：求旗杆高度（勾股定理的应用）.................................................14

题型14：求小鸟飞行距离（勾股定理的应用）.............................................15

题型15：求大树折断前的高度（勾股定理的应用）.........................................15

题型16：解决水杯。筷子问题（勾股定理的应用）.........................................16

题型17：解决航海问题（勾股定理的应用）...............................................16

题型18：求河宽（勾股定理的应用）.....................................................17

题型19：求台阶上地毯长度（勾股定理的应用）...........................................18

题型20：判断汽车是否超速（勾股定理的应用）..........................................18

题型21：判断是否受台风影响（勾股定理的应用）.........................................19

题型22：选址使到两地距离相等（勾股定理的应月）......................................21

题型23：求最短路径（勾股定理的应用）.................................................22

中考真题...............................................................................22

分层训练...............................................................................24

基础夯实............................................................................24

培优拔高............................................................................27

♦知识替萃

知识点梳理01：勾股定理

h股勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平

方.如果直角三角形的两条直角边长分别为ab,会边长为C,那么才+炉=上

1、勾股定理的应用条件：勾股定理只适用于直角三角形；

2、勾股定理揭示的是直角三角形三边的关系，已知直角三角形中的任意两边可以求出

第三边.

3、勾股定理的几种变形式：勾股定理将“数”与“形”联系起来，体现了直角三角形

三边之间的等量关系.如果直角三角形的两条直角边长分别为a,〃，斜边长为c,

则/+N=。2、孑=/-

炉二02_才；c―+b］、a■Jd—I?b.Jc?―/

【知识拓展】

1、锐角三角形的三边关系是：在锐角三角形中，若三边长分别为a,b,c,其中。为最大边，

则4+#2＞上

2、钝角三角形的三边关系是：在钝角三角形中，若三边长分别为ab,*其中。为最大边，

则才+4V°2.

【易错点拨】

1.勾股定理是直角三角形的特殊性质，所以其适用的前提是直角三角形.

2.运用勾股定理时，一定要分清直角边和斜边，若没有明确哪条边是斜边，则需要分类

讨论，写出所有可能的情况，以避免漏解或者错解.

知识点梳理02：勾股定理的证明

通过拼图证明勾股定理的思路:

(1)图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变.

(2)根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式.

(3)利用等式性质变化验证结论成立，即拼出图形一写出图形面积的表达式一找出等

量关系一恒等变形一推导命题结论.

下面列举几种证明方法：

1、“赵爽弦图”

证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形

面积的和.

_1

即d-2疑义4+(b-a),化简得：4”/.

2、我国数学家邹元治的证明方法

证明：在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形

面积的和.

即(a+n2=c22/6X4,化简得：#+加=02.

3、美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”

b

a

ba

图3

证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和.

1=-4-1

22

即(a+6)(a+Z?)2ab义2c't化简得：a'+b~=c~.

知识点梳理03：勾股定理的应用

利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和任明题，在解决过程中，往往利用

勾股定理列方程(组)，有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化非直角三角形为

直角三角形来解决.

1、运用勾股定理解决实际问题的一般步骤

1、从实际问题中抽象出几何图形；

2、确定所求线段所在的直角三角形；

3、找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系；

4、求得结果.

2、勾股定理应用的类型：

(1)已知直角三角形的任意两边长求第三边长；

(2)已知直角三角形的一边长确定另两边长的关系；

(3)证明包含平方(算术平方根)关系的几何问题；

(4)作长为迎(/7>1,且〃为整数)的线段；

(5)对于一些非直角三角形的几何问题和日常生活中的实际问题，首先要建立直角三

角形的模型，然后利用勾股定理构建方程或方程组解决.

【易错点拨】

勾股定理的应用的前提条件必须是直角三角形，所以要应用勾股定理必须构造直角三角

形.

知识点梳理04：利用勾股定理作长为行的线段（n>1,且n为整数）

实数与数轴上的点是——对应的，有理数在数轴较易找到它对应的点，但要在数轴上

直接标出无理数对应的原则较难，因此，我们可以利用勾股定理作长为且〃

为整数）的线段，进而在数轴上画出表示且〃为整数）的点.

在数轴上表示的步骤：

①利用勾股定理求出长为标的线段；

②在数轴上以原点为圆心，以长为"的线段长为半径画弧与数轴的正方向相交，则交点为

表示”的点.

♦题型由练

题型1：用勾股定理解三角形

【典例精讲】（2025•浙江衢州•模拟预测）清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用

ABDE

四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理.如图，四边形为正方形,

若&澳8。的斜边成=10,BC=6,则图中线段°F的长为（）

v,^8

A.6B.C.8

【变式训练】（2025•江西•模拟预测）如图，在平面直角坐标系中点""'3）和点p

是坐标轴上-动点，连接吗8P,当."BP为直角三角形时，p点的坐标是

题型2：巳知两点坐标求两点距离

【典例精讲】（24-25八年级下-云南普洱・期末）在平面直角坐标系中，,为坐标原点.已

知点”（T旬，则线段”的长为（）

A.3B.4C.5D.7

【变式训练】（24-25八年级下•广东湛江•月考•）在平面直角坐标系中，点「2'-S）到

坐标原点。的距离为.

题型3：勾股树（数）问题

【典例精讲】（23-24八年级下-云南昭通・期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，

它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中是“勾股数”的是（）

A.6,8,10B.5,12,11C.7,8,90.2,3,5

【变式训练】（24-25八年级下-陕西安康・期末）有一组勾股数，知道其中的两个数分别

是5和12,则第三个数是.

题型4：以直角三角形三边为边长的图形面积

【典例精讲】（23-24八年级下•贵州黔东南-期中）如图，字母8所代表的正方形的面积

是（）

12cm2,306cm2])306cm2

【变式训练】（23-24八年级下-内蒙古通辽•期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有

的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形尔从6；〃的面积分别是

11、13、12、11,则最大正方形少的边长是

题型5：勾股定理与网格问题

【典例精讲】（23-24八年级下・贵州黔东南-期末）如却是由边长为的正方形地砖铺设

AtBtC

的地面的一部分，一个扫地机器人沿图中所示的折线从，则它所走的路程是（)

西H12V5m2V3m

【变式训练】（23-24八年级下•内蒙古•期中）如图，数轴上点'所表示的数为1,点'，：

0是4x4的正方形网格上的格点，以点A为圆心，AD长为半径画圆交数轴于P，”0两点，则P

点所表示的数为.i可以用含根号的式子表示）

题型6：勾股定理与折叠问题

【典例精讲】（24-25八年级下-青海海西•期中）如图，有一块直角三角形纸片，两直角

边"=5cmBC=12cm现将直角边4c沿直线皿折叠，使它落在斜边.上，且与酢重

CD

合，则等于（）

108

7cm3cm3cm5cm

A.B.C.D.

【变式训练】（2025•广东汕头・一模）如图，在三角形纸片”8,中,

dC=90。,”=2,BC=E,沿过点力的直线将纸片折叠，使点夕落在边8c上的点〃

处；再折叠纸片，使点。与点〃重合，若第二次的折痕与4。的交点为E,则'A的长是（）

题型7：利用勾股定理证明线段平方关系

【典例精讲】（24-25八年级下•青海玉树•期末）在△'8'中，"㈤"。所对的边

八…口Q、b、c^A:^B：=1:1:2一-…I、-F/,口，、

分别是，且，则下列等式止确的是（）

a2=b2c2a2=2（^c2=2d2

A.B.C.

b2=2az

△ABC△ECD

【变式训练】（24-25八年级下-安徽合肥・期中）如图，和都是等腰直角三

…4cB=4CD=90。△ECD〃一—-HE

角形，，的顶点是的斜边上的点，连接

⑴求㈤，的度数;

AD2+BD2=2CD2

（2）求证:

EC

BD=3AD赤

（3）若,请直接写出8%勺值.

题型8：勾股定理的证明方法

【典例精讲】（24-25八年级下-山东济南・月考）《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股

算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广.书中的证明方

ABCDE

法是将4个边长分别为a、庆。的全等直角三角形拼成如图所示的五边形，然后通

c=4

过添加辅助线用面积法证明勾股定理.已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的

BC

面积是10,那么的长是（）

AE

【变式训练】（24-25八年级下-广西贺州・期末）下面四幅图中，不用用面积验证勾股定

题型9：以弦图为背景的计算题

ABCD

【典例精讲】（2026•江西-模拟预测）如图是“赵爽弦期”经修饰后的图形，四边形

EFGHDEAD

与四边形均为正方形，，是的中点.若的长为5,则阴影部分的面积为.

【变式训练】（23-24八年级下-陕西商洛•期末）如图，是我国古代弦图变形得到的数学

风车，是由四个全等的直角三角形和中间的正方形组成，直角三角形的斜边直

BC=1DACAD=1

角边，点在上，，则中间正方形的面积为.

题型10：用勾股定理构造图形解决问题

【典例精讲】（24-25八年级下-全国・月考）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的

9cm12cm18cm

内部底面直径是，内量高.若这支铅笔长为，设这支铅笔在笔筒外面部分长

度为X，则X的取值范围是（)

2cm<%<5cm3cm<x<6cm4cm<x<7cm

A.B.C.

5cm<x<8cm

D.

【变式训练】（24-25八年级下•广西南宁•月考）如图，圆柱的高为3米，底面圆的周长

为5米.将--条彩带从底面力点开始绕圆柱1圈后，挂在点力的正上方点8处，彩带最短需

题型11:勾股定理与无理数

【典例精讲】（24-25八年级下•湖北黄冈・期末）如图，根据尺规作图的痕迹判断数轴上

点。所表示的数是（）

B

012345

V5B,2炳

A.C.4.4D.4.5

0A=OBA

【变式训练】（23-2/1八年级卜.•广东汕头-期中）如图，，则在数轴上点表示的

实数是

1B

题型12：求梯子滑落高度（勾股定理的应用）

【典例精讲】（23-24八年级下•甘肃定西•月考）如图，一架梯子的长度为15米，斜靠在

墙上，梯子底部离墙底端为9米.

（D这个梯子顶端离地面有几米；

（2）如果梯子的底部沿水平方向向外滑动了4米，那么梯子的顶端下滑了几米？（结果用二

次根式表示）

ABCD

【变式训练】（23-24八年级下-安徽合肥•期末）如图，将矩形木板斜靠在与地面垂

1]]]

（1）若木板的底端夕向里滑行，则木板的顶端力沿墙上滑m：

（2）在木板滑动的过程中，木板的顶端〃到。点的最大距离是m.

题型13:求旗杆高度（勾股定理的应用）

ABBC

【典例精讲】（23-24八年级下•陕西西安•月考）如图所示，已知旅杆垂直地面，小

明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面比旗杆还多1米，当他把绳子的下

BC=S

端拉开与旗杆底部相距5米后，发现下端刚好接触地面（米），请你求出旗杆的高度

AB

【变式训练】（24-25七年级上-山东淄博・期中）小明买了一个年画风筝，并进行了试放,

BD15m

为了验证某些数学问题，他设计了如下的方案；先测得放飞点与风筝的水平距离为；

根据手中余线长度，计算出的长度为“血；牵线放风筝的手到地面的距离为13m.已

知点凡B,C,〃在同一平面内.

（1）求风筝离地面的垂直高度吗

（2）在余线仅剩.血的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升m,请问能否成功？请说

明理由.

题型14：求小鸟飞行距离（勾股定理的应用）

【典例精讲】（24-25八年级下•陕西商洛•期末）如图，有两棵树，一棵高另一棵

5m12m

高，两树相距，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（）

5m10m13m17m

A.B.C.D.

【变式训练】（24-25八年级下-云南文山-期中）轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿路来

飞去的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两棵树，一棵高m,另一-棵高2m,两树相距

一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞（）

2m3m4m5m

A.B.C.D.

题型15：求大树折断前的高度（勾股定理的应用）

【典例精讲】（2024八年级下•全国•专题练习）如图在一棵树的1°血高的。处有两只猴子，

20mAA

其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘处.如

果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树高111.

【变式训练】（24-25八年级下-贵州遵义・期中）古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹

高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹

AB+AC=25BC-5

尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，

AC

设为x尺，则下列方程正确的是（

Bx2+52=(25-x)2

X2-(25-X)2=52X2-52=(25-X)2

题型16：解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用）

【典例精讲】（2025•湖北•模拟预测）如图：一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径

为高为12c血，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4•&:in,吸管长（）0m

【变式训练】（2025•安徽・模拟预测）《九章算术》卷三载有“引葭赴岸”问题：“今有池

方一丈（一丈等于十尺），葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长几

何”.下列答案正确的是（）

A.3尺、4尺B.6尺、8尺C.12尺、13尺D.24尺、25尺

题型17：解决航海问题（勾股定理的应用）

【典例精讲】（23-24八年级下・甘肃定西・月考）如图，一轮船以16海里/时的速度从港

口/!出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口［出发向东南方向航行,

离开港口2小时后，两船相距（）

北

南

A.20海里B.40海里C.35海里D.30海里

【变式训练】（24-25八年级下•广西南宁•期末）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口°出发，

9/1

甲轮船以海里时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，小时后两艘

15

轮船相距海里，则乙轮船每小时航行海里.

题型18：求河宽（勾股定理的应用）

【典例精讲】（24-25八年级下-辽宁葫芦岛•期中）在一次研学活动中，小宣同学欲控制

遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点方相距8

ACABAB

米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（）

/〃耳/〃

____1____z_______

、、北、:、、、、、

A.6米B.9米C.12米D.15米

【变式训练】（24-25八年级下•河北唐山•期中）如图，某工程队为修通铁路需凿通隧道

4=50：=40°AB=2.5kmBC=2.4kni0.2km

测得若每天开凿隧道，需要几

天才能把隧道"凿通？

题型19：求台阶上地毯长度（勾股定理的应用）

5]]]131H

【典例精讲】（23-24八年级下-广西河池-期中）如图，在高为，坡面长为的楼梯

表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）

17m18m

C.D.

【变式训练】（24-25八年级下-广东广州-期中）某公司举行开业一周年庆典，准备在一

个长“血，高5nl的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为地毯的价格为120元

则购买地毯需花费元.

题型20：判断汽车是否超速（勾股定理的应用）

【典例精讲】（23-24八年级下•河北廊坊•月考）“为了安全，请勿超速”.如图，一条公

MNMN

路建成通车，在某路段上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立

NCBN=60。BC=200

了观测点a从观测点。测得一小车从点力到达点8行驶了5秒，已知

（1）请求出观测点。到公路””的距离;

⑵此车超速了吗？请说明理由.（参考数据：企"141,巡”,73）

90km/h25m/s

【变式训练】（24-25八年级下•广西贵港•期中）已知某高速路段限速（即/）.如

（々=）

图,汽车在车速检测仪力正前方30米的C处I90°4过了2s后到B处，测得AB=50m.请

通过计算判断汽车是否超速.

观测点

题型21：判断是否受台风影响（勾股定理的应用）

【典例精讲】（24-25八年级下-山东日照・月考）如图，4市气象站测得台风中心在'市正

400B107560°BF300

东方向千米的处，以千米/时的速度向北偏西的方向移动，距台风中心

千米范围内足受台风影响的区域.

北

(1),市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；

(2)如果'市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？

力

［变式训练］(24-25八年级下-江西赣州-期中)如图，某气象站测得台风中心在城正西

300kmB10x^7km60°BF200km

方向的处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距台风中心

4

的范围是受台风干扰的区域，问城是否受到此次台风的干扰？为什么？若要受到台风干扰,

题型22：选址使到两地距离相等（勾股定理的应用）

AB40CD

【典例精讲】（24-25八年级下•湖北武汉・期中）如图铁路上、两点相距千米，、

,,DALABCBLABABDA=24,CB=16

为铁路两边的两个村庄，，，垂足分别为和，千米，千

ECDE

米，现在要在铁路旁修建一个候车点，使得、两村到该候车点的距离相等.则候车点应

A.12千米B.16千米C.20千米D.24千米

【变式训练】（24-25八年级下•河南商丘・月考）如图I铁路上有'、'两点（看作直线

40CD,ADLABBC1ABA

上两点）相距千米，、为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为、

BAD=24BC=16CD

,千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得、两村到煤栈的

距离相等.

设燥栈应建在距点千米处的点处，如图，则一千米.

DD

CC

nrTE

AFlIIII1BAFlI『II」rB

图1图2

BE=

(1)(____)千米;

（2）煤栈应建在距'点多少千米处？

题型23：求最短路径（勾股定理的应用）

△ABC4B=6,BC=8,NB=90。

【典例精讲】（23-24八年级下•全国•期中）如图，在中,

ACAP+BP+CP

若〃是上的一个动点，则的最小值是（）

【变式训练】（23-24八年级下•全国•期中）如图，正方体的棱长为2,为一条棱的中点.已

知蚂蚁沿正方体的表面从1点出发，到达8点，则它运动的最短路程为

♦中育真霆

1.（2024•四川泸州•中考真题）如图，是由4个全等的直角三角形构成的“勾股弦图”,

ABCDAEEFGH

若正方形的面积为52,的长为4,则正方形的面积为（）

D

A.B.6C.5D.4

2.（2024•浙江杭州-中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所

示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角

三角形的两条直角边长分别为若小正方形面积为3,且满足S+'）2=1S则

大正方形面积为（）

A.8B.9C.100.11

3.（2。24.湖南益阳.中考真题）如图，在Rt△城中，4=加"=12,4"的

平分线血交"于〃，且即点少是四边上的一动点，则的最小值为

B

4.（2024•黑龙江牡丹江•中考真题）如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌,

经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，AD=a45°^MB,C=30°则警示牌的

高”约为米.（结果精确到°」米，参考数据：我"I”】，6”,73）

c

多雾路段

潼慎驾驶力'、、、、

\、、、、、

\'、、、、、

________45-_______3（?八、

MA_______B

5.（2024•陕西咸阳-中考真题）今年，第13号台风“贝碧嘉”9月16日登陆后的影响还

在持续，第14号台风“普拉桑”和第15号台风“苏力”乂于19日登陆.力市接到台风警

52kmAB=52km8km/hBC

报时，台风中心位于距离力市的4处（即），正以的速度沿直线

方向移动.

BCAD=20kni

（1）已知/市到的距离，那么台风中心从8点移到〃点经过多长时间？

25km

（2）如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么力市受到台风影响的时间

是多长？

♦分尼训练

基础夯实

1.（24-25八年级下•云南红河•期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为12尺的正

方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的边沿，它

的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是x尺，根据题意,

可列方程为（）

x2+62=122(12-l)2+62=x2

x2+62=(x-2)2(x-2)2+62=x

2.（24-25八年级下•陕西安康•期末）下列各组数中，是勾股数的是（）

0.30.40.5

A.7,10,12B.,C.6,8,10D.E,8,

12

ABCDBC

3.（24-25八年级下•湖北黄冈•期中）如图，长方形的边在数轴上，点6的坐标

—3AB=3BD

为，点C的坐标为3,,以8为圆心，为半径画弧与数轴交于点反则点£表

示的实数是（）

3V5-3

4.（24-25八年级下•陕西安康•期末）为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，

分析问题，解决问题的能力.某学校的八年级（1）班组织了一次课外研学活动.在研学活

动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点厂

EF=1QHF

与欲到达地点£相距10米（即米），结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度

EH,,EHLEF..EH,

多2米，，则河的宽度为.

//E/F/

_______1/_________

5.（24-25八年级下•陕西商洛•期末）若5、313是一组勾股数，则/的值为.

6.（24-25八年级下•云南临沧•期末）在平面直角坐标系中，点力的坐标为则

线段04的长为.

7.（24-25八年级下•广西河池•期中）如图，图中所有四边形都是正方形，三角形是直角

三角形，若正方形力，4的面积分别为18,1（）,则正方形C的面积是.

8.（24-25八年级下•云南临沧•期末）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：

“今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽.问索长几何？”意思是有

一个竖直的木棍，在其顶端系一根绳子，让绳子竖直下垂，在地面上的多余的绳子长3尺.把

绳子护百使绳子底端恰好着地，底端离木棍底端的距离是8尺，问绳子长为多少？

々=90。AC=。+6

9.（24-25八年级下-陕西商洛•期末）在中,

5C=V7-V3.求"'的长.

RtA/4FC々=90。

10.（24-25八年级下•甘肃平凉•期中）如图，在中,

,、什4=30。AC=2:mABBC

⑴若，求和

NA=45。AB=2cm,ACBC

⑵若,求和

培优拔高

11.（24-25八年级下•云南红河・期末）把三个正方形的一边首尾相接组成下图，已知正

A9B16C

方形的面积为，如果正方形的面积为，那么正方形的面积为（)

1625144

A.B.C.I).

24cm5cm

12.（24-25八年级下•云南临沧•期末）如图，圆柱的底面周长为，窗为，蚂蚁

在圆柱侧面爬行，从点力爬到点8（点6在点A的正对面）的最短路程是（）

12cm13cm14cm15cm

A.B.C.D.

AARCXC=90°X4=30c

13.（24-25八年级下•广东广州•期中）如图，在中，一，一，以

BABC

点6为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点EM再分别以点M*为圆心，大

泊/BPAC”=4、月

于2的长为半径画弧，两弧交于点尺作射线交于点〃.若一V,则在中

AB

边