2025年人教版八年级数学上册压轴题专项汇编：因式分解（解析版）

2025-2026学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇

编

专题12因式分解

考试时间：120分钟试卷满分：100分

一.选择题(共10小题，满分20分，每小题2分)

1.(2018秋•雨花区校级月考)已知a=2018x+2018,8=2018廿2019,c=2018x+202。，则

/+9+c-ab-ac-be的值是()

A.0B.1C.2D.3

【思路引导】根据题目中的式子，可以求得a-Aa-c、人-c的值，然后对所求式子变

形，利用完全平方公式进行解答.

【完整解答】解：V,3=2018^2018,力=2018冶'2019,。=2018户2020,

a-b=-1,a-c=-2,b-c=-1,

:./+炉+。2-ab-ac-be

_2a2+2b，+2c」-2ab-2ac-2bc

~2

_(a2-2ab+b2)+(a)-2ac+c2)+(b)-2bc+c2)

—

_(a-b)(a-c)2+(b-c)2

~2

_(-l)2+(-2)2+(-l)2

2

=3,

故选：D.

2.(2019秋•天心区校级月考)把多项式(x・y)2-2(x-y)-8分解因式，正确的结果是

()

A.(x-片4)(x-四2)B.(x-y-4)(x-y-2)

C.{x-y-4)(x-j+2)I),(x-j+4)(x-y-2)

【思路引导】根据十字相乘法的分解方法，要把x-y看作是个整体.

【完整解答】解：(.x-y)2-2(x-y)-8,

=(x-y-4)-j+2).

故选：C.

3.(2024•岳麓区校级期末)计算：652-352=()

A.30B.300C.900D.3000

【思路引导】利用平方差公式进行计算，即可得出答案.

【完整解答】解：652-352=(65+35)(65-35)=100X30=3000,

故选：D.

4.(2022•长沙模拟)下列从左到右的变形，属于因式分解的是()

A.(户3)(x-3)=/-9B.岁-9+x=(户3)(x-3)-x

C.xy-xy=xy(y-%)D.x+5x+4=x(A+5)+4

【思路引导】把一个多项式化为几个整式的枳的形式，这种变形叫做把这个多项式因式

分解.由定义判断即可.

【完整解答】解：力.从左到右的变形是整式乘法，不是因式分解，故4不符合题意；

B.等式的右边不是几个整式的枳的形式，不是因式分解，故8不符合题意；

C.是因式分解，故。符合题意；

D.等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故〃不符合题意.

故选：C.

5.(2021秋•开福区校级期中)多项式3丁/-12月/-的公因式是()

A.3x2yzB.xyC.3x2/D.3xyz

【思路引导】根据公因式的概念即可得出答案.

【完整解答】解：多项式3£/-i2¥y-6xW的公因式是3/1

故选：C.

6.(2021秋•望城区期末；下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是()

A.\x-4A+1B.X+2X-1C.x2+xy+2yD.9+x2-\x

【思路引导】利用完全平方公式进行分解逐一判断，即可解答.

【完整解答】解：月、4八4肚1=(2x7)2,故力符合题意；

B、x+2x+l=(户1)2,故8不符合题意；

C、V+盯+2/=(产2,故C不符合题意；

42

〃、9+f-6x=(X-3)2,故〃不符合题意；

故选：A.

7.(2021秋•开福区校级期末)下列各式因式分解正确的是()

A.y+l=31)2B.x-x=x(ri-l)(A--1)

C.(广1)(户3)=?+4AH-3D.六+2户1=4(户2)+1

【思路引导】利用提公因式法，公式法进行分解逐一判断即可.

【完整解答】解：A.V+1,不能分解，故月不符合题意；

B.x~x=xCx+1)(x-1),故夕符合题意；

C.(x+1)(户3)=丁+4田3,不是因式分解，故。不符合题意；

D.A2XM=(产1)2,故〃不符合题意；

故选：B.

8.(2019秋•芙蓉区校级月考)已知a、b、c是△/1式的三条边，且满足，+A=^+ac,则

△力比是()

A.锐角二角形B.钝角二角形C.等腰二角形D.等边二角形

【思路引导】已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0

得到a=〃，即可确定出三角形形状.

【完整解答】解：已知等式变形得：(a+b)(a・b)-c(a-6)=0,即(a・b)(什b・

c)=0,

•：c#0,

:•a-6=0,Hpa=b,

则△力欧为等腰三角形.

故选：C.

9.（2020秋•开福区校级月考）下列因式分解正确的是（）

A.2ax-^ax=2a（x-2%）B.（x-y）2=x-y

C.x+4xj+4y=（x+2y）2D.ni-n=（/»+/?2）（/-//）

【思路引导】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式.因此，要确定从左

到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定.

【完整解答】解：力、2a。-4ax=2ax（x-2）,故本优项错误，不符合题意；

员结果不是乘积的形式，旦也不相等，故本选项错误，不符合题意；

C、x^\xy^\y=（x+2y）故本选项正确，符合题意；

D、还能再继续分解因式：/〃'-〃'=（///+/?2）（zzf-/?2）=（序+/广）（研〃）（加-〃），故本选项

错误，不符合题意.

故选：C.

10.（2019•岳麓区校级开学）下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（）

A.a-1B.才+4C.c/+2a+lD.a-4a-4

【思路引导】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2

倍，对各选项分析判断后利用排除法求解.

【完整解答】解：力、/-1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故错误；

B、挤^不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故错误；

C、a+2^-1=4）”,故正确；

〃、才-4a-4=（a-2）2-8,不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故错误.

故选：C.

二.填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）

11.（2022•开福区三模）因式分解25/・/〃=、（5r-）（5-/）.

【思路引导】先提公国式，再利用平方差公式继续分解即可解答.

【完整解答】解：25%-AT2

=x(25-/)

=x(52-y2)

=x(5+y)(5-y),

故答案为:x(5+y)(5-y).

12.(2018秋•岳麓区校级期末)因式分解：23+8>8=2(批2)2.

【思路引导】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，

可采用完全平方公式继续分解.

【完整解答】解：原式=2(才+4/4)=2(护2)2.

故答案是：2(a+2)2.

13.(2017春•芙蓉区校级月考)分解因式：-m+2/7/-//;=-/〃(m-1).’.

【思路引导】原式提取-勿后，利用完全平方公式分解即可.

【完整解答】解：原式=-勿(万-2研1)=-/»(勿-1)2.

故答案为：-/〃(/»-1)2

14.(2020秋♦长沙月考)分解因式：勿V-6mK9m=m(x-3)’.

【思路引导】先提取公因式勿，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案.完全平

方公式：a±2ab^tf=(a±b)2.

【完整解答】解：mx-6勿产9勿=m(.X-6肝9)=勿(*-3)2.

故答案为：m(x-3)；

15.(2019♦天心区一模)困式分解：f-9x=x(*3)(x-3).

【思路引导】先提取公因式x,再利用平方差公式进行分解.

【完整解答】解:49必

=x(Y-9),

=x(户3)(x・3).

16.（2022•开福区一模）分解因式：f-4x=%（x-4）.

【思路引导】直接提取公因式x进而分解因式得出即可.

【完整解答】解：X-ix=x（^-4）.

故答案为：x（x-4）.

17.（2019春•开福区月考）分解因式：2^・8=2（厅2）（勿-2）.

【思路引导】先提取公因式2,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解因式.

【完整解答】解：2/・8,

=2（序・4）,

=2（〃升2）（/«-2）.

故答案为：2（研2）（々-2）.

18.（2021秋•开福区校级期末）己知3x7=0,贝i]2f-31-11k1=4.

【思路引导】根据已知f-3x-1=0,可得岁=3户,可以利用这个等式对预求的代数

式进行降次、化简.

【完整解答】解：2Y-3/-11AM-1

=2xX/-3/-11A-+1

=2xX（3A+1）-3（3户1）-IIA+1

=6x+2x-9x-3-11户1

=6x-18x-2

=6X（3户1）-18x-2

=18产6-18A-2

=4.

故答案为4.

19.（2019秋•长沙县期末）如图所示，根据图形把多项式，+5物而因式分解=

（a+4Z?）.

a

b

abbbb

【思路引导】根据图形和等积法可以对题目中的式子进行因式分解.

【完整解答】解：由图可知，

5a加4讨=（才力）（/4b）,

故答案为:Sb）（a+4b）.

20.（2018秋•天心区校级月考）把多项式＞/+2々切.2分解因式的结果是己（户），）

【思路引导】首先提取公因式a,再利用完全平方公式进行分解即可.

【完整解答】解：原式=a（A2xr-Z）

=ci（A+7）2.

故答案为：a（产y）2.

三.解答题（共8小题，满分60分）

21.（6分）（2021秋•长沙县期末）因式分解：

（1）x（a-1）+（1-a）；

（2）3/»+6///z?+3//.

【思路引导】（1）利乐提公因式法分解即可：

（2）先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可.

【完整解答】解：（1）x（a-1）+（1-a）=（a-1）（x-1）；

（2）3m*+6勿＞3〃".

=3（nf+2nwR）

=3（加〃）2.

22.（8分）（2021秋•开福区校级期末）仔细阅读下面例题，解答问题：

例题：己知二次三项式V-4户m有一个因式是产3,求另一个因式以及m的值.

解：设另一个因式为户〃，则V-4A■+/»=(户3)(户,7),

即x-4x+m=x+(/T+3)户3〃，

・・・工+3=-4,解得卜=-21

3n=mIn=-7

故另一个因式为x・7,%的值为-21.

仿照上面的方法解答下面问题：

已知二次三项式#+3x-々有一个因式是x-5,求另一个因式以及k的值.

【思路引导】设另一个因式为(户夕)，得f+3产女=(k2)(x-5)=V+(p-5)x・5仍

可知夕-5=3,-5p=k,继而求出P和女的值及另一个因式.

【完整解答】解：另一个因式为产"

由题意得：Y2+3x-k=((x-5).

BP/+3x-k=x^(p-5)x-5p,

则有k-5=3,

I-5p=-k

解得(P=8,

k=40

所以另一个因式为：(尸8)；4的值为40.

23.(8分)(2021秋•长沙县期末)方法探究：

已知二次多项式V-4X-21,我们把x=-3代入多项式，发现V-4X-21=0,由此可

以推断多项式中有因式(状3).设另一个因式为(户外，多项式可以表示成Z-4Z-21

=(k3)(户外，则有＞2-4X-21=H+(抬3)产3A,因为对应项的系数是对应相等的，

即々+3=-4,解得々=-7,因此多项式分解因式得：/-4x-21=(x+3)(x-7).我们

把以上分解因式的方法叫‘'试根法”.

问题解决：

(1)对于二次多项式V-4,我们把x=±2代入该式,会发现V-4=0成立；

(2)对于三次多项式/・彳2・3卢3,我们把x=l代入多项式，发现f・产・3m3=0,

由此可以推断多项式中有因式(x-1),设另一个因式为(V+aHb),多项式可以表示成

x-x-3^-3=(x-1)(Y+axi-Z?),试求出题目中a,人的值；

(3)对于多项式f+4J-3x-18,用“试根法”分解因式.

【思路引导】(1)将*=±2代入即可；

(2)由题意得炉-V-3户3=炉-(.l-a)x-(a-b)x-b,再由系数关系求a、人即

可；

(3)多项式有因式(z-2),设另一个因式为(9+ar"),则f+”・3x-18=f+(a・

2)x-(2a-6)x-2b,再由系数关系求a,6即可.

【完整解答】解：(1)当k±2时，V-4=0,

故答案为：±2；

(2)由题意可知V-V-3如3=(x-1)(Z+a^+Z?),

*.x-x-3户3=M-(1-c?)x-ka-b)x-b,

.*.1-5=1,b=-3,

...a=0,b=-3；

(3)当x=2时，/+4?-3x-18=8+16-6-18=0,

・•・多项式有因式(x・2),

设另一个因式为(f+ax+b),

/./+4x-3x-18=(%-2)

.*.x+4x-3x-18=xJ+(a-2)x-(2a-b)x-2b,

/.a-2=4,26=18,

/•ci—6,6=9,

Z./+4/-3^-18=(>-2)(x+6x<-9)=(x-2)(.叶3):

24.(8分)(2021秋•望城区期末)(1)将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续

分解的方法是分组分解法.

例如：an^an+bn^bn=(arn^an')+(bnr^bn')=a(mn)+b(如■〃)=(m~b)(研〃).

①分解因式：ab-2a-2ZH-4；

②若a8(H>6)都是正整数且满足助-2a-2"4=0,求2芯方的值;

（2）若a,。为实数且满足血・a-1=0,整式，仁才+3口加匕9打-7。，求整式"的

最小值.

【思路引导】（1）①模仿例题利用分组法进行因式分解即可；

②利用①题结论进行讨论计算；

（2）由题意得加=m■64,然后将整式必进行配方部分因式分解就能求得此题结果.

【完整解答】解：（1）①ab-2a-2ZrM

=a（6-2）-2（Z?-2）

=(/?-2)(a-2)；

②'：ab-2a-2b-4

=ab-2a-2b^-4-8

=0,

由①可知：(8-2)(a-2)=8,

•・•&b（a>6）都是正整数,

：,a-2>b-2,且a-2、6-2都为整数,

或|ra-2=4,a-2-L或a-2=-2,

可得,,或《

b-2=l,b-2=2,b-2=-8,b-2=-4,

a=6,或a=la=0（不合题意，舍去）,

解得1（不合题意，舍去），或

I："或b=4b=-6b=-2

・••当a=10,6=3时,

2Kb=2X10+3=20+3=23,

当a=6,6=4时、

2Kb=2X6+4=12+4=16,

,2m•力的值为23或16；

(2)由a/;-a-6-1=0得,

ab=a+历1,

••..3=#+3(a+〃l)+69a7b

=才+35+3〃3+炉-9》-78

=(a"-6^-9)+(6-4/TM)-9-4+3

=(a-3)2+(b-2)2IO,

・••整式M的最小值是-10.

25.(8分)(2021秋•长沙期中)阅读理解：

若x满足(9-x)(x-4)=4,求(4-x)2+(x-9)?的值.

解：设9・x=a,x-4=b,

贝I](9-x)(x-4)=ab=4,a+b=(9・x)+(x-4)=5,

:.(9-x)2+(x-4)2=a+l)=(a+Z?)2-2aZ?=52-2X4=17.

迁移应用：

(1)若x满足(2020-x)2+(x-2022)2=10,求(2020-x)(x-2022)的值；

(2)如图，点区G分别是正方形1比9的边力〃、力?上的点，满足比-A,BG=kC"为

常数，且4>0),长方形的心的面积是红,分别以GK"'作正方形GE7/和正方形他任

16

求阴影部分的面积.

【思路引导】(1)利用题干中所给的方法解答即可；

(2)设正方形力武力的边长为x,则［£=x・hAG=x-k-1,可得力£-/1G=l,AE・AG=

生；利用题干中的方法可求得力研力a利用阴影部分的面枳等于正方形⑺〃/与正方形

16

力”V的面积之差即可求得结论.

【完整解答】解：(1)设a=2()20K、b=x2022,贝人

ayb=-2,才+炉=10.

V(a+b)2=才+2曲次

A10+2ab=(-2)2.

:・ab=~3.

A(2020-x)(x-2022)=-3.

(2)设正方形IM?的边长为x,则AG=x-k-\,

：.AE-AG=i.

•・•长方形/出％的面积是21,

16

・"£・47=21.

16

VUE-AO2=4?・2力£・4g力自

・,・力川+/=i+21=22.

88

,:(A抄AG)-=A^2AE-A(^A(/,

:.(力入忆)2=空卫，

88

・•・力6”=区.

2

:、、见形洋分=S正方形GFIH-S正方形AGJK

=AE-旃

=(得/G)(AE-AG)

=­X1

2

-_5....

2

26.(6分)(2021秋•开福区校级期中)阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项

式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问

题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大

值，最小值等问题.

例如：求代数式：f-12户2020的最小值

解：原式=/-12户62-62+2020

=(A--6)2+1984

■:(x-6)'O.

，当x=6时，(x-6)2的值最小，最小值为0,

:.(x・6)2+198421934,

・•・当(x-6)2=0时,(彳・6)41984的值最小,最小值为1984,

，代数式:x-12^2020的最小值是1984.

例如：分解因式:x-120x1-3456

解：原式=^-2X60炉"60?-6(A3456

=(x-60)2-144

=(x-60)2-122

=(x-60+12)(x-6Q-12)

=(x-48)(x-72).

(1)分解因式V・46刘"520：

(2)若y=-f+2户1313,求p的最大值；

(3)当/〃，n为何值的，代数式ni'-2mn-2研2/『-4/升2030有最小值，并求出这个最小

值.

【思路引导】(1)把f-46户520化为X、46k23〉-9的形式，先用完全平方公式，再用

平方差公式因式分解；

(2)首先把y配方写成y==-(x-2)2+1314,根据平方的非负性得y的最大值；

(3)用拆项的方法首先把多项式化为m-2/n(/?+1)+(加1)、万-6/廿9+2020的形式,

进一步分解因式，再根据平方的非负性求出多项式最小值.

【完整解答】解：(1)V-46户520

=/-46户23’-9

=(x-23)2-9

=(x-26)(x-20)；

(2)y=-A2AH-1313

=-x+2x-1+1314

=-(/-2A-+1)+1314

=-(A--1)2+1314,

,:.(x・1)Wo,

:・-(x-1)2+1314<1314,

・•..的最大值1314：

(3)m-2mn-2m^2n'-4/7+2030

=zzf-2/n(??+l)+(〃+l)2+n~-6/?+9+2020

=(m-n-1)2+(/7-3)2+2020,

当m-〃-1=0,3=0时代数式有最小值，

解得切=4,〃=3,最小值为2020.

27.(7分)(2019秋•天心区月考)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么

称这个正整数为“神秘数”.

如:4=22-0\12=42-22,20=62-42,因此4,12,20这三个数都是神秘数.

(1)28是神秘数吗？为什么？

(2)设两个连续偶数为2介2和24(其中4取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘

数是4的倍数吗？为什么？

(3)①若长方形相邻两边长为两个连续偶数，试说明其周长一定为神秘数.

②在①的条件卜，面积是否为神秘数？为什么？

【思路引导】(1)利佳神秘数的定义判断即可；

(2)根据题意表示出两个连续偶数的平方差，利用立方差公式化简即可做出判断:

(3)①根据神秘数得定义，只要证明此长方形的周长为两连续偶数的平方差便可；

②面积不为神秘数，用反证法进行说明.

【完整解答】解：⑴V28=82-62,

・・・28是神秘数；

2014不是神秘数，神秘数必须是4的倍数：

(2)两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数，

'：(2A+2)2-(2k)2=8>4=4(2於1),

・••神秘数是4的倍数：

(3)①设长方形相邻两边长分别为2加2和2〃，(〃为正整数)，则其周长为：

2[(2/74-2)+2〃]=8"4,

•・•(2/7+2)2-(2/Z)2=8加4,

・••此长方形的周长=(2M2V-(2〃)2,即此长方形的周长等于两个连续偶数的平方差，

••・该长方形的周长一定为神秘数：

②该长方形的面枳不为“神秘数”，理由如下：

长方形的面积为：(2加2)・2〃=4〃(加1),

设两个连续的偶数为2代2和24,(左为非负整数)，

假设此长方形的面积为“神秘数”,则4〃(加D=(262)2-(2k)，即4〃(用)=

8〃+4,

・•・〃(/74-1)=2介1,

•・"为正整数，

:・n(加1)必为偶数,

而2>1为奇数，

/./?(/7+1)=2介1不成立，

・••假设此长方形的面积为“神秘数”不正确，

故该长方形的面积不为“神秘数”.

28.（9分）（2019秋•开福区校级期末）我们知道，任意一个正整数〃都可以进