高考数学复习考点讲练：三角函数与三角恒等变换（讲）【原卷版】

第一篇热点、难点突破篇

专题09三角函数与三角恒等变换(讲)

真题体验感悟高考

Z\

1.(2022•全国•高考真题)若sin(a+〃)+cos(a+/7)=2>/^cosa+fsin/7,则()

I4j

A.tan(a-/?)=IB.tan(<z+/?)=1

C.tan(«-/?)=-!D.tan(a+/)=-1

2.(2。22•全国•高考真题)记函数/3=痴(勿+?+员0>0)的最小正周期为「若与<7<兀,且)，=/*)的

k4；3

图象关于点(学,21中心对称，则()

I2J12/

35

A.1B.-C.-D.3

22

3.(2021・浙江•高考真题)设函数/(x)=sinx+cosx(xwR).

(1)求函数y=[/1+')]的最小正周期；

(2)求函数y=在0,|上的最大值.

总结规律预测考向

(-)规律与预测

1.高考对此部分内容的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换、函数的单调性、

奇偶性、周期性、对称性及最值，常与三角恒等变换交汇命题.

2.三角恒等变换的求值、化简是命题的热点，利用三角恒等变换作为工具，研究三角函数的最值、范围问题.

3.三角函数、三角恒等变换等，考查方式有两种，即独立考查与综合考查，主要以选择题、填空题的形式考查,

难度为中等或偏下.

(-)本专题考向展示

考向一三角恒等变换

【核心知识】

1.同角关系：sin2a+cos2«=1,——=tana\a^~kitA£Z

cosa12+,

2.诱导公式：在5+扇的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”.

3.两角和与差的三角函数公式

(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式

C(a-/?:：cos(a-fl)=cosacos成+sinasin//；

C(a”；：cos(a+〃)=cosacos_/?—sinasiny?：

S(“I/)：sin(a+/?)=sinacos^+coswsin/?；

S(a-/?)：sin(a-p)=sinacos/—cosasin/?：

tana4-tan

5tan(a+g__ma”

tana—tanp

(2)变形公式：

tano=tan£=tan(a±少)(1Ttanatan/?)；

sintz±cosa=V2sin(a±—).

4

(3)辅助角公式

一般地，函数,/(a)=4sina+力cosa(“，力为常数)可以化为/(a)=J?T^sin(a+8)(其中tan0=，或/(〃)=

J加+PcGS(a-(p)(其中tan

4.二倍角公式

(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式:

Sza：sin2a=2sin_acos_a；

C?a：cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a_1=1—2sin2a：

2tana

T%：tan2a=-------z—.

1—tan-a

(2)变形公式:

14-cos2a.1—cos2a

cos2a=,sin-a=-----------

2

1+sin2a=(sina+cos«)21—sin2a=(sin«—cosa)2

【典例分析】

典例1.(2021•全国•高考真题(文))若awjo,f],tan2a=cos〃，则tana=()

\2/2—sina

A.巫B.正C.在D.巫

15533

典例2.(2022•浙江•高考真题)若3sina-sin/?=+?，则sina=,cos2/7=

典例3.(202()•浙江•高考真题)已知tanO=2,则cos20=；tan(。—二)=

4

【规律方法】

1.三角求值“三大类型”

“给隹求值皿给值求值”“给值求角”.

2.三角恒等变换“四大策略”

(1)常值代换：常用到'的代换，l=sin20+cos2O=tan45。等.

(2)项的拆分与角的配凑：如sin%+2cos2a=(sin2a+cos2a)+cos2a,a=(a—4)+”等.

(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次.

(4)弦、切互化.

考向二三角函数的图象与解析式

【核心知识】

（1）先平移后伸缩（2）先冲缩后平移

UU

步骤1一画出尸sinx的图象一।步骤1一画出尸sinx的图象|—।

向2（右）平移|切个单位长度横也标变为原来的倍

步骤2一得到尸sin（x+3）的困求弓步骤2—得到"疝cox的图象月

模坐标变为原来的』停向左（右）平移因个单住长度

步骤3-•得到y=sin（a）x+3）的图象二）步骤3—得到y=sin（wx+3）的困象匕

11

纵坐标变为原来的4倍纵坐标变为原来的4倍

步藤4-褂到.\=/lsin(u)x+<p)的图象•—।步骤4一得到.v=Asin（<ox+3）的图象»—J

【典例分析】

典例4.（2022•全国•高考真题（文））将函数/（x）=sin（ox+g）3>0）的图像向左平移个单位长度后得到曲线

C,若C关于y轴对称，则。的最小值是（）

典例5.（2021•全国•高考真题（理））把函数丁=/（幻图像上所有点的横坐标缩短到原来的g倍，纵坐标不变,

再把所得曲线向右平移。个单位长度，得到函数N=sin（x-5）的图像，则〃x）=（）

1.由y=/sin（ox+e）的图象求其函数式：在观察图象的基础上可按以下规律来确定4“，

（IM：一般可由图象上的最大值、最小值来确定.

（2>：因为7=型，故往往通过求周期7来确定①.可通过已知曲线与x轴的交点来确定7,即相邻的最高点与

co

最低点之间的距离为今相邻的两个最高点（或最低点）之间的距离为T.

（3）夕：从“五点法”中的第一个点（一旦0）（也叫初始点）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位置.

co

2.依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系如下：

“第一点”（即图象上升时与x轴的交点）为①x+°=0：

"第二点''（即图象曲线的“峰点”）为3+8=宗

“第三点”（即图象下降时与x轴的交点）为①"+伊=兀；

"第四点''（即图象曲线的“谷点”）为何+8=,；

“第五点”（即图象第二次上升时与x轴的交点）为sx+s=2九

在用以上方法确定少的值时，还要注意题目中给出的8的范围，不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范

围内.

（4M，/，°三个量中初相8的确定是一个难点，除使用初始点（一纥0）外，还可在五点中找两个特殊点列方程

CD

组来求解小

3.利用图象变换求解析式：

由y二sinx的图象向左（0〉。）或向右（0＜0）平移|同个单位，得到函数歹=sin（x+°）,珞图象上各点的横

坐标变为原来的,倍（。＞0）,便得y=sin（5+e）,将图象上各点的纵坐标变为原来的4倍（力＞0）,便

co

^y=/Isin(69X4-.

考向三三南函数的性质

函数y=/sin（ox+e）的图象与性质

（1）y=sinx的递增区间是2k五一巴,2k兀+%（攵eZ）,递减区间是2%知+巳,2%4+—卫（kwZ）.

（2）对于y=4sin（@x+。）和y=4cos（5+。）来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.

歹二,4sin（5+。）的图象有无穷多条对称轴，可由方程5+。=%乃+^（攵cZ）解出；它还有无穷多个对称

中心，它们是图象与X轴的交点，可由0X+。=版■（kWZ）,解得「二」.0（kwZ）,即其对称中心为

（0

fA^XeZ）.

（3）若y=,4sin（@x+0）为偶函数，则有0=4万+万（左£2）；若为奇函数则有*=〃4（ZrwZ）.

（4）f（x）=Asin（twx+（p）的最小正周期都是27r,

7=M

【典例分析】

典例6.（2022•全国•高考真题（理）；函数，=（3'-3-*"》在区间一吴：的图象大致为（）

典例7.（2021•安徽高三其他模拟【文））己知函数/（X）=sin®x+令3>0）,且函数y=|/（x）|的最小正周期

为2笈，则下列关于函数y=|/（x）|的说法，

①公二,：

2

2乃

②点是y=|/（x）|的一个对称中心：

③直线X=g是函数歹=|/（幻|的一条对称轴；

（42万、

④函数>=|/（刈的单调递增区间是2k7r--,2k7r+—，左EZ.

\3、）

其中正确的（）

A.①②④B.®©®C.②©④D.①③④

典例8.（2022•河北南宫中学高三阶段练习）已知函数/（x）=simrwx-瓜os7T@x（&>0）在［0,1］内恰有3个最值

点和4个零点，则实数，。的取值范围是（）

（1023］「1023、「1713）<1723一

A.—B.—C.—D.

136」L36J\_63）（66」

典例9.（2022•北京・高考真题）已知函数/（x）=cos2x-sin2x，则（）

A./（X）在（-彳，-丁］上单调递减B./（x）在（-上单调递增

\26JI412,

C./⑶在（05）上单调递减D./（X）在（?,卷）上单调递增

典例10.【多选题】（2022•全国•高考真题）已知函数/（x）=sin（2x+e）（0<e<7t）的图像关于点弓,0中心对称,

I，z

则()

A.〃外在区间（0,^）单调递减

B./⑴在区间，羽，等］有两个极值点

C.直线x==是曲线y=/（x）的对称轴

0

D.直线），=亭-％是曲线y=/（x）的切线

【疑难点睛】

己知三角函数的单调区间求参数取值范围的三种方法

（1）子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式（组）求解.

（2）反子集法：由所给区间求出整体用的范围，由该范围是某相应正弦、余弦函数的某个单调区间的子集，列不

等式（组）求解.

（3）周期性：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过,个周期列不等式（组）求解.

4

考向四三角函数中的范围、最值问题

【核心知识】

（1）求解三角函数的范围或最值的关健在于根据题目条件和函数形式选择适当的工具：三角函数的有界性，基本

不等式，二次函数等.

（2）求解和三角函数性质有关的范围、最值问题，要结合三角函数的图象.

典例11.（2022•天津•高考真题）已知/（x）=；sin2x,关于该函数有下列四个说法：

①/（X）的最小正周期为2兀；

②在U，勺上单调递增；

44

③当xe时，/（X）的取值范围为-乌,乌；

63J［_44

IIT7T

④的图象可由虱、）二：75m（2'+二）的图象向左平移弓个单位长度得到.

24x

以上四个说法中，正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

典例12.（2019•全国•高考真题（理））设函数/（x）=sin（的+“（。>0）,已知/”）在［0,2旬有且仅有5个零

点，下述四个结论:

①/（X）在（0,2冗）有且仅有3个极大值点

②/（x）在（0,2兀）有且仅有2个极小值点

③/（x）在（06）单调递增

④。的取值范闱是[葭12，科29）

其中所有正确结论的编号是

A.①④B.@@C.①②③D.①③④

典例13.（2022•全国•高考真题（理））设函数/（幻=5出（助;十三）在区间（0,冗）恰有三个极值点、两个零点，则。

的取值范围是（）

A七[5端13]B.仁「5为】外C.匕（13旬8]D.“319]

典例14.（2022•全国•高考真题（理））记函数/'（x）=cos（s+0）3＞0,0＜。＜兀）的最小正周期为兀若