圆锥曲线的方程与性质（讲义）-新高考数学二轮复习

解密11圆锥曲线的方程与性质

◎解密高考

核心考点读高考设问知考法命题解读

【2020新课标1理4】已知4为抛物线C：>2=2PM“>0）上一点，

点A到C的焦点的距离为12,到），轴的距离为9,则〃=（）

[2020新课标1文11】设耳，鸟是双曲线Cd一£=1的两个焦点,

3

1.圆锥曲线的方

O为坐标原点，点P在C上且|OP|=2,则△〃大用的面积为（）

程与几何性质是

【2019新课标1理10文12]已知椭圆C的焦点为6（-L0），4（1,0）,高考的重:点，多以

过尸2的直线与C交于A,B两点.若|A周二2因叫，|4却=忸用,选择题、填空题或

圆锥曲线的

则C的方程为（）解答题的第一问

定义及标准

22

Vv的形式命题.

方程【2020新课标3理11】设双曲线C：土方=l（a>0,b>0）的左、

2.直线与圆锥曲

右焦点分别为K，尸2,离心率为石，乃是C上一点，且.若

线的位置关系是

“耳鸟的面积为4,则〃=（）命题的热点，尤其

是有关弦长计算

【2019新课标3文理15】设《，簿为椭圆。：工+工=1的两个

■3620及存在性问题，运

算量大，能力要求

焦点，M为。上一点且在第一象限.若K为等腰三角形，则M

的坐标为________.高，突出方程思

【2020新课标3文14】设双曲线C：:%=1（々>0,〃>0）的一条想、转化、化归与

分类讨论思想方

渐近线为），=及一则C的离心率为_________.

法的考查.

圆锥曲线的

22

【2020新课标1理15】已知产为双曲线。:「-2=1（4>02>0）的

几何性质

a2b，

右焦点，A为CII勺右顶点，4为C上的点，且B尸垂直于工轴.若

AB的斜率为3,则C的离心率为_______.

22

【2019新课标1理16】已知双曲线C：二-三=1（。>0/>0）的

a~b~

左、右焦点分别为月，Fi，过Fi的直线与C的两条渐近线分别交于

A,4两点.若"•二A8,月儿外8二0,则。的离心率为________.

【2016新课标3文12理11】已知。为坐标原点，E是椭圆C：

r2y2

r+e_=l（a>0>0）的左焦点，4,3分别为C的左右顶点，P为

a~b~

C上一点，旦抨_Lx轴.过点A的直线/与线段夕厂交于点M,

与y轴交于点E,若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）

r2v2

【2013新课标1理10]已知椭圆后：鼻十方=1（。〉人>0）的右焦

点为尸（3,0）,过点尸的直线交椭圆于A8两点，若4?的中点坐标

为则椭圆E的方程为（）

【2020新高考全国13】斜率为G的直线过抛物线C：）/=4x的焦

点，且与C交于A,8两点，则HM=_______.

[2019新课标1理19】已知抛物线C：V=3^的焦点为尸，斜率

直线与圆锥为三的直线/与C的交点为A,&与x轴的交点为P.（1）若

2

曲线的综合

\AF\+\BF\=4f求/的方程；（2）若Q=3而，求|人用.

问题22

【2020新高考全国n卷21】已知椭圆C：4+盘=1（4>。>0）过点

crlr

M（2,3）,点A为其左顶点，且4W的斜率为:，（1）求。的方程；

（2）点N为椭圆上任意一点，求A4MV的面积的最大值.

r2

（2020.天津卷）已知椭圆，+方=I3>QO）的一个顶点为4（0,—3）,

右焦点为产，且|。川=|0月，其中。为原点.（1）求椭圆的方程；（2）已

知点C满足3历=办，点B在椭圆上（8异于椭圆的顶点），直线AB

与以C为圆心的圆相切于点P,且P为线段48的中点，求直线A8

的方程.

专涔对点解密

核心考点一圆锥曲线的定义及标准方程

1.圆锥曲线的定义

⑴椭圆：\MF}|+|MBI=2a（2a>尸画）;

（2）双曲线:IIMFi|-|MF2||=2a（2a<|^F2|）；

（3）抛物线：|MF|=d（d为M点到准线的距离）.

温馨提醒应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误.

2.圆锥曲线的标准方程

7722

⑴椭圆：焦点在X轴上）或力+方V焦点在），轴上）；

929

（2）双曲线：^7-p-l（a>0,〃>。）（焦点在x轴上）或力一方=1（«>0,〃>0）（焦点在y轴上）；

（3）抛物线：）?=2p.r,/=-2px,/=2〃），，x2=

【考法解密】

1.12020新课标1理4】已知A为抛物线C：9=2*（〃>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12,至。y

轴的距离为9,则〃=（）

A.2B.3C.6D.9

【解析】设抛物线的焦点为E由抛物线的定义知IA用=勺+5=12,即12=9+5,解得〃=6.

故选C.

2.【2020新课标1文11】设片,入是双曲线。:/一号=1的两个焦点，O为坐标原点，点?在C上且|OP|=2,

则△。片鸟的面积为（）

A.—B.3C.—D.2

22

【解析】方法1：不妨设片（一2,0）,6（2,0）,则a=l,c=2,因为|OP|=2=g|6鸟|,所以点P在以£鸟为直

径的圆上，即△*:；5是以尸为直角顶点的直角三角形，故|P6F+|PEF=|片用『=16,

又||P用一|。6||=2〃=2,所以4=||/^|—|PEI「=|/^|2+|p5|2-2|P£||Pg|二16-2|/¥；||P人|,

解得|P用|P6|=6,所以％j=弓|历||P百=3,故选B.

2?

方法2：点尸的轨迹方程为d+y?=4,联立/一'v=],解得（得到点。的纵坐标），所以

1?

S=-x4x—=3,故选B.

22

方法3：由二级结论焦点三角形APZK的面积为S=〃cotJ=3cot452=3,故选B.

3X2019新课标I理10文12]已知椭圆C的焦点为耳（—1,0），6（1,0）,过后的直线与。交于A,B两点.若

小周=2|马目，|4同=忸引，则（7的方程为（）

丫22)

A.——+y2=I—

2-54

【蟀法I】可以运用下面方法求解:如图，由已知可设|以叫=〃,则|A周=2〃,忸用=|AB|=3〃,由椭圆

的定义有2a=|明什忸周=4%.\伊用=2〃一|4玛|=2〃.在玛和鸟中,由余弦定理得

4r+4-2-2W-2-COSZA/^JF[=4n2,

,又N4&",/3g”互补，.•.COSNA£JK+cosN3£/;；=(),两式

+4-2〃2cosN8鸟片=9n2;

消去cosNA居耳，cosNB6耳，得3〃？+6=11/,解得〃=，^..,.24=4〃=2百，/.4=6,

2

b1=a1-c2=3—1=2,.'.所求椭圆方程为—+—=I»故选B.

32

【解法2】如图，由已知可设优司=〃，则|A周=2〃,忸用=|A用=3%由椭圆的定义有

2a=\BF]+\BF2\=4/i,/.\AF]\=2a-\AF2\=2n.在△A"3中，由余弦定理推论得

4n+9fl29n

cosARAB=~-~=1,在△A£6中，由余弦定理得41+4〃2一2・2〃・2〃」=4,解得

12.2〃.3〃33

〃=2。=4〃=26，。,/.〃=a?—c?=3-1=2,.♦.所求椭圆方程为土+匕=1,故选B.

232

（3b।

【解法3】由M周=2代用利用向量或相似三角形的性质得点8y,--,代入椭圆方程得4:3,所以,

IN乙）

b2=a2-c2=3-1=2,故选B.

【解法4】由椭圆的极坐标方程得的（九。=-7二得856=」，再利用余弦定理得出关于〃的方程.

4+13

Aiy

22

4.12020新课标2理19】已知椭圆CI：£+£=1（。＞0）的右焦点F与抛物线G的焦点重合，G的

中心与G的顶点重合.过尸且与X轴垂直的直线交G于A8两点，交G于C，。两点，且|cq=g|A8|.

（1）求C1的离心率;

（2）设“是G与G的公共点，若|MF|=5,求&与G的标准方程.

【解析】（1）•.•尸（c,0）,轴目.与椭圆q相交于A、4两点，则直线AB的方程为x=c,

x=c

联立・5+£=1,解得

a2=h2+c2

抛物线C2的方程为），2=4”，联立解得『二1°，’100=4。,

•.•|。。=寸48],即4c=?，出=3。°，即2c2+3ac—2a2=0,即2/+3e—2=0,

•/0<e<l,解得e=；,因此椭I3G的离心率为g；

（2）由⑴知a=2c,〃=Gc，椭圆C的方程为方+注1,

>'2=4cr

联立，x2y22

消去丁并整理得3X2+16M—12C2=0,解得X=]C或X=-6C（舍去）,

记+彳

由抛物线的定义可得|Mr|=：c+c=?=5,解得c=3.

JJ

22

因此，曲线C1的标准方程为三+2=1,曲线G的标准方程为V=i2x.

3627

变式解密】

1.12020新课标3文7理5】设。为坐标原点，直线x=2与抛物线C：）：=2px（〃>0）交于。，E两点,

若ODLOE,则C的焦点坐标为（）

A.B.停0）C.（1,0）D.（2,0）

【解析】因为x=2与抛物线丁=2〃%（〃>0）交两点，且O/）_LOE,根据抛物线的对称性可以确定

ZDOx=ZEOx=^,所以。（2,2）,代入抛物线方程4=4p,求得〃=1,所以其焦点坐标为（；,0）,故选B.

22

2.12020新课标3理11】设双曲线C：£一£=1（。>0/>0）的左、右焦点分别为人，6，离心率为石，

P是。上一点，且片PJL鸟尸.若“£人的面积为4,则（，=（）

A.1B.2C.4D.8

【解析】方法1：・吟=石，.“二石〃，根据双曲线的定义可得||传卜|?周|二2〃，

毛口用|叫=4,即|P£|,|明=8，

•••6PJLKP,.•.|。用2+归周2=（2。）2,

22

:.（\PF.\-\PF2\）+2\PF^\PF2\=4c,即4一5/+4=0，解得a=l，故选A.

方法2："G6的面积为5=从81]=从=4,离心率e=6,所以4=1，故选A.

22

3.12019新课标3文理15】设6，F,为椭圆C：三+汇=1的两个焦点，M为。上一点且在第一象限.

3620

若XMF用为等腰三角形，则MH勺坐标为1

【解析】由已知可得。2=36,〃=36,「.。2=。2一/=16,...。二4,

:.\MFi\=\FiF2\=2c=S.|A//s|=4.

设点A7的坐标为（及,%）&>°，No>°）,则5&峥=耳•优修•X）=4%,

又=；x4xM-2?=4后4%=4后,解得先=后，

.片।（婀=i，解得%=3（%=-3舍去），\例的坐标为（3,、后）.

…3620

核心考点二圆锥曲线的几何性质

圆锥曲线的重要性质：

⑴椭圆、双曲线中小b,c之间的关系

①在椭圆中：〃2=/+/；离心率为

②在双曲线中：/=々2+〃2；离心率为e=2=、yTZ条.

（2）双曲线的渐近线方程与焦点坐标

①双曲线/一齐=1（4>0,比>0）的渐近线方程为y=卷•：焦点坐标F|（—C,0）,F2（C,0）.

27

②双曲线,一京=1（4>0,。>0）的渐近线方程为）=琰，焦点坐标F|（O,-C）,6（0,c）.

（3）抛物线的焦点坐标与准线方程

①抛物线丁=2/尔〃>0）的焦点;（岁0）,准线方程x=一§

②抛物线f=2〃的>0）的焦点《），§），准线方程产一2

£二【考法解密】

22

1.【2020新课标1理15］已知尸为双曲线C:二-1=l（a>0力>0）的右焦点，A为C的右顶点，B为C上

a-b-

的点，且B/垂直于x轴.若AK的斜率为3,则C的离•心率为.

x=c

x=c川

｝却，解得，h2|8

【脩析】联立，护，所以忸日=幺.依题可得第二3,|AF|=c-a,

>'=±-a|"|

a2=b2+c2a

b2

即"二/一/二3,变形得。=2〃，因此。的离心率为2.故答案为2.

c-aa（c-a）

2.12016新课标3文12理11】已知。为坐标原点，尸是椭圆C：二十与=1（。＞方＞0）的左焦点，A,B

a~b~

分别为。的左右顶点，P为C上一点、,且轴.过点A的直线/与线段夕尸交于点M,与），轴交于

点E,若更线经过OE的中点，则。的离心率为（）

1123

（A）-（B）-（C）-（D）-

3234

【解析】解法1：由题意设直线/的方程为y=Z（x+a）,分别令x=-c•与x=（）得|方闸=仪。-c）,

\OE\=kci,由AOBE〜ACBM,得同」。/，即、=’"，整理得£=L所以椭圆离

哂-府2k（a—c）…a3

心率为一，故选A。

3

解法2：设£（0,〃?），则直线AE的方程为一日+：=1，由题意可知”（一。,〃2-生£）,（0,：）和8（a,0）三

aba2

memmcI

点共线,则m一a一2二2，化简得a=3c,则。的离心率6=一二=.故选A.

a3

-c-a

3.（多选题）已知椭圆0：「+冬=1（。》＞0），则下列结论正确的是（）

A.若。=2〃，则椭圆Q的离心率为虚

B.若椭圆Q的离心率为^^=2

C.若点昌，B分别为椭圆。的左、右焦点，直线/过点E且与椭圆。交于A,B两点，贝必AB&的周长为

D.若点4,A2分别为椭圆。的左、右顶点，点P为椭圆。上界于点A”Az的任意一点，则直线以I，PA2

的斜率之枳为一宗

【解析】若。=20,则所以e=噂，A不正确；若e=1,则a=2c,b=y[3c,所以£=乎，B正确；

N/c«N

j2

根据椭圆的定义易知C正确；设点P（M和），则柒+患=1,易知4（一〃，0）,A2（a,0）,所以直线M，PA2

，网T）R

的斜率之积是黑.制—’=一%D正确.故近BCD.

即十。沏―ax^—a网—tra

女二【变式预测】

22

1.12020新课标3文14】设双曲线C：£-营=1（。＞0,。＞0）的一条渐近线为），=a.r,则。的离心率为

221

【解析】由双曲线方程「-二=1可得其焦点在X轴上，因为其一条渐近线为y=&.r,所以2=收，

a'b~a

吒=卜96.故答案为招.

2.【2019新课标1理16】已知双曲线C：「一二=1（。>0/>0）的左、右焦点分别为A,过Q的直

a~b~

线与C的两条渐近线分别交于A，B两点.若不二通，耳8・工百=0,则C的离心率为.

【解析】如图，由不=丽，得=AB.又。£=。6,得OA是三角形耳的中位线，即

BF2//OA,BF2=2OA由那・亭=（）,得£8J_6氏。4_L片儿则。8=O月有ZAOB=44。1,

又OA与OB都是渐近线，得ZBOF2=ZAOF］，又ZBOF2+ZAOB+=兀，得

f

ZBOF2=ZAOFi=ZBOA=60\.又渐近线OB的斜率为幺=tan60°=,所以该双曲线向离心率为

e=—=J1+（2尸=J1+（6f=2.

3.（多选题）双曲线C：J-^=1的右焦点为F,

点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说

法正确的是（）

A.双曲线C的离心率为当

B.双曲线3一获=1与双曲线C的渐近线相同

4o

C.若则△PFO的面积为，5

D.|p/q的最小值为2

=4〃+〃=#,所以双曲线。的离心率为坐，所以A正确：

【解析】对于A,因为。=2,2=啦，所以C二

对于B,它们的渐近线都是直线）,=号升，所以B正确；对于C,结合PO_LPR点。在双曲线C的一条

渐迂线上，不妨设点P在渐近线上，则直线PF的方程为），-0=一/（'一加），即）=一也。一黄）,

2%

y=—y[2（x—乖），x-3，

从半，¥）,所以NFO的面积S=3加、平=也，所

由.正解得r所以点

y=2X，2小

尸3,

以C正确；对于D,因为点"#,（））,双曲线C的一条渐近线为直线），=察，所以|P/1的最小值就是点尸

到渐近线的距离，为由，所以D错误.故选ABC.

核心考点三直线与圆锥曲线综合问题

1.直线与圆锥曲线相交的弦:

设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为k,直线与圆锥曲线交于43,》），4（X2,），2）

时，\AB\=yj1+lc\x\—xz|=W+汽（％i+i2）2-4干M2（v+”）2-4）D2

2.过抛物线焦点的弦:

抛物线）2=2px（p>0）过焦点”的弦A8,若4（幻，»）,B（MJ2），则X1X2=，，yiy2=-p2

弦长|4B|=X|+X2+p.

£二【考法解密】

1.12020新高考全国13】斜率为6的直线过抛物线C：），2=4x的焦点，且与C交于A,3两点，则

M止.

【解析】♦.•y'l.•.'（1,0）「.），=石代入抛物线方程得靖一10氏+3=0,

，%+入2=w+毛+2=,故答案为

JJJ

2.12019新课标I理19】已知抛物线C：），2=3x的焦点为F,斜率为一的直线/与C的交点为A,B,与

2

工轴的交点为P.（1）若|A尸|+忸曰=4,求/的方程；（2）若Q=3而，求同图.

【解析】（1）设直线/方程为：y=jx+/n,A（M，），J,B（x21>2）

由抛物线焦半径公式可知：|4日+忸q=%+&+1=4.•.百+/=]

3

y=—x+ni,/.。

联立，2,得9/+02加-12）x+4/=。

y2=3x

21

则A=(12〃2-12)~-144/H2>0/.m<—

12,77-12_57

X]+x2=----------------=-9解得m=--

92o

37

「•直线/的方程为：），=二1_弓，即12x_8y_7=0

28

2

（2）设直线/方程为：工=一），+3

3

2

x=—y+r、1

联立，3,得)，2一2)'-3/=0,则△=4+12/>()/.r>一一

y2=3x3

•.•y+%=2,y,y2=-3t

\-AP=3PB•••Ji=-3.y2y=3

•1(弘+必)-'%=半•〃+12=

则|AB|=

3.【2。2。新高考全国11卷21】已知椭圆0,方叱〃＞。，过点见2,3）'点4为其左顶点，且,的

斜率为:，（1）求。的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求AAMV的面积的最大值.

【解析】（1）由题意可知直线A例的方程为：y-3=ga-2）,即x-2y=-4.

当y=o时，解得x=-4,所以。=4,

椭圆过点M（2,3）,可得3+卷=1,解得从二⑵

22

所以C的方程为：—+^-=1.

1612

⑵设与直线AM平行的直线方程为：工-2），=〃?，

如图所示，当直线与椭圆相切时，与4W距离比较远的直线与椭圆的切点为N,此时4LMN的面积取得最

大值.

联立直线方程X-2），=〃Z与椭圆方程二+1=1,

1612

可得3（〃?+2yJ+=48,即16y2+12my+3m2-48=0,

所以△=144〃/-4xl6（3"/-48）=0,即机？=64,解得/〃=±8,

与AM距离比较远的直线方程：A-2y=8,

直线AM方程为：工-2），=-4,

点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，即4=孚±=呸£,

V1+45

由西点之间距离公式可得|AM|=｛（2+4）2+32=3后.

所以AAMN的面积的最大值为：1x3石x超5=18.

25

34变式解密】

X2V2

1.【2013新课标1理10］已知椭圆£：/+》=1（。>〃>0）的右焦点为f（3,0）,过点”的直线交椭圆于

A,B两点,若A3的中点坐标为（1,-1）,则椭圆E的方程为（）

D、三十匕=|

189

【解析】设4用，必）,8（工2，%），则芭+占=2,yt+y2=-2,

①②

由①减②得：（玉F+（y+7）”为）=0,

?b-

b2（xx）_b2_on_i.匕_L

k]+22

AB~「，乂砥厂3_/2…/一2‘又9=i=。2一。2,解得从=9,6/=18,

a"（X+%）a~

・••椭圆方程为工+工=1,故选D.

189

2.12010新课标理20】设《，尺分别是椭圆£:二十与=1（。〉〃>0）的左、右焦点，过耳斜率为1的直

a~b~

线/与E相交于4