2025-2026学年上海市宝山区民办某中学八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2025I026学年上海市宝山区民办宝莲中学八年级（上）期末数学试卷

考试注意事项：

1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息.考

生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、

姓名是否一致.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题答案用0.5亳米黑色墨水签字

笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效.

3.作图可次使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5亳米黑色墨水签字笔描黑.

一.选择题（共6题，每题3分，满分18分）

1.下列各式中，与而是同类二次根式的是（）

A.2GB.QC.廊D.72?

2.如果、、），分别是4-6的整数部分和小数部分，则x-），=（）

A.y/3B._邪C.1+73D.2-73

3.下列方程是一元二次方程的是（）

A.3x2+2y-l=0B.3x2-2x+l=0C.5x2----1=0D.ax1=5

-2A

4.下列三角形中，非直角三角形的是（）

A.三边分别为11,屈,国

B.有一边的中线等于这边的一半

C.三个内角之比为1:2:3

D.三边之比为1:&:&

5.在心△A8c中，ZC=90°,若A4:BC=5:4,AC=\2,则△A4C的面积为()

A.48B.96C.120D.192

6.如图，在△人BC中，AB=AC,点。在边AC上且到边A/3和边的距离相等.以点4为圆心，线段

八。的长为半径画弧交边人4于点E,联结。E.下列结论中，不一定正确的是（）

.4

A.BE=DEB.BD=BC

D.^^.=—

C.ZAED=2ZBDE

5…BC

二、填空题(本大题共12题，每题3分，满分36分)

7.求不等式JIr-lWJir的解集.

8.在实数范围内分解因式：2X2-4X-3=.

9.如果07元与互为相反数，那么/+),的算术平方根是.

10.如图，数轴上点A表示的数是-1,点8表示的数是2,CBLAB于点B,且8C=2,以点A为圆心,

4c为半径在点A右侧画弧交数轴于点。，则点。表示的数是—.

II.某旅游景点6月份共接待游客64万人次，暑期放假学生旅游人数猛增，且每月的增长率相同，8月份

共接待游客81万人次，如果每月的增长率都为x,则这个增长率为一.

12.关于x的方程(〃-1)/—2姓+。-1=0有实数根，那么〃的取值范围为一.

13.一块钢板的形状如图所示，已知A8=125?,BC=\3cm,CD=4cm,AD=3cm,ZADC=90°,则

14.解分式方程：=3+二_=1,工=

x~-xx-1

15.我们定义：一个三角形最小内角的角平分线将这个三角形分割得到的两个三角形它们的面积之比称为

“最小角割比Q”（Q.J）,那么三边长分别为7,24,25的三角形的最小角割比。足

16,已知百、々是一元二次方程2丁-工-8=0的两个实数根，则的值是

17.若m,〃是方程V—2工一1=0的两个实数根，则2/r+4/一4〃+2025的值为.

18.在矩形AAC。中，4=90。，AB=6,AO=8,点石是41边上的动点，将矩形A8CD沿8E折叠,

使点人落在点4处，当△4。“为直角三角形时，线段AE的长为

三、简答题（本大题共4题，满分21分）

19.（5分）计算:+(J48—J24)+yfb.

20.（5分）用配方法解方程：5A2+2X-1=0.

21.（5分）某市准备在铁路AB上修建火车站E,以方便铁路48两旁的C,。两城的居民出行：.如图,

。城到铁路的距离4c=20切］，。城到铁路48的距离。B=60Q〃，AB=\00km,经市政府与铁路部

门协商最后确定在到C，。两城距离相等的七处修建火车站，求4E,BE的长.

22.（6分）已知内、毛是方程（aT）J-3（2-。）X+1=0的两个实数根.

（I）若,+-1=6,求4的值；

内5

（2）在（I）的条件下，求的值.

%%

四、解答题（本大题共3题，满分25分）

23.（6分）如图，在△A8C中，ZACB=45°,AO_L,垂足为点。，G是A。上一点，且50=OG.联

结CG,点、E、”分别是A4、CG的中点，求证：DE=DF.

A

24.（8分）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间/（5）和高度

近似满足公式/（不考虑阻力的影响）.

（1）小明说物体从128〃的高空落到地面的时间是从6（加的高空落到地面时间的2倍，他的说法正确吗？

请说明理由；

（2）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）=10x物体质量（依）x高度（〃?），某质量为0.06依的鸡蛋

经过5s落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：砸伤无防护人体只

需要65J的能量）

25.（11分）如图，在锐角三角形A6C中，AB<AC,AD是角平分线，DM,ON分别是△48。，△ACO

的高，点E在。。上，且。£动点尸在边AC上（不包括两端点），连接FE,FQ.【问题感知】

（I）填空：DMDN（填"=”或“v”）；

【探究发现】

（2）若=小杰经过探究，得到结论：/4/。=/臼刀.请你帮小杰证明此结论；

【类比探究】

（3）若NFEB+NB=180。,请羽断上述结论是否成立.若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理

由；

【拓展提升】

（4）已知/W=5,13M=\,DM=3,若点£关于。尸的对称点£落在边人。上，连接。夕，请直接写出

△人？。的面积.

备用图

参考答案

一.选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）

I.下列各式中，与而是同类二次根式的是（）

A.2>/dB.C.D.

解：A、2G与"7不是同类二次根式，不符合题意；

B、『迎,与用不是同类二次根式，不符合题意；

Vaa

C、扃={4x2a=2岳，与亚是同类二次根式，符合题意：

。、"=缶，与"7不是同类二次根式，不符合题意；

故选：C.

2.如果x、），分别是4-6的整数部分和小数部分，则x-y=（)

A.6B.-V3C.1+6D.2-V3

解：vl<V3<2,

/.—2<—yf^<—1>

.\2<4-V3<3,

乂;-、y分别是4-6的整数部分和小数部分，

:.x=2,y=4-6-2=2-G

.v—y=2—（2—5/3）=>/3,

故选：A.

3.下列方程是一元二次方程的是（）

A.3x2+2y-l=0B.3x2-2x+l=0C.5x2---1=0D.ad=5

2x

解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意；

3、是一元二次方程，故符合题意：

C、含有分式，不是一元二次方程，故不符合题意；

D、当。=0时，不是一元二次方程，故不符合题意.

故选：B.

4.下列三角形中，非直角三角形的是()

A.三边分别为11,标，而

B.有一边的中线等于这边的一半

C.三个内角之比为1:2:3

D.三边之比为1:0:企

解：A、112=(760)2+(>/6?)2,

.••该三角形是直角三角形，故选项4不符合题意；

4、三角形一边上的中线等于这边的一半，则三角形是直角三角形，故选项B不符合题意;

C、•・•三个内角之比为1:2:3,

二没一个内角为x，则另两个内角为2x、3x,

:.x+2x+3x=\S00,

解得：x=30°,

3.r=9O°,

.••该三角形是直角三角形，故选项C不符合题意；

•三边之比为

二.设三边分别为X、y/2x、y/2x,

X2+(&x)2=3x2丰(V2x)2,

.••该三角形不是直角三角形，故选项。符合题意：

故选：D.

5.在RfZXABC中，ZC=90°,若AB:8c=5:4,AC=12,则的面积为()

A.48B.96C.120D.192

解：在m/XABC中，ZC=90°,

由勾股定理得：AC2+BC2=AB1,

•・•A3:3C=5:4,

设8c=4&,AB=5k,

又,.・AC=I2,

222

,\]2+(4k)=(5k)f

解得：k=4(负值舍去)，

/.BC=4x4=16,

S'.=—xACxBC=—xl2xl6=96.

«八All(22

故选：B.

6.如图，在△4BC中，AB=AC,点。在边AC上且到边A8和边BC的距离相等.以点人为圆心，线段

八八的长为半径画弧交边人8于点联结。E.下列结论中，不一定正确的是()

A.BE=DEB.BD=BC

SBED_DE

C.Z.AED=2ZBDED.

鼠丁正

解：vAB=AC,

：./ABC=NAC8=^(180°-NA),

由作法得AD=AE,

：./ADE=ZAED=-(180°-/A),

2

/AED=NABC,

DE/IBC,

4CBD=NBDE,

•・•点D在边AC上且到边AB和边DC的距离相等,

B。平分/ABC,

/./ABD=NCBD,

:"BDE=NABD,

/.BE=DE,所以A选项不符合题意：

•;4BDC=NA+NABD,ZC=ZABC=2/ABD,

只有当NA=）NA8C时，NBDC=4C,此时8Q=8C,所以8选项符合题意;

2

乙AED=/EBD+NBDE,

而4EBD=/BDE,

/./AED=2ZBDE,所以C选项不符合题意；

•/DE//BC,

…点、B到DE的距离等J'E点到BC的距离，

.•.£g=匹，所以。选项不符合题意.

SBCDBC

故选：B.

二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）

7.求不等式瓜-1«后的解集-亚.

解：y/2x-1<yf5x»

缶-6乂,1,

（■^5—>/2）x..I»

广1L，

,>J3—v2

解得xN—\/3—5/2.

故答案为：

8.在实数范围内分解因式：2/-4x-3=_2（x-纪普）"-上普）一

解:由2丁-4."3=0,得

2±V10

x=-----------.

2

盾升2。3、*2+呵，2-也

J泉式=2（工-2x—）=2（x-------）（.r---------）.

222

故答案为：2（.”乎乎）.

9.如果07元与百方互为相反数，那么/+），的算术平方杈是近.

解：根据题意可知，"TV+产1=（）,

2x-6=0,2+y=0»

解得：x=3,>'=-2»

,-.r+y=32+(-2)=9-2=7,

.•./+），的算术平方根是近.

故答案为：币.

10.如图，数釉上点A表示的数是-1,点8表示的数是2,CBLAB于点B,且8C=2,以点A为圆心,

4C为半径在点A右侧画弧交数轴于点D,则点D表示的数是而-1.

ZCBA=90°,

.•.△CB八是直角三角形，

即AC="B，+BC2=6+22=后，

AD=AC=4vi,

OD=AD-1=V13-I,

即点。表示的数为：V13-1,

故答案为：VI3-1.

II.某旅游景点6月份共接待游客64万人次，暑期放假学生旅游人数猛增，且每月的增长率相同，8月份

共接待游客81万人次，如果每月的增长率都为x,则这个增长率为_12.5%_.

解：设这个增长率为X，

由邈意得：64（l+x）2=81,

解得：x,=0.125=12.5%,x2=-2.125（不符合题意，舍去），

即这个增长率为12.5%,

故答案为：12.5%.

12,关于％的方程（4-1）/-2仆+。-1=0有实数根，那么。的取值范围为.

2

解：当〃=1时，方程化为-2x=0,

解得x=（）,有实数根：

当时，方程为二次方程，有实数根时，

判别式△=（-2a）2-4（。一I）（〃-1）=8〃-4..0,

解得<一;

2

综上，a2L时方程有实数根.

2

故答案为：a>~.

2

13.一块钢板的形状如图所示，已知A8=12a〃，8c=13c〃?，CD=4cm,AD=3cm,NAOC=90。，则

解：连接AC,由勾股定理得AC=JA/)2+CQ，=5c7〃，

-AB=\2cm,BC=\3crn,AC2+AH2=BC2,

即5?+12?=132,

故△ABC是直角三角形，ZCAB=90°,

故西边形ABCD的面积=5ABLS4CD,

=-ABAC--ADCD,

22

=-x12x5--x4x3，

22

=30-6,

=24cm2,

故答案为：24.

AJ\

D

R

14.解分式方程：-4—―+—^―=1,x=3.

x-xx-\

解：原方程变形可得：

1-32

——-•X(X-1)+-AU-1)=1-A(X-1)，

x(x-l)x-l

(x-3)+2x=x(x-l)，

即3%-3=炉-x,

x2-x-3x+3=0,

即f-4x+3=0,

(x-l)(x-3)=0,

解得x=1或x=3,

检验：当x=l时，分母x(x-l)=O,是增根；

当x=3时，分母x(x-l)=3x2=6wO,且X-1=2H0,即x=3是方程的根.

故答案为：3.

15.我们定义：一个三角形最小内角的角平分线将这个三角形分割得到的两个三角形它们的面枳之比称为

“最小角割比Q”(O..1),那么三边长分别为7,24,25的三角形的最小角割比C是”..

24

解：如图示，BC=1,AB=24,AC=25,

则，根据题意，作NBAC的角平分线交BC于点。，

过点作。尸_1_川。交AC于点尸，

过点。，作交4B于点E,

5-ACDF

Q=ACD_2_______

CD

SABD-ABDE嚏号

2

故答案是：—

24

16.已知王、看是一元二次方程2/一%一8=0的两个实数根，则K的值是手.

解：根据根与系数的关系得玉+9=；，%七=-4

I33

22

所以X；+xl=(Xj+x2)-2K/=(-)-2x(T)=—

故答案为：子

17.若m,〃是方程J-2xT=0的两个实数根,贝72m'+4〃'-4〃+2025的值为2039

解：由条件可知〃，一2〃?一1=0,it2-2n-1=0,机+〃=2,

加?=2m+1,n2=2〃+1,

/.2/n:+4«2-4/2+2025

=2(2”?+1)+4(2〃+D-4/2+2025

=4〃？+2+8〃+4—4〃+2025

=4〃？+4〃+2031

=4x2+2031

=2039，

故答案为:2039.

18.在矩形A3CO中，ZA=90°,A8=6,A。=8,点E是力。边上的动点，将矩形A4c。沿折叠,

使点A落在点4处，当△A3E为直角三角形时，线段AE的长为3.

解：•.•矩形A8CD中，Z4=90°.AB=6,4。=8,

BD=y/AB2+AD2=10,

由折叠性质可得次“一AS-6,ZZ?AzZ?-ZA-90°,AE-A'E.

:.A'D=BD-A'B=4,/E4'Q=90°,

设AE=4£=x,DE=8-x,

Rt△EAfD中,A!E2+A'D2=DE2,

即x2+42=(8-x)2,

解得x=3.

AE=3.

故答案为：3.

三、简答题（本大题共4题，满分21分）

19.（5分）计算：—（廊-同+娓.

解：原式二-（百+2）-2&+（屈-技'”白

=-6-2-2&+楞-糕

=--73-2-272+2>/2-2

=-y/3-4.

20.（5分）用配方法解方程：5A2+2x-1=0.

解：・・・5Y+2x=l,

21

..X2H—X=-9

55

.-.X24--A+（-）2=-+—,sp（x+-）2=—,

55525525

则x+1=土如，

55

即x土逅

55

21.（5分）某市准备在铁路A8上修建火车站E,以方便铁路A8两旁的C,。两城的居民出行.如图,

C城到铁路44的距离/\C=20k%。城到铁路4?的距离。8=60公〃，/lB=IOOAm,经市政府与铁路部

门协商最后确定在到C,。两城距离相等的E处修建火车站，求八E,8七的长.

-x)km.

根据题意，得CE=DE.

在直角三角形ACE和直角三角形BDE中，AC=20k〃»

由勾股定理得：2（）2+/=（］00-》）2+602,

解得：x=66»

.•.100-66=34(5?),

AE=66km>BE=34km.

22.（6分）已知王、电是方程（。-1*-3（2-4“+1=0的两个实数根.

（I）若'+'=6,求a的值；

（2）在（I）的条件下，求工-_1的值.

%与

解：⑴•・・方程（。-1）9-3（2-g+1=0的两个实数根是0,x2,

3(2—a)1

二七+X-,=-------,xx-=----,

a-1i>-a-1

11,

•/一+——=6,

内占

%+%,,

...-----=6，

中2

3(2-6/)

『=6,

a-1

/.a=0.

(2)由(1)得：—+—=6>d=0,则

斗&

(---)2=(1+±)2__^-=62--=40,

X]X,X[x2xAx2-1

—=±>/4O=±2Vio.

X%

四、解答题(本大题共3题，满分25分)

23.(6分)如图，在△A8C中，LACB=45°,AO_L3C,垂足为点O,G是A。上一点，且5。=OG.联

结CG,点£、“分别是A3、CG的中点，求证：DE=DF.

/ADB=ZCDG=90°,

•.ZACB=45°,

/CAD=45°,

/.^CAD=ZACD,

AD=CD，

在用△ABD和Rt△CG。中,

AD=CD

<ZADB=NCDG，

BD=DG

「.△ABD=△CGO(SAS),

AB=CG，

又：点、E、尸分别是AB、CG的中点，

DE=-AB,DF=-CG,

22

DE=DF.

24.（8分）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间“5）和高度〃（⑼

近似满足公式（不考虑阻力的影响）.

（1）小明说物体从120/〃的高空落到地面的时间是从60〃?的高空落到地面时间的2倍，他的说法正确吗？

请说明理由；

（2）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）=10x物体质量（依）x高度（〃?），某质量为006依的鸡蛋

经过5$落在地上，这个鸡蛋在卜落过程中所带能最有多大？你能得到什么启示？（注：砸伤无防护人体只

需要65J的能量）

解：（1）解：不正确，理由如下:

"氐楞=2圆），

当人=60，〃时，

”得肾2网）,

当力二120小时,

/276^2x2-73,

.•・说法不正确;

h

(2)当"5s时，5=

解得人=125〃?，

「•鸡蛋下落过程中所带能量为10：＜0.06x125=75J,

启示：严禁高空抛物，一个鸡蛋都能砸伤人.

25.(II分)如图，在锐角三角形/WC中，AB<AC,A。是角平分线，DM,ON分别是△A8O,△AC。

的高，点E在。。上，且DE=DB,