因数和倍数（讲义）2025-2026学年五年级数学下册人教版（含答案）

2.因数和倍数（讲义）

2025-2026学年五年级数学下册人教版

一、单元思维导图

（找因故的方法,根据束法或除法算氏,一姐一蛆地找.

（a、讥c是非

本自然精）注亳从I开轴，有序思考.

诋小，一个做的最小因敏是1.

〃和『是〃E的的规律中最大，一个歙的最大国觥是它本身.

的因数

一个数：一个歙的因数的个收是有偿的。

小C（米做）只有1和它本身两个因效的数.

V

（分英合效除了1种它本身还有别的因就的做.

因1只有1个同敬.《1现不是盛数,也不是

合做）

和一

倍注彦从I开始•有序思考“

数d找倍数的方法；用这个数和任意弗掌自然领桐鬃.

「最小：一个数的最小倍数是它木身.

a-rb-c，'恬数曲我f律—我大।任何一个政都没有策.大的倍就.

（°、6、c是斗

、-个敷।一个敦的倍敕的个班是无限的.

*自然数＞

22的的倍倍数效岭的忖拘任任：；个个位位上上是是00・.2,4.,6或8.

a是。和，

的倍期

便会I是2的倍数g奇敦।不是2的

［看个位,致。（0也是信敷）佬敷的4c

LJ

婢庚同如

I

探索和、星的奇偶往

2、5、3的佬?

数的特征奇士奇-偈偈土偶・偶号士偈=才

5的倍教的朴征,个住上是。.我5.

［京冬%—3的倍数的料征：各位上的做的和是3的

倍数.

二、经典案例

【案例1】

（1）在自然数的范围内，最小的质数是（）,最小的合数是（）,最小的奇

数是（），最小的偶数是（）,最小的自然数是（）。

（2）（）的最大因数是29,最小的倍数是（）。

解析：（1）自然数范围（通常指正整数1,2,3,…）

最小质数：2

最小合数：4

最小奇数：1

最小偶数：2

最小自然数：1（按通常教材定义，自然数从1开始）

（2）一个数的最大因数是它本身，所以这个数是29o

最小倍数也是它本身（自然数范围内），所以是29o

答案:⑴2,4,1,2,1（2）29,29

【案例2】

（1）3和5的倍数的最大两位数是（），是2的倍数又含有因数5最小

三位数（）。

（2）一个三位数，既是12和5的倍数，又有因数9,这个三位数最大是（）

解析：（1）3和5的倍数一即15的倍数。

最大两位数：15X6=90（15X7=105是三位数，不行）一90。

是2的倍数又含因数5-＞即10的倍数。

最小三位数：100。

（2）既是12和5的倍数一即60的倍数（因为12和5互质，所以是60

的倍数）。

又有因数9一即60和9的公倍数，先求最小公倍数：60=2?X3X5,

9=32,LCM=22X32X5=180。

三位数中180的倍数最大：180X5=900（180X6=1080不是三位数）

-900o

答案：⑴90,100（2）900

【案例3】一筐苹果不超过250个，三个三个的数，五个五个的数，七个七个的

数恰好都数完，这筐斗果最多有（）个。

解析：苹果数能被3、5、7整除是3,5,7的公倍数。

3,5,7互质，LCM=3X5X7=105。

不超过250的最大倍数：105X2=210（105X3=315超了）。

答案：210

【案例4】

（1）数a与数b是互质的，它们的最小公倍数是最大公因数的（）倍。

（2）自然数1是（）

A.质数B、合数C、奇数D、互质数

(3)7和11都是()

A.互质数B、质数C、质因数D、因数

解析：(l)a与b互质一最大公因数=1,最小公倍数二aXb。

最小公倍数+最大公因数=ab1=ab倍。

(2)1不是质数，不是合数，是奇数，互质数是针对两个数而言，不能说1是

互质数。

选C(奇数)。

(3)7和11都是质数，它们也互质，但题目问“都是"，选B(质数)。

答案:(1)ab(2)C(3)B

【案例5】

(1)两个数的最大公因数是12,最小公倍数是180,且知其中一个为60,另

一个为()。

(2)三个连续的自然数的和是21,这三个数的最小公倍数是()。9、4,

12,16的最大公因数是()。

(3)a和b都是自然数，且5a=b,那么a与。的最小公倍数是(),最大

公因数()。

解析：(1)公式：两数乘积二最大公因数义最小公倍数。

设另一个数为x,则12X180=60Xx->x=(12X180)/60=36。

(2)三个连续自然数和是21一中间数=7f三个数为6,7,8。

最小公倍数：6,7,86=2X3,8=23,7=7LCM=23X3X7=168。

9,4,12,16的最大公因数：9=32,4=22,12=22X3,16=24公共

部分只有2。=1(因为9没有2的因子)一最大公因数二K

(3)5a=b->b是a的5倍。

若a和b是自然数，且b=5a,则a和b的最大公因数是a,最小公倍

数是bo

答案：⑴36(2)168,1(3)b,a

【案例6】甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分、1分15秒和

1分30秒。三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会

解

秒

析160

•-

¥:分-

乙

5秒

.11-75

分-

丙

•I30-90秒

：X

在起点相会时间二60,75,90的最小公倍数。

60=22X3X5,75=3X52,90=2X32X5

60、75和90最小公倍数：

22X32X52=4X9X25=900秒二15分钟。

答案：15分钟

【案例7】五⑴班买来46本书、32枝笔，奖给各方面表现突出的同学。每个同

学得到的奖品同样多，最后余下1本书和2枝笔。问最多有多少个同学得奖每个

获奖同学分别获得书和笔各是多少枝？

解析：46本书，最后余1本f发出去45本。

32枝笔，余2枝一发出去30枝。

每个同学得到的书和笔同样多一人数能整除45和30o

45和30最大公约数是15。

每人得书：45・15二3本，笔：30・15=2枝。

答案：15人，每人3本书2枝笔

三、单元训练

Q・分实

（一）填一填。

1.在12,0.6,20,6这些数中，（）是（）的因数，（）是（）的倍数。

2.既是8的倍数，又是64的因数的数有（）o

3.从2,6,14,25,28中找一个与众不同的数,可以是（）,理由是（）。

4.“学习强国”是党中央推出的全国学习平台，王华“学习强国”的积分达

到了1口7口分。这个四位数既是3的倍数，又是5的倍数，王华的积分最

多有（）分。

5.一个运算程序的运算规则如右图所示。如果输入23,那

么结果是（）;如果输入一个数，结果是66,那么这

个数是（）o

6.花园小学举办体育节活动，每个班级都要进行长方形队

列表演，要求队形更多变。你建议五⑴班在36人和4显示结果

0人中选择（）人参演，原因是。

（二）选一选。

1.若甲二aXbXc,则下面说法错误的是（）。（a、b、c均是大于1的自然

数）

A.a、b、c都是甲的因数B.aXb是甲的因数C.甲一定是合数D.甲一定

是偶数

2.下面说法正确的有（）个。

①一个自然数，不是奇数就是偶数。②9的倍数一定是3的倍数。

③一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。④两个质数的和一定是

偶数。

A.1B.2C.3D.4

3.下面a、b、c、d四个数中，（）是3的倍数。

A.a=3X100+4X10+1B.b=2X1000+2X100+3X10+6

C.c=5X99+6X9+(5+6)D.d=2X999+4X99+8X9+(2+4+8+7)

4.运动会上每个班的学生都要参加入场式和团体操表演。五(1)班入场队列如

右图，表演团体操时出现了下面几个队列，()可能是五(1)班的。

(三)按要求完成练习。

1.把下列各数填入相应的框里。厂..、厂一露梦、一密纷缪，

010.91326，i

3351527191:'......................'，.....；

2.五(1)班学习小组开展沉浸版“因数和倍数”探案游戏。

(1)在案发现场，“警察”发现以下两件物品，成功破译出密码()，找

到线索C

密码是一个没有零的四位数，最高位上的数既是偶数

藏着线索r寸写着密码又是质数，百位上的数既是奇数又是合数，十位上的数比

的密码箱Lt的纸条.i

最小的合数大1,个住上的数既不是质数也不是合敬二

()2)问讯“嫌疑人”时，小锦、小明两个“嫌疑人”为了证明自己没有

作案的时间，都告知“警察”自己当时正在靶场打靶。小锦说：“我当

时打中4枪，得了27分。”小明说：“我当时打中3枪，刚好是连续的

3个区域，得了21分。”“警察”一听，立马逮捕了小锦。你知道为什

么吗？你知道小明打中的是哪三个区域吗？

数字表示打中该

区域所得的分数。

3.自然与教学的完美结合——斐波那契数列，又称“黄金分割

数列“，因数学家莱昂纳多•斐波那契(LeonardoFibonacci)以

兔子繁殖为例子引入，故又称“兔子数列”，指的是下面这样一

个数列。

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,(),(),-

先观察上面这组数，在括号里填上合适的数，再完成下面各题。

⑴这组数的规律是从第三个数开始，每一个数都

（2）观察这组数的奇♦偶*变化规律，可以发现：o

（3）这组数的前100个数中，有（）个奇数，（）个偶数。

应用拓展

（四）解决问题。

1.（易错题）为方便顾客上下车，机场计划用48m长的移动护栏围出一个长方

形的网约车临时停车区。已知停车区的长和宽都是整米数，而且数值都是

质数。停车区的长和宽可能是多少？面积最大是多少？

2.开心果在唐代由波斯（伊朗）传入我国，距今已有1300年历史。妈妈去超市

买了1500g开心果，让小明猜猜每斤（500g）开心果的价钱。小明猜不出来，

请你帮帮他。

买开心果花了一百四十多元，总

肃V价个位上的数是2的倍数。每

斤开心果的价格是整元数。

3.明明用40根同样的小棒搭图形。搭一个三角形需要三根小棒，搭一个四边

形需要四根小棒……他搭了一些四边形和一些六边形后，说自己还剩下13

根小棒。他说得对吗？为什么？

△□OO

单元训练参考答案

（一）1.612126

解析在整数除法中，如果商是整数且没有余数，那么被除数就是除数和商的

倍数，除数和商就是被除数的因数。注意：前提是在“整数除法”中。

2.8,16,32,64

3.示例：2只有2是质数

解析本题是个开放题，有多种答案，例如：

选择2,因为只有2是质数。

选择6,因为只有6是3的倍数。

选择25,因为只有25是奇数（）或5的倍数）。

4.1875

解析第一步根据5的倍数特征可知，个位上可填0或5。

第二步根据3的倍数特征，在1口70和1口75的百位上依次填9,8,7,…，

0,找到使各位上的数的和是3的倍数的最大数字，分别为7和8。

第三步比较可得18751770c

5.53132

解析23是一个质数，故结果为232+2=531。由于只知道结果是66,所以

让A2+2和2A+2这两个式子分别等于66,再分别推算出A,看A是否符合各

自运算的条件即可。

当炉+2=66时，A=8,不是质数，不符合。

当2A+2=66时,A=32,是合数,符合。

6.3636的因数比40的因数多，能变换更多队形（表述合理即可）

解析注意：题T中要求队形更多变。

36=1X36=2X18=3X12=4X9=6X6,能变换5种队形。

40=1X40=2X20=4义10=5义8,只能变换4种队形。

（二）1.D

解析A、B、C选项都是正确的，分析过程如下。

甲=aX6Xc——都是甲的因数

甲=（aXZDXcfaX6,c都是甲的因数

甲的因数个数大于2一甲是合数

D选项错误，当a、b、c都是奇数时，奇数X奇一数X奇数二奇数。

2.C

解析①正确，根据能不能被2整除，可将自然数分为奇数和偶数。

②正确，9的因数中有3,所以9的倍数一定是3的倍数。

③正确，当一个数除以1时，得到的商就是它的最大因数，即它本身；当一

个数乘1时，得到的积就是它的最小倍数，即它本身。

④错误，除2外，所有质数都是奇数，当2与其他任何一个质数相加时，

结果都是奇数。

3.D

解析本题考查3的倍数特征。

根据数的组成,a、b分别为341和2236o3+4+1=8,2+2+3+6=13,8和13都

不是3的倍数，所以a,b都不是3的倍数。

如图,c不是3的倍数,d是3的倍数。

£-=5X99+6X9+(546)

I~~~r

3的倍数11不是3的倍数

4=2X999+4不99+8X9+(2+4十8+7)

3的倍数21是3的倍数

4.D

解析题图中，有1名学生单独站一列，其余学生2人站一列，说明五⑴班的

总人数是奇数。选项中的学生人数分别为30,36,30,23,其中只有D选项

的23是奇数。

••'「一偶~敢？・二一•质1•敦一■…鹭第一：

M3.33.!!%e：：26,33.51“

;;0,Z6,5Z|；n13*71

51.71.91：；：：.52.91\

解析本题需要注意的是，奇薮偶数、质数、合数研究的都是自然数，不包括

小数。

2.(1)2951

解析本题考查学生对特殊数的了解。

既是偶数又是质数的数是2。

既是奇数又是合数的一位数是9o

最小的合数是4,比最小的合数大1的数是5。

既不是质数也不是合数的非零自然数是lo

(2)答：因为小锦打中4枪，4个奇数的和是偶数，而27是奇数，所以能确认

小锦在撒谎。小明打中的是5分、7分和9分所在的区域。

解析从题图可知，靶上的分数都是奇数。

小锦打中4枪，4个奇数的和是偶数，所以不可能得27分。

3个连续奇数的和是中间数的3倍，21+3=7(分)，所以小明打中的是5分、

7分和9分所