高考数学复习：二项式定理（解析版）

解密25二项式定理

【考点解密】

知识点一二项式定理

(a+b)n=C*+d"+C储*+…+c"“W+…+c；〃(〃wN*).

(1)这个公式叫做二项式定理.

(2)展开式：等号右边的多项式叫做他+与”的二项展开式，展开式中一共有〃+1项.

(3)二项式系数：各项的系数C6QW{0,12…，川)叫做二项式系数.

知识点二二项展开式的通项

s+与"展开式的第4+1项叫做二项展开式的通项，记作n.i=c^AM.

【方法技巧】

二项式系数的性质

对称性在(a+b)〃的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即cr=c；1F

增减性：当女/生时，二项式系数是逐渐增大的；

〃+1

增减性与最当人一时，二项式系数是逐渐减小的.

大值n

最大值：当〃为偶数时，中间一项的二项式系数c7最大；

n-1rr+l

当〃为奇数时，中间两项的二项式系数C〃2,C〃2相等，且同时取得最大值

各二项

⑴cHC+c+・・+a=2〃；

式系数

(2)CS+a+C什…=G+@+C+…=2”-1

的和

2：一般地，若/(力=%+平+a2/+1+。了.

⑴4=/(0)；

(2)展开式各项系数和为/⑴=%+4+%++凡；

(3)奇数项系数之和为/+生+q+L=/⑴"I)

(4)偶数项系数之和为“+/+%+L/⑴="f

【核心题型】

题型一：利用项的系数求参数

I.（2023・重庆•统考二模）已知+的二项展开式中，第3项与第9项的二项式系数相等，则所有项的系数之

和为（）

A.212B.312C.310D.210

【答案】C

【分析】先根据第3项与第9项的二项式系数相等列出等式，解出〃=10,再用赋值法即可得出结果.

【详解】解：因为,且第3项与第9项的二项式系数相等，

所以C=C＞解得〃=10,取x=l,所以所有项的系数之和为：3一

故选；C

2.（2023•湖北・统考模拟预测）一组数据按照从小到大的顺序排列为1,2,3,5,6,8,记这组数据的上四分位数

为〃，则二项式展开式的常数项为（）

A.-160B.60C.120D.240

【答案】B

【分析】利用题意找出该组数据的上四分位数为八，然后利用二项式展开式的公式找出常数项即可.

【详解】因为6x75%=4.5,

所以〃=6,

所以展开式的通项为：

"eg广卜曲=晨”（可产，

3

令6一：〃=0得：1=4,

所以展开式的常数项为C：X22X（-1）4=50,

故选：B.

3.（2023•安徽宿州•统考一模）设（1+2外"=4。+《X+//++，/”,若。7=4，则”（）

A.8B.9C.10D.II

【答案】D

【分析】根据二项展开式分别求出的,出的表达式，解方程即可求得结果.

77?7

【详解】由题可知，«7x=c>rx(2x)=2cy,所以的=2?C：；

同理可得知=2'c：；

由%=%可得27c=0C：,即C；=2C>

n(n-l)(n-2)•••(n-6)_〃(〃-1)(〃一2)…(〃-7)

所以-------------------=2x--------------------,BP2x—=1,

Ix2x3x…x71x2x3x…x88

解得z?=11.

故选：D

题型二：赋值法在二项式定理的应用

4.(2023•江西赣州•统考一模)已知(工一1)“"+2丫=卬+4X+生/+―+/./，则生+4+4+4=()

A.40B.8C.-16D.-24

【答案】D

【分析】设/。)=。-1)4。+2)5,根据二项式展开式可得小=八0)、=⑴,即可求解.

【详解】设f(x)=(x-l)4(x+2)5,

则4="0)=2=32,

%+4+生++%=/⑴=0

4

f+%_%+6_-a9=/(-I)=2=16,

所以/+42+%+。6+%="丫，⑴=8,

所以/+/+4+4=8-32=-24.

故选：D.

5.(2023•全国•高二专题练习)已知C;：=C：,设(2x-3)”=%+<7](工一1)十〃2(%—十…十4(x—1)”，则11ai…t%-

()

A.-1B.0C.ID.2

【答案】D

【分析】利用组合数的性质可求得〃的值，再利用赋值法可求得为和％+4+%+…+4,的值，作差可得出所求代数

式的值.

【详解】因为C：=c:,所以由组合数的性质得〃=3+6=9,

所以(2x—3)'=,+q(x-1)+%(x-1)*"+…+为(x-1y，

令x=2,得(2x2-3)'=4+4+生■)---即g+ai+a2"1---------hJ.

令x=l,得(2x1-3)，=%=-1,

所以4+勺+…+%=(t+4+%+—/)-&=1-(-1)=2,

故选：D.

6.(2022・全国•高三专题练习)设〃wN,尤"=%+4。-1)++q(x-l)"=%+〃G—2)++"。-2)",则()

A.%-%々-4++bn-an=3"-2"

B.--—++%=2(%+4++a„)

。04%

c111,、

C.4+”++—7«„=--(«()+«,+••+«„)

271+1〃+1

D.4+曲++n^b—(4+q++a)

fJ4n

【答案】A

【分析】将炉运用二项式定理按照[(戈-1)+1了和["-2)+2了展开，求出各项的系数，并用赋值法求出

“o+q+,an和4+4+bn的值，令〃=2,逐项验证即可求解.

【详解】由二项式定理知：

x"=[(l)+lT=C»C：(x-l)+C沁-1)。…+C：(x-1)”，

.••4=C：(i=0,l,2,,〃)，令x=2,则有％+4+q=2”：

x"=[(.r-2)+2j=C：2"+C；,2"々(x-2)+C：T-2(x-2『++C：(x-2)”,

.•.e=Cj2"T(i=0J2,,〃)，令x=3，则有为+4+■•+2=3”；

故有％-«>+4-4++"一q=3"-2",A正确；

令〃=2,则有%=I,1=2,%=1，%=4，々=4,々=1>

分别代入B,C,D选项:

%+2+%=：+[+:=7,2(40+4+%)=2(1+2+1)=8,B错误；

《)axa2121

“o+gq+；/=l+l+；=；，y^(a()+4+々2)=:(1+2+1)=：，C错误;

4JJJ4•"1JJ

4+44=4+4x1=8,^|^(4+4+生)=《(1+2+1)=6,D错误；

故选：A.

题型三：利用二项式定理证明整除问题

/、6

7.（2023・全国•高三专题练习）（x_l）（2x+?J的展开式中，常数项为-1280,则（1+3。尸-3被8除的余数为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】利用二项式展开式的通项公式结合常数项，可求得〃的值，将。+3。尸-3利用二项式定理展开，即变为

15,4,32,3212u

8-C|58+C258-C^8'十十C：；8—1-3,整理为8（8”-C；58+C58-Cf58++C；；—1）十4即可求得答案.

【详解】由题意，（x—l）（2x+?j=«2x+£|6-（2x+/j,

«2、+5）6的通项公式为4+1=葭21//-。=0/,2,、6,

7

令7-2忆=0,女==，不合题意；

2

（2%+小的通项公式为“*2竹｛?）=葭2"尸"

令6-2厂=0,则,=3,所以的常数项为V*=-1280,

解得。=2,

所以,（1+3〃严一3=715—3=（8—1严一3=贝5一「：/4+亡*13一「：/2++C；^-l-3

1431211

=8（8-C；58'+C[58-C；58++C；-1）+4,

则（1+M1-3被8除的余数为4,

故选：B

8.（2022・全国•高三专题练习）设aeZ,且若5p22十〃能被13整除，则〃=（）

A.0B.1C.11D.12

【答案】D

【分析】^t^512O22+a=（52-l）2O224.a,利用二项式定理求解.

【详解】512O22+^=（52-l）2O22+6f

因为能被13整除，所以C黑十”=1十。能被13整除

因为awZ,且0Wavl3,所以。=12,

故选：D

xx

9.（2022・全国•高三专题练习）1-800+80七1-80380；。+-+（-l/80C,o++8（y°C：：除以78的余数是（）

A.-1B.IC.-87D.87

【答案】B

【分析】根据二项式定理将已知合并得原式等于79%再结合792=（1+78）1°展开整理即可得答案.

210

【详解】因为I-8OC；o十8OC[O-8O'C：'O十…十（一I8（ycf（）十…十9O'℃；2=（l-80）'°=79

所以791°=（1+781=00+。78+6。782+...+《；781°,除了第一项之外，其余每一项都含有78的倍数，所以原式

除以78的余数为1.

故选:B.

题型四：不等式求系数的最值问题

10.（2。22•全国•高三专题练习）已知U-3x）"的展开式中各项系数之和为64,则该展开式中系数最大的项为

【答案】12154

【分析】利用赋值法，令x=1,贝iJ（l-3x）”的展开式各项系数之和为（-2）",即可求得〃，确定二项展开式的系数最

大项在奇数项，建立不等式求解即可.

【详解】令x=l,则（1-3步的展开式各项系数之和为（-2）"=64=2,则〃=6；

由（1-3岁的展开式通项公式心=知二项展开式的系数最大项在奇数项,

设二项展开式中第「+1项的系数最大,

fQ(-3)r>Q+2(-3r2(?*+2)(r+l)>(6-r)(5-/)x9

化简可得:

刈［禺(-3)年玛“(-3厂2(8-r)(7-r)x9^r(r-l)

经验证可得r=4,

则该展开式中系数最大的项为（=以（-3）、4=1215/.

故答案为：1215/.

H.（2022.浙江•高三专题练习）已知（以2一七）（〃<0）的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，且展开式的

各项系数之和为1024,则该展开式中系数最大的项为

【答案】252小

【分析】由第4项与第8项的二项式系数相等，得〃的值；通过赋值x=l,得。的值.经过化简，本题的系数与二

项式系数相同，把系数的最值转化为二项式系数的最值求解.

【详解】解：因为展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，C=C：=〃=1（）,所以展开式共11项,

令X=l,得(〃-1尸=1024,a<0t所以〃二一1；

所以通项公式为心=叱J京；

5

=>k=5,故当％=5时,最大,所以最大项为盘/^=252/.

[3*小

故答案为：252出

12.（2023•上海•高三专题练习）已知（3+2到”'=4+令+%/++%/°，若数列4，生必，…，q0~eN）是

个单调递增数列，则k的最大值为

【答案】17

【分析】利用二项式定理展开项的通项得出数列的通项，由为>&T，2«ZW41,解关于k的不等式，即可得出结论.

，0

【详解】0^(3+2x)=at+a2x+,

所以a=3g21c短，由4>%,2Q41,

得34Fic^'>342T2一c/，即二_>_2_

k-\42—々

解得/<5,2S&440,.•.女的最大值为17.

故答案为：17

【点睛】本题考查二项式定理的展开式，考查数列的单调性问题，难度一般，二项式展开项的通项公式运用是关键.

题型五：多项式展开式问题

13.（2023•广东江门•统考一模）已知多项式（工-1）|°=%+%（汇+1）+%（4+1『++即）（工+1）;则％=（）

A.一960B.960C.一480D.480

【答案】A

【分析】将（x-写为（-2+x+l）;%是第8项的系数，计算即可.

【详解】解:@^（x-l），0=（-2+x+l）10,所以第8项为4=C；O（-2）3（X+1）7,

所以％=。（-2）'=-960.

故选：A

14.（2。21.全国•高三专题练习）"-。（/_1）卜3_［h4一］）［5一］）的展开式中各项的指数之和再减去各项系数乘以

各项指数之和的值为（）

A.0B.55C.90D.12（）

【答案】C

【解析】将（xf（ff（Yf（产一川丁一。展开，利用题中信息可求得结果.

【详解】（4-1乂心一。华叫卜4T任t

=x,5-x'4-x,5+x,0+xy+炉—F-炉—X5+x2+x-l,

所以，耳-1乂心-1乂〉-1）（3-1乂3-1）的展开式中各项的指数之和为15+14+13+10+9+8+7+6+5+2+1=90,

展开式中各项系数乘以各项指数之和为15-14-13+10+9+8-7-6-5+2+1=0,

因此，所求结果为90-0=90.

故选：C.

【点睛】求解二项展开式中有关项的指数与系数的问题，一般将二项式展开，也可以利用二项式定理来求解.

15.（2020・全国•高三专题练习）将多项式//+%/+%炉++qx+/分解因式得（X-2）2（X+1）5,则6=（）

A.16B.14C.-6D.-10

【答案】C

【分析】将（x+l）’展开，观察丁,父,/5的系数，对应（4-2『的展开相乘，相加得到答案.

【详解】解析：由题意，（＜一2y（x+1）、=（W-4x+4）（x+l）、，“sf=YC；./YxC；/1+4xC；f=-6.炉，所以％=Y,

故选：C.

题型六：二项式定理的综合问题

16.（2022・全国•高三专题练习）已知（l+x）2"=,+4；1+0242+…+。32".

（1）求％+“2+。3+…+。2”的值;

111111

(2)求------+------+…+---------的值.

a\a2%Cl4a2n-\a2n

【答案】（1）22n-L（2）-

〃+1

【分析】（I）利用赋值法进行求解，令1=0得，％=1；令x=l得，4+4+。2+。3+―+生“=22”.从而可求结果.

（2）根据二项式系数与4关系及组合数性质得到』一备2n+\(1_____

,然后累加可求

111---+•••+---------的值.

a2n

【详解】(1)令x=0得,1=1;令x=l得,4+4+/+。3+…+生”=2'".

于是%+。2+。3+…+。2”=22n-1.

(2)ak=C[„yk=1,2,3,---,2z?,

vII1k\(2n+\-k}\(2+1)!(2〃-〃)！kl(2n-k)l\2n+\-k+k+\)

首先考虑后二十福=(2〃+l)!+(2/1+1)!=(2〃+l)!

_Z!(2〃-&)!(2〃+2)_2/7+2

二~(2〃+1)!"(2〃+1)&'

2/2+1f11)

2^2[C^+C^)

2n+lf1_____1]_2〃+l(1]___n

上一砒厂五H五丁广府

【点睛】本题主要考查二项式定理及组合数的性质，二项式系数和的问题一般通过赋值法进行求解，组合数的性质

利用公式进行转化是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养.

17.（2020.江苏扬州・扬州中学校考模拟预测）（1）已知（1-2“2T的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为1:4,

求〃的值.

(2)记(l-2x)“川=4+4工+4片+…+%+/2”“，

①求同+同+…+|出”+J；

②设a*=(-2)'bk,求和；1饱।2-Z?)I3也I…I(4I1)也I•••I(2n\2)/?2n+1.

【答案】(1)w=4；(2)032B+I;②(2〃+3)"”.

W求解•

【分析】（1）根据（1-2x）2"“的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为1：4,得到

（2）①由题意可得（1+21）2向=同+同工+…+k“+W叫再令工=1求解；②由题意知勺=&.4-2）",根据

4二瑞"一2『=（-2）乜，解得C=C"结合组合数性质仅十1也=（4+1）《*=（2〃+1）《二十《向，然后求和即

可.

【详解】(1);(I-2x)2"”的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为1：4,

・，・£卡=J，即2”?-7〃-4=0,解得〃=4.

G向4

(2)①由题意0+2%户"=同+同x+…+|%阳|工2叫

令x=l,得同+|4|+-・+|。2“/=3”向；

②由题意见=%£一2)«,又%=心讨(一2)人=(一2)%,

•*,4=Cn+I»

・・・(2+1也=(2+1)。工产应的+以尸)务+C*

=⑵'：2*+&,产⑵？+1)图+仁用，

4-1

•，•1.4+2.4+3・〃+…+(%+1)・4+・・•+(2〃+2)・A〃♦]

=卜以1+2(晨]+3(或+1+・一+(2+1&1+八-+(2〃+21仁；；；

=(Ci+c；w+c*+…+C雷)+(2"D(c+G"+…+4)

=22n+,+(2〃+1)22”=(2〃+3)•2?”.

【点睛】本题主要考查二项式系数，项的系数以及组合数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

18.(2020・江苏•统考模拟预测)已知数列｛4｝满足％=；,且帛，〃wZ.

(1)求证：

A

(2)求证：C：(2%-l)+2C；(2a“-1)2+.,+kC；(2an-1)+.«•+nC；(2«n-1)-C0.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【分析】(1)先由%川=勺-。3得到3=1-%，将所证明结论转化为0<凡《〈，再由数学归纳法证明，即可得

an2

出结论；

(2)先由组合数的运算性质，得到人C=〃C：，则屹：(24-1)&=(24-l)〃G：「；(24-l)i,再由二项式定理，计算

C；(2a0-1)+2C：(%“-++AC：(2%-1)、+〃C：(物一以=(26-1)〃(2%广，即可得出结论成立.

【详解】(1)因为〃”.尸耳一。3即号•=1一%.

要证只需证0<a.wg.

川数学归纳法证明:

当〃=1时，4=3，命题成立；

假设当〃=AwN'）时命题成立，即0<&工；，

则当〃:%+1时，有/=4-a；=-（4一g）+；,

由于所以0<4+|W（，显然有0<4+1Wg,

所以当〃=〃+1时，命题也成立.

所以对任意〃都有0<勺工；成立，即:<乎<1得证.

（2）因为kc：=k5=y二;,

k!

所以比：（2%-1）人=（2°C；（2勺-1产,

因此C：（2/-1）+2C；（2%-1）2++£：（2%-1）«++y（2af

=（2q-1）〃WT（2。“-1）°+（2%-1）”。,*（2^-1）'++（24一-1）J

+（2%-1）〃禺*2勺-1严

=［（%-1）矶1+C/2q-1）、+《二：（2q-1尸+二*2q-1产］

=（24-1）〃（1+应-1）"'=（2q-J”.

由（1）知，0<a.4g,所以（2q一1）〃.（24广〈0,

即原命题得证.

【高考必刷】

一、单选题

1

19.（2。23・全国•高三专题练习）7+21IX2-^的展开式中的常数项为（）

x)

A.-20B.30C.-10D.10

【答案】D

【分析】先将（++2）卜一［展开写为了卜-,1

+2%2--，写出x——的通项，求出x3及的系数，代入

xIX)x

+2［彳2__1）中即可.

［详解］解:因为+=1^2-y+2［2_1)

的展开式的通项公式为刀.1=C；（f厂，斗=（7）«严》

\X）

令123尸=3,得，・=3;

令12-3r=0,得r=4,

所以（++2）12一1J的展开式中的常数项为：

-^-x（-l）3C^xx3+（-l）4或xfx2=-20+30=10.

故选:D

20.（2023・全国•哈尔滨三中校联考一模）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、

《日用算法》和《杨辉算法》.杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中

华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等.

第

0行

第

1行

第

2行121

第

3行1331

第

行1

四44641

第

行

乘555

五

第

6行610106

152015

第〃7行IC3C3…C；：C3…c£c詈1

22

第〃行1c\cn…c…crcLi

图2

我们借助杨辉三角可以得到以下两个数列的和.

1+1+1+…+1=〃；

1+2+3+...+C：J_,=C；

若杨辉三角中第三斜行的数：1,3,6,10,15,…构成数列｛q｝,则关于数列—｝叙述正确的是（）

A.用=（〃+11B,/

C.数列｛q｝的前〃项和为C：D.数列｛4｝的前〃项和为c3

【答案】A

【分析】确定为="计算q+a,川=（〃+1））得到A正确B错误，取特殊值排除CD得到答案.

【详解】a“=l+2+3+・・・+C3+C：=^^.

对选项A：%+%=.（丁）+（〃+2；（〃+1）=（〃+1）2,正确；

对选项B：q+%二吗比""”』/-］）?,错误；

对选项C：当〃=3时，4+生+。3=1°工C：=1,错误；

对选项D：当〃=3时，q+w+%=10wC：=6,错误;

故选：A

4n

21.(2023・全国•模拟预测)若(x—2)(x2+3x)=/+q(x—2)+/(x-2丫++an(x-2),则生口=()

A.-B.-C.-D.-

5555

【答案】D

【分析】将丁+3%中含有x的项都写成X-2的形式，即可得解.

［详解］"-2)412+33)="_2)1(..2)2+7(..2)+1().

=(X-2)6+7(X-2)5+10(x-2)4,

所以4=1，牝=7,&=10,

所以

45

故选：D.

22.（2023春•四川遂宇•高三校考阶段练习）26F的展开式中F的系数为）

A.-160B.-64C.64D.160

【答案】C

【分析】在二项展开式的通项公式中令x的某指数为3,求出，•的值，即可求得丁的系数.

【详解】（2炭-七）6的展开式的通项公式为广晨（2右尸（-5丫=爱26一.（_1），./工

令3f=3,则r=0,故展开式中V的系数为C：2。.（-1）。=64.

故选：C.

2023342023

（•陕西安康•统考二模）已知22023

23.2023=aQ+a}x+a2x+,,,+^^x贝U七+废4#••+"^?。2023的

值为（）

20332023D.馈

A.0B.222022

【答案】D

【分析】记/（x）=[x-,对函数求导，根据题干给出的二项式系数的特征，利用赋值法即可求解.

/［、2023

【详解】记/(“十一引，

(I产2

22022

'/'(X)=20231X--I=4+2a2x+3a3x++2O23a2O23x

(1A20227023

则/(0)=2023卜5J=4,・・・4=严，

.n243%2023^,,3

"㈤q+,寸++2?忘0

养…的-尸（。尸罪,

故选：D.

/2\n

24.（2023・上海静安・统考一模）在3x+x下的二项展开式中，三称为二项展开式的第项，其中『。，

I,2,3,……，n.下列关于3x+x?的命题中，不正确的一项是（）

\/

A.若〃=8,则二项展开式中系数最大的项是C236.I5.

8

3

B.已知x>0,若〃=9,则二项展开式中第2项不大于第3项的实数x的取值范围是o〈xW（g）L

C.若拉=10,则二项展开式中的常数项是C：03l

D.若〃=27,则二项展开式中x的新指数是负数的项一共有12项.

【答案】D

【分析】A选项：根据系数最大列不等式，解不等式即可；B选项：根据题意列不等式，然后分（）<x《l和工〉1两

种情况解不等式即可；C选项：令1（）：,=0,解方程即可；D选项：令27-冷<0,解不等式即可.

JJ

cr38_r>cr137_,5Q

【详解】A选项：令〈C；38-r>C^39-r，解得『<“所以T,所以A正确;

B选项:c；301714

户，整理可得炉后，当0<x41时，不等式恒成立；当x>l时，解得［所以

0<xJ纤，故B正确；

C选项：令10-$=0,解得r=6,所以常数项为C：03m6=C：031放c正确；

5尸XI

D选项：令27-彳<0,解得,•>《，所以「可取17,18,27,共11项，故D错.

故选：D.

25.（2023・四川成都・统考二模）二项式（l+x+f）（l-灯。展开式中/的系数为（）

A.120B.135C.140D.100

【答案】B

【分析】利用二项式定理得到（"X严的展开式通项公式，求出刀=45/,7；=-i20x\（=210/,进而与l+x+f

对应的系数相乘，求出展开式中/的系数.

【详解】（1-方°的展开式通项公式为=.（T）r=.（-1）*,

3344

其中7;=C；O，=45X2,7；=-CJOX=-12OA-,7；=C；0x=21Ox,

故二项式（l+x+Y）（1-x严中％的四次方项为45二x2-l20/•x+21Of•1=135二，

即展开式中/的系数为135.

故选：B

2丫

26.（2023•全国•高三专题练习）x-^=-\展开式中常数项为（）

V-V

A.-479B.-239C.1D.481

【答案】C

【分析】根据二项式定理宜接求解即可.

【详解】解：根据二项式定理,相乘,

所以，展开式中常数项的情况有以下三种情况:

2

①6个X—7=-1中全部选-1项展开;

7xJ

22

②6个X--7=-1中有1个选择x项，2个选择一五项，3个选择-1项展开;

<7x>

22

③6个v--尸-1中有2个选择工项，4个选择一五项展开.

<VX)

所以，其常数项为：(-1)6+C；•(-2)2(-1)3+C<C：(-2)4=1-240+240=1.

故选：C.

27.(2023・全国•高三专题练习)+的展开式中的常数项是()

A.-16()B.-I(X)C.-20D.20

【答案】B

亡)的通项公式。“=(-1)'26/"3'，令3—r=0和—I,求解对应常数项即可.

【分析】求出-

【详解】2成-。］展开式的通项为2=(-1)'2-晨产"令3-r=0,得r=3,令3T=-1,得r=4,故

(1+力(2必2)展开式的常数项是-8C：+4C：=-100.

故选：B.

二、多选题

o

28.(2023•山西晋中•统考二模)(1+or户”=4+4x+a/2++生023V%若％=-6069,则下列结论正确的有()

A.a=3B.%+q+/++以必=—22023

C.胃母।…，翁=1D.”分产的展开式中第I。］2项的系数最大

【答案】BC

【分析】利用二项式展开式的通项公式求解含x项的系数，从而求解。，即可判断选项A,赋值法即可求解系数和

问题，从而判断选项B、C,利用展开式系数符合规律判断选项D

【详解】对于A,q=C/23•a=2()23a=-6069,可得a=-3,故A缙误：

2

对于B.因为。一J'=a。+atx+a2x+•■+生心工前”，

12＜，2202

令x=l,则g+4+生++«2023=(-3)'=-2\故B正确;

对于C,令JV=0,则4=1,

./.\2023

令X=则&+4++第=1-3x2一《41,故C正确；

33323213））

对于D,由展开式知，由“>0,故第1012项的系数4。“<0,不会是展开式中系数最大的项，故D错误.

故选：BC

29.（2023•湖南•模拟预测）已知（2戈-5）9=40+4（4-2）+生（工-2）~+%（工-2）3++%（工-2），则下列结论成立的

是（）

A.旬+q+%+L+%=1B.&=672

C.4）-q+〃2-。3+-%=3''D.q+2%+34+t%=18

【答案】ABD

【分析】变换得到（2x—5）9=［-1+2（%-2）1，令x=3,可得A正确，/=8C；=672,B正确，令*=1,计算C错

误，两边同时求导，令％=3,得到D正确，得到答案.

9

［详解］（21_5）°=［-1+2（1_2）了=4+q（工_2）+4（1―21++a9（x-2）,

展开式的通项为「尸C；（-l广［2（x-5）］'=C；（T广•2，.（x-5）「，

对选项A：令x=3,可得4+/+%++%=（2x3—5户=1,正确；

对选项B：7>8C；（X—2）3,所以6=8C=672,正确；

对选项C：令4=1,可得旬-4-=-3",错误；

3

对选项D：（2x-5）^=a0+«1（x-2）+a2（x-2）'+a3（x-2）++%（大一2）,,两边同时求导，得

828

18（2^-5）=«,+2«2（^-2）+3^（^-2）+••+9^9（x-2）,令x=3,4+2%+3%++9%=18,正确.

故选：ABD

3（）.（2。23•云南・统考模拟预测〉在-入）的展开式中，下列说法正确的足（）

A.不存在常数项B.二项式系数和为1

C.第4项和第5项二项式系数最大D.所有项的系数和为128

【答案】AC

【分析】利用