2025～2026学年第一学期期末质量检测九年级数学（解析版）

2025〜2026学年第一学期期末质量检测九年级数学

（试卷总分：120分考试时间：100分钟）

注意事项：

L答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写

在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.下列各小题均有四个答案，其中只有

一个是正确的）

x_2

3

1.已知,那么下列等式中不正确的是（)

y3x+22y5

A.3x=2yB.」=一c-----=—D.——^=-

X2■V+332

【答案】D

【解析】

【分析】根据两内项之积等于两外项之积，对各选项分析求解即可判断.

x2

【详解】解：A、丁一=—,

y3

・•・3x=2y,故本选项正确:

X2y3

B、由一=彳可得上=一，故本选项正确;

>3x2

x2

C、由一=彳得3x=2y,

.V3

x+22

•・•］奇=］可得3（x+2）=2（y+2）,整理得3x=2y,故本选项正确;

x_2

D、

y3

x+y2+35

—^=——=故本选项错误.

)，33

故选：D.

【点睛】本题考查了比例的性质，熟记两内项之枳等于两外项之积，并灵活运用是解题的关键.

2.要检测一个四边形是不是矩形，下列方案可行的是（）

A.任选三个角并测量角度B.测量对角线长度

C.测量四条边的长度D.测量两条对角线是否垂直

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键.根据矩形的判定方法逐一判断即

可求解.

【详解】解：A、由三个角为直角得到另外一个角也为直角，故可得到四边形为矩形，正确，符合题意；

B、测量对角线长度，若对角线相等，该四边形不一定是矩形，也可能是等腰梯形，错误，不符合题意；

C、测量四条边的长度，只能得出四边形是平行四边形或菱形，错误，不符合题意；

D、测星两条对角线是否垂直，不能检测一个四边形是不是矩形，错误，不符合题意；

故选：A.

3.如图①，桦卯是占代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式.图②的左视图是（）

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查三视图.根据左视图是从左面观察到的图形，进行判断即可.

।।

【洋解】解：由题意得图②的左视图是・二

故选：A.

4.抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有I,2,3中的一个数字），若向上一面出现数字1的

概率为出现数字2的概率为!，则该木块不可能是（）

23

【答案】A

【解析】

【分析】直接由概率公式求解即可.

【详解】解：•・・向上一面出现数字1的概率为;，出现数字2的概率为g,

・•・6个面中要有3个面标有“1?,有2个面标有“2?，

・•・只能有1个面标有“3?,

该木块不可能是选项A.

故选：A.

【点睛】此题考查了概率公式以及概率的意义，概率=所求情况数与总情况数之比.劳记概率公式是解题

的美键.

5.关于x的一元二次方程区2一2、+1=0有实根，则攵的取值范围是（）

A.AwOB.A21且女00C.k<lD.AW1且AwO

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查一元二次方程定义、根的判别式，根据已知方程的根的情况来确定根的判别式A20,

通过解不等式来求&的取值范围.

【详解】解：一,关于x的一元二次方程"2—2x+l=0有实根，

/.A=（—2『-4xAxl=4-4Z:20,且ZwO,

解得2<1且左。0,

故选D.

6.弱1是长春市某地铁站入口的智能闸机及其示意图，如图2,当双翼展开时，双侧挡板边缘的端点A与8

之间的距离为10cm,双翼的边缘AC=64cm,且与闸机侧立面夹角NPC4=/8。。=30。，可以

通过闸机的物体的最大宽度为（）

A.32cmB.64cmC.74cmD.80cm

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了直角三角形的应用及全等三角形的判定与性质，过点人作40_1P。于点M,过点B

作BNJ.O。于点M再利用三角函数计算AM和3N,从而讦算出MN的值.

【详解】解：如图，过点A作AM_LPC于点M,过点8作BV_LOQ于点M

在「AM。和"ON中，

ZAMC=ZBND=90°

<ZACP=ZBDQ=30°,

AC=BD=64cm

J.AMC^.BDV（AAS）,

AAM=BN=AC-sin30°=64x|=32（cm）,

・•・M7V=2x32+10=74（cm）,

故选：C.

7.对于抛物线y=2（x-l『+3,下列说法正确的是（）

A.抛物线的开口向下B.抛物线的顶点坐标为（1,3）

C.抛物线的对称轴为直线x=—lD.当x>-3时，y随x的增大而增大

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键.

根据二次函数的图象与性质即可解答.

【详解】解：•••抛物线的解析式为y=2（jv-l『十3,

・•・抛物线的开口向上，对称轴为直线x=l,顶点坐标为（1,3）,当X>1时，y随x的增大而增大，

.,.A、C选项不符合题意，B选项符合题意；

因为当一3<X<1时，y随x的增大而减小，故D选项不符合题意.

故选：B.

8.已知点4（一2,X）,8（1,%）在抛物线〉=3/+饭+1上，若3cb<4,则下列判断正确的是（）

A.1<y<必B.y<1<y2c.1<y2VxD.y2<1<y

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键，先求

出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可.

【详解】解：・・・y=3x2+bx+l,

・••当x=0时，>=1,

・•・抛物线过点（0,1）,

・•・抛物线的开口向上，对称轴为工二一——=

2x36

・•・抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，

V3<Z?<4,

2/71

.・—<—<—，

362

-2+11b—2+0,b

,:-----=一一>―，---------=-1<-，

22626

・••点A（—2,%）到对称釉的距离大于点（0,1）到对称轴的距离，小于3（1,%）到对称轴的距离，

<%；

故选：A.

9.在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度）'（厘米/天）和光照强度工（勒克斯）之间存在

•一定关系.在低光照强度范围（200<x<1000）内，）'与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围

（X21000）内，y与X近似成二次函数关系.其部分图象如图所示.根据图象，下列结论正确的是（）

0.6—-----------

0.3-(|\

020010003000x

A.当xzio(x)时，y随x的增大而减小B.当戈=2000时.，y有最大值

C.当)，20.6时，x>1000D.当)，=0.4时，x=600

【答案】B

【解析】

【分析[本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关

键.

根据抛物线可直接判断A选项：根据抛物线以及相关数据可得抛物线的对称轴为x=2000,进而判定B选

项；根据函数图象可判定C选项；根据二次函数的对称性可判定D选项.

【详解】解：A.当XN1000时，y随X的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意；

[(NN)+3(X)()

B.由函数图象可知：抛物线的对称轴为----------=2000,即当1=2000时，有最大值，则B

2

选项正确，符合题意；

C.由函数图象可知：当y20.6时，1000工1工3000,即C选项错误，不符合题意；

D.当)，=0.4时，由图象知，x对应值有两个，即D选项错误，不符合题意.

故选B.

10.如图，在V4BC中，AB=AC,过原点O，BC/x轴，双曲线y二人过A,8两点、过点C作

x

CO〃y轴交双曲线于点/),连接30.若△88的面积为16,则女的值为()

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义及等腰三角形的判定与性质，过点A作于点£,

设点则点一巴,再分别表示出点C、点。的坐标，进而得出答案.

ka）\a,

【详解】解：如图，过点A作AE_L8C于点，

BE=2a,

VAB=AC,

・•・VABC是等腰三角形,

•/AE.LBC,

・•・BC=2BE=4a,

•・•轴，

工点C(3iz,--|,

・・・CO〃y轴，

・••点。的横坐标为3a,纵坐标为:，

°

3aa3a

•SABCD=2BCCD=16,

I4〃

.\--4a•一=16,解得：k=6,

23a

故选:B.

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

11.一元二次方程1=。的根是.

【答案】王=々=—1

【解析】

分析】本题考查了解一元二次方程.

根据直接开平方法求解一元二次方程即可.

【详解】解：x2-1=0，

=1，

x=±\,

解得：芭=1，X2=-1.

故答案为：％=1，X2=-1.

12.如图，在VA8C中，点。，£分别在A8，AC上，DE//BC,若变=L则以茎=

BC3S枷

【解析】

【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，根据题意证明△ADESZ\A」BC,根据相似三角形的性质

即可求解.

【详解】解：・・・。七〃BC

・•・AADEcoAABC,

(DE、

>•

SARC

二39

1

故答案为:9-

13.如图，在oABCQ中，对角线AC与30相交于点。.小乐同学欲添加两个条件使得四边形A3c。是

正方形，现有三个条件可供选择：①AC1BO；®AC=BD.③NAQC=90。.则正确的组合是

（只需填种组合即可）.

AD

AD

-w

【答案】①②或①©（填写一组即可）

【解析】

【分析】本题考查了正方形，矩形，菱形的判定，熟练掌握正方形，矩形，菱形的判定是解题的关键.

根据正方形，矩形，菱形的判定分析求解即可.

【详解】解：当选择①AC18。；②4C=3Q时，

•・•四边形A8CD是平行四边形，当AC上BD,

・•・四边形A38是菱形，

•：AC=BD,

AO=OC=OB=-AC=-BD,

22

・•・，AOa,COB均是等腰直角三角形，

・•・ZABC=ZABO+/C3O=450+45o=90。，

・•・四边形ABC。是正方形；

当选择①AC18O；③ZAPC=90。时，

•・•四边形A8CQ是平行四边形，当AC180,

・•・四边形A3CD是菱形，

•・•44DC=90。，

・•・四边形ABC。是正方形；

当选择②AC=5D；③NADC=90。，

由干四边形48co是平行四边形，若AC=8O或NWC=9/，

均只能得到四边形A8CQ是矩形，不能证明其为正方形，故不符合题意；

，选择①②或①@均可以，

故答案为：①②或①③（填写一组即可）.

14.已知二次函数），=-丁+法+「的图象经过点（c,0）,但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是

.（写出一个即可）

【答案】）,=_『十%十2（答案不唯）

【解析】

【分析】本题考查待定系数法确定二次函数表达式，先由二次函数），=-/+尿的图象经过点（c,0）,

得到0=-/+反+/再由二次函数），=一/+云+。的图象不经过原点，得到。¥0,从而得确定。一/2=1,

若取〃=1,即可得到。=2,从而确定函数表达式.熟练掌握待定系数法确定函数表达式的方法是解决问题

的关键.

【详解】解：•・,二次函数y=—Y+云+c的图象经过点（c,0）,

0=-c2+bc+c，

•・•二次函数_y=-x2+bx+c的图象不经过原点,

1.c/0,

则c—b=\»

若取b=l,则c=2,

该二次函数的表达式可以是y=—d+4+2,

故答案为：y=-x2+x+2（答案不唯一）.

15.四边形ABCO中，AC与BD交于点0,。是AC的中点，BO=2DO,已知AB=4，A£）=2,

tanZACD=—，则AC的长为.

5

r

【答案】^I##-x/3

33

U祸斤】

【分析】本题考查了勾股定理、三角函数的定义及相似三角形的判定与性质，解题的关键是通过作垂线构造

直角三角形，利用三角形相似和三角函数推导线段长度关系.自点B,。分别作AC的垂线段，利用

△ODEsAOBF得到OF=2OE,8/=2OE,再利用A8=2A£＞，推出用AEDAh.AFB,进而得

到Ab=2AE，设。E=x,结合。是AC的中点则可推出AE=3x,CE=5x,由tan/ACD=@可表

5

示。E=Jir，在R/eADE勾股定理建立方程即可求解工，则AC=8x可求.

【详解】如图，过。作OE4AC于£,过8作B/IAC于R

•・•AOED=ZOFB=90。，ZDOE=ZBOC，

BOOFBFc

:・AODEs^OBF,则____________---y

DO~OE~DE~

设。£=x，则。F=2x,EF=3x

•,AB=4,A£)=2，

.•坐=2

AD

・丝=竺=2

ADDE

•：ZAED=ZAFB=9()。,

RtAEDRtAFB,

AFABc

••==2,

AEAD

：.AF=2AE^

即AE=M=3x,

AO=AE+OE=4x,

丁。是AC的中点，

CO=AO=4x，

:.CE=CO+OE=5x,

,/tanZ.ACD=，

5

..-D--E=---,

CE5

/.DE=y/3x，

在R^AQE中，AD=2,

由勾股定理：AE'+DE7=AD^即（3人）2十（61）2=22,

解得：x=2,

3

：.AC=2AO=Sx=—.

3

故答案为：述.

3

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

16.计算：

⑴tan450+6cos45°-3tan2300.

⑵解方程：5x+2=3x2.

【答案】（1）372

（2）g=-g,x2=2

U豺斤】

【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，解一元二次方程，熟记特殊角三角函数值，熟练学

握解一元二次方程的方法并正确计算是解题的关键.

（1）先求出对应特殊角的三角函数值，再根据二次根式的混合计算法则求解即可；

（2）利用公式法解方程即可.

小问1详解】

解：tan450+6cos450-3tan230°

=l+6x----3x——

2UJ

=3夜.

【小问2详解】

解：5%+2=37

整理为一元二次方程的一般形式为3/一5/一2二0，

：。=3,b=—5,c=—2,

：.A=(-5)2-4x3x(-2)=49>0,

-(-5)±749_5±7

X273--

=—，尤）=2.

3~

17.（1）三根竖直的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿A3的影子为AG,竹竿。。的影子为

C”.确定光源产的位置，并画出影子为族的竹竿£K（用线段表示）.

（2）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有数字2、3、5、7,这些球除数字外都相同,从袋子中

随机摸出2个球，用列表或画树状图的方法，求摸出标有数字2和3的两个球的概率.

【答案】（1）见解析；（2）1

6

【解析】

【分析】本题考查了中心投影、概率的计算，掌握相关知识点是解题的关键.

（1）延长GB与HD交于点P，连接「尸，再过点七作EK_LE尸交夕产于点K,则图形即为所求；

（2）根据题意画出树状图，得出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的公式计算即可.

【详解】解：（I）如图，光源P的位置，线段EK即为所求：

（2）画出树状图如下:

开始

由图可知，从袋子中随机摸出2个球共有12种等可能的结果，其中，摸出标有数字2和3的两个球有2

种，

则概率为p=2=_L,

126

答：摸出标有数字2和3的两个球的概率为

6

18.如图，在由边长为I个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系工3\VABC的顶点和

A均为格点（网格线的交点）.已知点人和A的坐标分别为（一1,一3）和（2,6）.

（1）在所给的网格图中描出边4B的中点。，并写出点。的坐标;

（2）以点。为位似中心，将VABC放大得到△44G，使得点A的对应点为4,请在所给的网格图中

画出△44G.

【答案】（1）图见解析；（-2,-1）

（2）图见解析

【解析】

【分析】本题主要考查了中点坐标公式，坐标系中画位似图形，熟知中点坐标公式，位似图形的性质是解题

的关键.

（1）根据两点中点坐标公式可确定点。的坐标，进而描出点。即可；

(2)根据点A和点A的坐标可知，把A、c的横纵坐标都乘以一2即可得到耳、G的坐标，描出4、4G，

并顺次连接4、4、G即可.

【小问।详解】

解：如图所示，点。即为边A8的中点，

・••点。的坐标为(-2,-1).

【小问2详解】

解：如图所示，△44G即为所求作的三角形•

19.如图，已知菱形QA3C,点C在x轴上，反比例函数y=：a>0)的图象经过菱形的顶点4(3,4),连

接。8,。8与反比例函数图象交于点O.

⑴求反比例函数解析式:

（2）求直线08的解析式和点。的坐标.

【答案】（1）y=—；

x

（2）y=娓）.

【解析】

【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是

解题的关键.

（1）利用待定系数法即可求解；

（2）由A（3,4）得01=存了不=5,又四边形OABC是菱形，则A8=OA=5,得到3（8.4）,从而

12

y=一

求出直线。8的解析式为y然后联立:,即可求解.

2

y=2x

【小问1详解】

解：把4（3,4）代入），二人，得女=3x4=12,

X

12

・•・反比例函数解析式为），二一；

x

小问2详解】

解：：4（3,4）,

-OA=yl?r+42=5*

•・•四边形0ABC是菱形，

/.AB=OA=5,

・•・3（8,4）,

设直线0B的解析式为y=mr（w^0）,

把8（8,4）代入得4=8加，

1

in=—

2

・•・直线04的解析式为），=31，

•・•点。是反比例函数与正比例函数的交点，

12

y=­

x

・•・联立解析式

1

产于

x=2限X=-2yf6

解得或，

y=一遍

Vx>0,

・・・D（2疝旬.

20.在综合与实践活动中，某学工小组计划测量内江麻柳坝大桥桥塔AO的高度（如图甲）.他们设计了如

下方案：如图乙，点8、。、C依次在同一条水平直线上，在B处测得桥塔顶部A的仰角（NA8。）为45。,

在C处测得桥塔顶部A的仰角（NACO）为30。，又测得8C=80m,AD1BC,垂足为。，求桥塔A力

的高度（结果保留根号）.

甲乙

【答案】（40G-40）m

【解析】

【分析】本题主要考杳了解直角三角形的实际应用，设A£>=Am,解Rt△45。得到8。=Am,解

n△4CO得到。。二6xm，再由〃C=5O+C£）=8（）m,得到x+&x=80,解方程即可得到答

案.

【详解】解；设4。=刈1,

,：AD1BC,

z^\DB=ZADC=90°,

在RtZV43O中，ZAB£)=45°,

.ADx

tanZABDtan45°

在RtZs4C力中，ZACD=30°,

CD=----=——-——=5/3xm,

tanZACDtan30°

*/BC-BD+CD—80m,

X+y/3x=80，

解得X=40J5—40，

AA£)=(40>/3-40)m,

答：桥塔AO的高度为(40j5—40)m.

21.如图，在QABCO中，对角线AC的垂直平分线与边A。，BC分别相交于点七，F.

(1)求证：四边形人尸。石是菱形；

(2)若A8=3,BC=5,CE平分NACO,求OE的长.

9

【答案】(1)见解析(2)-

5

【解析】

【分析】(1)先证明aAOEg二COF(AAS)得到A£=b,根据oABC力得到4。〃AC,那么可得四

边形AFCE1是平行四边形，再由线段垂直平分线的性质得到石4=瓦?，即可证明其为菱形：

(2)根据菱形的性质结合已知条件证明nCB4s.CDE,即可求解.

【小问1详解】

证明：:四边形A8CO是平行四边形，

:・AD〃BC,

・•・ZAEO=NCFO,

•・•对角线AC的垂直平分线是EF，

：.AO=OC,EA=ECf

•:ZAOE=NCOF,

・•・LAOE^COF(AAS),

:.AE=CF,

:.四边形AECE是平行四边形，

VE4=EC,

・•・四边形AFCE是菱形；

【小间2详解】

解：如图,

•••CE平分NACD,

・•・Zl=Z2,

•・•菱形AFCE,

・•・N1=N3,

・•・/2=/3,

••・四边形A8CO是平行四边形，

；・ZB=ND，AB=CD=3,

:…CBAs’CDE,

：.——CB=——AB，

CDDE

••一，

3DE

9

・•・DE=-.

5

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性侦，菱形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判

定与性质，线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键.

22.如图，在平面直角坐标系中，已知0A=6cm，O3=8cm,点P从点8开始沿阴边向终点A以

lcm/s的速度移动；点Q从点A开始沿A。边向终点。以lcm/s的速度移动.有一点到达终点，另一点也

停止运动，若P、Q同时出发，运动时间为，（s）.

（1）用含/的代数式表示AP的长；

（2）当/为何值时，△APQ与VAOB相似?

【答案】（1）AP的长为（lO-f）cm

(2)”一秒时，△A/〉Q与VAOZ?相似

4

【解析】

【分析】(1)利用勾股定理列式，求出A8,再表示出AP；

(2)分NAPQ和NAQP是直角两种情况，利用相似三角形对应边成比例，列式求解即可.

【小问1详解】

解：VAO=6cm,BO=8cm，

•**AB=y/ACP+BO1=V62+82=10<cm)»

•・•点尸的速度是Icm/s,点。的速度是lcm/s,

/.AP=(10-r)cm,

AP的长为(10-7)cm.

【小问2详解】

解：•・•点户的速度是lcm/s,点。的速度是lcm/s,

AAQ=t,AP=10-/,

①乙4PQ是直角时，^APQ^AOB,

.AP_AQ

••一9

AOAB

lO-/_/

0H|nJ--------——,

610

25

解得，=一＞6,舍去:

4

②NAQP是直角时，AAQ尸

AQAP

••=,

AOAB

t10-r

n即n一=-----,

610

解得/=?

4

综上所述，/二"秒H寸，△APQ与V408相似.

4

【点睛】本题考杳了列代数式、相似三角形的性质、勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问

题,属于中考常考题型.

23.在平面直角坐标系中，二次函数），=依2+公一2的图象过点A（lj）,