2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷培优卷（北师大版）解析版

九年级数学上学期期末模拟卷.培优卷（北师大版）

全解全析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）

1.（2025•吉林松原•模拟预测）已知一个几何体如图所示，则该几何体的俯视图是（）

△

【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可.

【详解】解：从上面看，看到的图形是一个长方形，在右上角也有一个长方形，并且这个长方形的中间有

一条竖直的实线，即看到的图形如下:

故选：B.

2.（2025・四川雅安♦一模）若关于工的一元二次方程62+双+3=09看0）的一个根是％=1,则代数式

2025—Q-b的值为（）

A.2028B.2022C.-2028D.2025

【答案】A

【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义,熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题关键.

利用一元二次方程根的定义，将无=1代入方程求得Q+匕的值，再代入代数式计算即可.

【详解】解：：无=1是方程a%?+必+3=0的根，

/.a-I2-14-3=0,

即a+匕+3=0,

••-a+b=—3,

.•.2025—d—b

=2025—（a+b）

=2025-（-3）

=2028.

故选A.

3.（25-26九年级上•福建南平•阶段练习）点4（-l,yD，B（-2,y2>。（科乃）在抛物线〉二—D?+c上,

且>'1<尸2V以，则机的值不可能是（）

A.5B.-3C.3D.-5

【答案】C

【分析】本题考查了函数的性质，由题意可得抛物线y=a（x-I）?+c对称轴为x=1,点力（一1）］）,8（—2,丫2）

到对称轴距离分别为2、3,再结合丫2>力可得万>0,从而可得出C（m）3）到对称轴的距离大于3,由此逐

项判断即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键.

【详解】解：抛物线y=a（x-l）2十c对称轴为直线x=1,

,,,点力（—1,月），B（—2,y2）到对称轴距离分别为2、3,2<3且九>月，

■,•a>0,

»<72<y3>

•••C（m,y3）到对称轴的跑离大于3

|m—11>3,

v|5-l|=4>3,|-3-1|=4>3,|3-1|=2<3,|-5-1|=6>3,

的值不可能是3,

故选:C.

4.（2025・海南•模拟预测）如图，菱形的对角线/1C与80交于点。，过点。作DHJ.BC于点H,连接

OH,若AB=5QH=3,则△80c的面积等于（）

A.24B.18C.14D.12

【答案】D

【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，由菱形的性质得到8C=/1B=5/C=

20C.0D=20BAC1.BD,则由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BD=20H=6,OB=OH=3,

利用勾股定理求出。C的长，进而得到4C的长，再根据菱形面积等于其角线乘积的一半求出菱形的面积即

可得到答案.

【详解】解：•.•四边形4BCD是菱形，

:.BC=AB=5,AC=2OC,BD=2OB,AC1BD,

•:DH1BC,

：.BD=20H=6,08=OH=3,

在Rt^BOC中，由勾股定理得0C='BC2一0B2=4,

：.AC=20C=8,

•••S箜形AZJCD==1x6x8=24,

f菱形/18CD=12.

故选：D.

5.（2025•云南•模拟预测）如图所示，"是。。的直径，点B：。都在。。上，连接若

8C=4/BOC=30。，则。。的半径长为（）

【答案】C

【分析】本题考查圆周角定理，含30度角的直角三角形，根据营径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周

角相等，得到乙48C=90。/氏4C=4BOC=30。，进而得至必C=28C,即可得出结果.

【详解】解：••/C是。。的直径，

山8c=90。,

又"AC=乙BDC=30°,FC=4,

:.AC=2BC=8,

・•・O。的半径长为=4；

故选C.

6.（2025•江苏常州•一模）如图所示为一张矩形纸片力BCD,E为力。的中点，点尸在边"上，把该纸片沿“

折叠，点4,8的对应点分别为G,H,GE与BC交于点O,HG的延长线过点C.若胃=：，则sin48cH的值

是（）

A-IB-HC.总V2

D.T

【答案】A

【分析】本题考查了矩形与折叠问题、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正弦等知识,

熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键.连接CE,先根据矩形与折叠的性质可得GE=OE,HG=CD,

z/7=/LEGC=90°,再证出RtZXCGE三RtaCOE,根据全等三角形的性质可得CG=CD,则可得CG=HG,

然后证出△COG〜尸H,根据相似三角形的性质可得t=黑=<设C0=3a（a>0）,则仃1=6a,

HF=BF=2a,最后在RtACFH中，利用正弦的定义求解即可得.

【详解】解：如图，连接CE,

•••四边形/BCD是矩形，E为力0的口点，点尸在边8C上,

•,.Z.4=乙B=Z.D=90°,AB=CD,AE=DE,

由折叠的性质得：HG=AB,GE=AE,HF=BF/H=zB=W/EGH=4力=90°,

.'.GE=DE,HG=CD,

••・HG的延长线过点C,

.-.ZcGC=90°,

在RSCGE和RtZXCDE中，

(CE=CE

IGE=DE'

.-.Rt△CGEzRt△CDE(IIL),

；.CG=CD,

：.CG=HG,

又•・"=乙EGC=90°,

；.OGIIHF,

:,色COGFCFH,

CG_CG_CG_CG_1

、CF=CH=CG+HG=2CG=2*

设CO=3a（a>0）,贝i」CF=6a,

••BF—一2

,CC3，

:.BF=2a,

:.HF=2Q,

在RtAMH中，sinZ»CW=^=^=i

故选：A.

7.（2025•辽宁•模拟预测）如图，已知反比例函数y=?（x>0）的图象与菱形。力BC相交于做3,几），。两点,

点C在x轴上.连接力D,OD,则△。力。的面积为（）

【答案】C

【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、勾股定理、菱形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

作4E1不轴于点E,连接4C,代入4（3,九）到y=Y（X>0）得九=4,得到A（3,4）,得到OE=3,AE=4,利

用勾股定理求出。4=ZOE?+4屈=5,利用菱形的性质得到。。=。力=5,AOWBC,得出=Sao^,

最后利用三角形的面积公式即可求解.

【详解】解：如图，作力£1%轴于点£,连接AC,

代入4(3,n)到y=?(%>0)得，n=y=4,

•*•>4(3,4),

'：AE1无轴，

询3,0),

：.OE=3,AE=4,

；.UA='GE?+g=5,

•.•菱形048C,

...OC=CM=5,AOWBC,

，SAO4。=S^QAC=^OC-AE=1x5x4=10.

故选：C.

8.(2025•湖北襄阳•模拟预测)如图，。。是△48C的外接圆，NB=120。,OP12c于点P,OP=1,则AC

的长为()

【答案】B

【分析】本题考查了圆的内接四边形，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的

关键.在优弧前上任取一点0,连接。。和40,根据圆的内接四边形对角互补，可知/40。，再根据圆周角

定理求得N40C,接着利用垂径定理，得至IJ乙4。「=斗工，然后在RtZkAOP中利用勾股定理即可求得答案.

【详解】解：在优弧左上任取一点。，连接C。和AD,如图所示：

:.乙D=180。-48=180°-120°=60°,

LA0C=24。=2x60°=120c,

VOPMC于点P,

LAOP==60°,AP=CP=q,

LOAP=180°-4APO-^AOP=180°-90°-60°=30°,

vOP=1,

.'.AO=20P=2,

...AP=7A02-OP?=422-12=V3,

.'.AC=2AP=2辰,

故选：B.

9.(2025•浙江丽水•二模)如图，在菱形ABC。中，点、E,F,G,，分别是4B,BC,CD,AD上的动点，

且BE=8尸=CG二力”.若菱形的面积等于24,BD=8,记EF二％GH=y,则下列代数式的值不变的是

()

A.x—yB.x+yC.xyD.x2+y2

【答案】B

【分析】本题主要考查菱形的性质和相似三角形的判定与性质，由菱形的性质求出/C=6,证明

Z.BEF=Z.BAC,得“II4?,证出4C,得出整=穿；同理可得蜉=需从而可证明

TICL/.T/IC

EF+GH=AC=6,得％+y=6是定值.

【详解】解：如图，连接4。，交BD于点、0,

•••四边形力BCD是菱形，

.-.AC1BD,AB=BC=CD=ADt

,•,菱形的面积为24,BD=8,

ACBD.

=n24,

.'.AC=6,

-BE=BF,

：/BEF=乙BFE=1x(180°-乙EBF),

-BA=BC,

；/BAC=乙BCA=1(180°-”BC),

：.Z.8EF=Z.BAC,

：.EF\\AC,

:.△BEFBAC,

EFBE

""AC=就

•：BA=DA,

•EFBE.

"AC-DA'

同理可证aDHGFDAC,

HC_PH

：'~AC.-D4*

EF.HGBE,DH

''ACACDADAf

EF+HGBE+DHAH+DHDA_

即nn--------=----------=----------=----=1,

1ACDADADA

：.EF+GH=AC=6,

J.X+y=6,

故选:B.

10.(2025•浙江•一模)如图，四边形XI8C0内接于。0,乙BAD=74。,Z/1FC=58°,乙408=138°,若

AB=m,BC=n,CD=p,DA=qf则四边形ABC。的面积为()

A.mq4-npB.-(mq+np)C.mp+nqD.-(mp+nq)

【答案】D

【分析】连接AC,BD交于点E,延长力。交BD于点凡根据圆周角，圆心角定理及三角形内角和定理得

Z.ADB=69°,/-ABD=37°,/.DAC=Z.DBC=21°,进而得44ED=90。，则•BE,S^ADC=1

AC-DE,继而得四边形A8C0的面积S=SZ^BC+S△人〃再根据△。48=乙。4?=21。，

449尸=44。0得△48F和△4。。相似，则｛8・CD=4C・BFQI,再证明△力BC和△力尸。相似得

BC-DA=AC-DF（2）,①+②得4B•CD+BC•DA=4C•BD,则S=・CD+BC•ZZ4）,然后根据

AB=m,BC=n,CD=p,£M=勺即可得出答案.

【详解】解：连接AC,BD交于点E,延长力。交8。于点F,如图所示：

/-AOB=138°,

LADB=\z-AOB=69°,

在△48。中，/.BAD=74°,

•••LABD=180°-(乙BAD+乙ADB)=180°-(74°+69°)=37c,

•1ABC=58°,

LDBC=Z.ABC-乙ABD=21°,

根据圆周角定理得：Z.DAC=Z.DBC=21°,

在△4OE中，Z-AED=180°-(NDAC+Z.ADB)=180°-(21°+69°)=90°,

：.ACLBDf

-S^ABC=30.BE,SMDC=.DE,

•••四边形/BCD的面积S=SfBC+SdADC=^AC-(BEIDE)=\AC-BD,

・"OB=138。，OA=OB,

•••2.OAB=1(180°-4408)=1x(180°-138°)=21°,

在CABF和△4CD中,

：.LOAB=Z.DAC=21°,乙ABF=4ACD,

：.^ABF^^ACD,

•••7C~~CD'

.'.AB-CD=AC-BF®,

-AOAB=/.DAC=21Q,

ALOAB+Z.OAC=Z.DAC+Z.OAC,

••LBAC=乙FAD,

又2月C8=Z.ADF,

ABC〜△A/0,

BCAC

:.一=--,

£FDA

ABC-DA=4C•。尸②，

①+②得：AB-CD+BC-DA=AC-BFAC-DF=AC'（BF+DF）=AC-BD,

.'.S=^（AB•CD+BC-DA）,

vAB=m,BC=n,CD=p,DA=q,

S=1（mp+nq）.

故选：D.

【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质和判定，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，理解圆心角、

弧、弦的关系，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键.

二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）

11.（25-26九年级上•福建南平・月考）己知二次函数y=-2（%-九）2+9,当自变量工的值满足2WxW5时,

与其对应的函数），的最大值为1,则常数/?的值是.

【答案】0或7/7或0

【分析】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.根据二次函数

的性质得到图象开口向下，对称轴为％二九，最大值为9,再分3种情况讨论：①九<2；（2）2</1<5；

③h>5,利用二次函数的性质求出y取最大值时对应x的值，从而得到关于〃的方程，即可求出/?的值.

【详解】解：；二次函数y=-2（x—九/+9,

二次函数图象开口向下，对称轴为％=忆最大值为9,

①若九<2,当2工工工5时，y随着x的增大而减小，

当％=2时，y取得最大值1,

.•.一2（2—八）2»9=1,

解得九=0或h=4（舍去）；

②若2W/IW5,当x=h时，j，取得最大值9,不符合题意，舍去；

③若九＞5,当2WXW5时，y随着x的增大而增大，

•••当X=5时，y取得最大值1,

-2（5-/i）2+9=1,

解得九=7或九=3（舍去）；

二综上所述，常数〃的值是0或7.

故答案为：。或7.

12.（2025•全国•模拟预测）在矩形4BCD中，边AD=6,边＞6,点后在CD上，且CE=5,点F为AC

的中点，当△“尸是以CE为腰的等腰三角形时，力B的长度为.

【答案】8或18

【分析】本题主要考查矩形的性质、相似二角形的判定和性质、等腰二角形的性质和判定、勾股定理，分

两种情况：若EF=CE=5,若CF=CE=5,解答即可.

【详解】解：在矩形4BCD中，乙。=90。，AB=CD,

若£"=。£=50寸，过点尸作F”于点〃，则4CH尸==90。，

:.FH||71D,

:.△CHFCDA,

生_FH_CF

''"CD~~AD~~ACy

•••点/为AC的中点，AD=6,

CHFH1

,—==—

CD62

.'.CD=2CH,FH=3,

:.EH=VFF2_FH2=V52-32=4,

：.CH=HE+CE=9,

.-.AB=CD=2CH=18：

若仃*=CE=5时,如图,

•・•点/为4c的中点，

••.AC=2CF=10,

"D=6,

•••CD=y/AC2-AD2=8,

.'.AB=8,

综上，48的长度为8或18.

故答案为：8或18

13.(2025•江苏扬州•二模)如图，根据小丽与DeepSeek的对话，OeepSe“在深度思考后，给出的答案是

二新对话C5

有没有这样一个数，先计算这个数

的平方，再减去这个数，最后加上

1,其运算结果和这个数相同？

(§)深度思考中…

C5开启新对话

给DccpScck发送消息

目深度思考(R1)③联网搜索+@

【答案】1

【分析】本题考查了解一元二次方程.熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键.设这个数为居根据“先

计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1,其运算结果和这个数相同〃列出方程即可求解.

【详解】解：设这个数为居则有/-x+l=x,

x2—2x+1=0,

(x-1)2=0,

x-1=0,

解得％=1.

故答案为：1.

14.（2025・安徽•模拟预测）如图：在扇形力。8中，4408=90。,。4=2,C为。8中点，过C作。DIIOA交通

于点。.则阴影部分面积为

【答案】与一竽

【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，不规则图形的面积，正确作出辅助线是解题的关键.

连接。。，设ABCD交于点E,证明△8CE是等腰直角三角形，利用锐角三角函数可得/。。。二60。，再由阴

影部分面积=S扇形J）。"—S^cOD~SgCE，即可求解.

•.•。8=0力=2,C为OB中点，

：.OC=BC=^OB=1,

-AAOB=90°,CDWA,

"BCD=Z.OCD=Z.AOB=90°,Z.OAB=乙OBA=45°,

••.△BCE是等腰直角三角形，CD=CW—。后2=,22-12=近,

'.CE=BC=1,

在RtZkCOD中，tanzCOD=^=73，

“COD=60°,

，阴影部分面积=S扇形DOB—SACQD-S.BCE

=^-Ixlx^-Ixlxl=T-^

ooU//J/

故答案为：?一竽.

三、解答题(本大题共9小题，满分78分)

15.(7分)(2025•辽宁抚顺•一•模)解方程

(1)x(%+2)4-(x4-2)=0

(2)x2+4x—5=0

【答案】(1)M=-2,%2=-1

(2)X1=—5,x2=1

【分析】本题主要考查了用因式分解法和配方法求解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握用因式分解法

和配方法求解一元二次方程的方法和步骤.

(1)用因式分解法求解即可：

(2)用配方法求解即可.

【详解】(1)解：%(无+2)+(工+2)=0

(%+2)(x+1)=0

••・x+2=0,或X4-1=0

解得，X\=-2,%2=-1•

(2)解：x2+4%-5=0

配方得炉+4x+4=5+4

(x+2>=9

x4-2=±3

•••=-5,工2=1.

16.(7分)(2025•福建泉州•模拟预测)已知方程/+4mx+4m2+2m+3=0.

(1)当m=-2时，求方程的根.

(2)若方程/+4mx+4?n2+2m+3=0与方程(m—l)x2+2mx+(m-1)=。至少有一个方程有实根，求m

的取值范围.

【答案】(1)打=3,%2=5；

(2)771<—舞m>

【分析】此题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，

(1)将加=-2代入方程，然后利用因式分解法求解即可；

(2)根据题意分两种情况讨论，利用一元二次方程根的判别式求解即可.

【详解】(1)解：当m=-2时，/-8x+4x4—4+3=0

AX2—8%4-15=0

•**(%—3)(%—5)=0

%—3=0或％—5=0

解得》1=3,x?=5；

(2)解：vx2+4mx+4m2+2m+3=0

根据题意得，△=(4m)2-4x1x(4?n2+2m+3)=—8m-12>0

,3

•••m<-r；

-l)x2+2mx+(zn-1)=0

当加一1二0时，即血=1

.•-2z=0,解得x=0,此时方程有解.；

当加一1H0时，即m*1

根据题意得，4=(2m)2-4(m-l)2>0,

.•.m>I，

综上所述，ni的取值范围为m<-号或m>g.

17.(7分)(2025•江苏苏州•模拟预测)如图，在平面直角坐标系》。、中，一次函数丫=攵％+8与反比例函

数'=?(%>0)的图象交于点力(L6),8(a2),与x轴，y轴分别交于C,。两点.

⑴求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)将直线48向下平移。个单位长度后与x轴，y轴分别交于E,F两点,当EF=/8时，求。的值.

【答案】(l)y=y=-2x+8

(2)tz=6或a=10

【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，一次函数的平移,

勾股定理，正确地求出函数的解析式是解题的关键.

(1)根据已知条件列方程求得m=6,得到反比例函数的表达式为y=*然后求得8(3,2),解方程组即可

得到结论：

(2)将直线48向下平移。个单位长度后与x轴，y轴分别交于E,F两点,求得直线EF的解析式为

y=-2x+8—a,解方程得到及早,0),F(0,8-a),根据勾股定理即可得到结论.

【详解】(1)解：・.一次函数丫=依+8与反比例函数丫=；。〉0)的图象交于点力(1,6),见几2),

考=6,

.-.m=6,

・••反比例函数的表达式为y=«

.*.2=

•••n=3,

.*.5(3,2),

(k+h=6

''13k+b=2'

解得｛■?’

・••一次函数的表达式为y=-2x+8：

(2)解：将直线48向下平移。个单位长度后与x轴，y轴分别交于，户两点，

・•.直线EF的解析式为y=-2x+8-a,

当x=。时，y=8—a,当y=。时，解得％=?，

，。)，尸(。,8-。),

-.'EF=^AB,

•­•JS?+(8―Q)2=_xJ(1—3)2+(6-2)2,

解得a=6或Q=10.

18.(7分)(2025•江西吉安•二模)江西庐山素有“匡庐奇秀甲天下山〃之美称.早在一千二百多年前，唐

代诗人李白曾这样赞美庐山："予行天下，所游山水甚富，俊伟循特，鲜有能过之者，真天下之壮观也〃.庐

山景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图1景区内修建观光索道.设计示意图如图2所示，以山脚4

为起点，沿途修建4B、CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶。处，中途设计了一段与4广平行的观

光平台BC.索道AB与AF的夹角为15。，CD与水平线夹角为45。，点8的垂直高度BE为130m,DF14凡垂足

为点立(图中所有点都在同一平面内，点力，E,尸在同一水平线上.)

⑴求索道88的长；(结果精确到1m)

(2)求山顶点。到水平地面的距离DF的长(结果精确到1m).(参考数据：sinl5°«0.26,cosl5°«0.97,

tan15°«0.27,V2=1.41)

【答案】⑴500m

(2)403m

【分析】本题考查直角三角形的实际应用问题.

PP

(1)RtZX/BE中，利用力8诉即可求解；

(2)在Rt^CGO中，sin乙OCG=^,先求出DG的高度，再加BE的高度即可求解.

【详解】⑴解：在RS/WE中，sin^BAE=

AD

由题意得ZB4E=15°,

BEBE130_、

•••AzBn=•=.«77^7=50AA0Z(m)；

sinZ.BAEsinilrbo0.2617

即索道48的长约为500m.

(2)解：如图，延长BC交直线DF于点G,易得CG_LOF,

在中，sinzDCG=

•••由题意得NDCG=45°,

DG=CDxsin乙OCG=500sin45°«352.5(m)

DF=DG+GF=DG+BE=352.5+130x483(m)

即山顶点D到水平地面的距离D厂的长约为483m.

19.(9分)(2025•安徽•模拟预测)如图，在正方形/BCD中，点E是边的中点，点尸是边8C的中点，AF

与DE交于点M,。为8。的中点.

⑴求乙4ME的度数：

(2)证明:ME+MF=V2MB.

【答案】⑴90。

(2)见解析.

【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，

掌握知识点的应用是解题的关键.

(1)由四边形力BCD是正方形，^\AB=BC=AD,^ABC=^BAD=90°,又点E是边48的中点，点户是边8。

的中点，^\AE=BF=证明△■相△D4E(SAS)，所以NB”="DE,然后通过角度和差即可求解；

(2)作MNJ.4B于N,则i/NM=90。，设=2a,BF=a,由勾股定理得4尸二而。，证明

^AME^AABF,则*=喘=*所以4M=主"ME=李，则有=增，同理MN=等，AN=

Zloor/\r5553

蔡，BN=AB-AN=2a-^-=^,MB=品要，然后代入即可求证.

【详解】(1)解：•••四边形/BCD是正方形，

.-.AB=BC=AD,/.ABC=/.BAD=90°,

•••点E是边48的中点，点F是边8C的中点，

.'.AE=BF=^BC,

△A8F三△D4E(SAS),

.,.Z.BAF=/.ADE,

-ABAF+/.DAF=Z.BAD=90°=/.ADE+^DAF,

.“ME=90°；

(2)证明：作MNJ.48于N,则44NM=90。，

•••/IF=y/AB?IBF2=y（2a）2Id2=VSa,

•：£BAF=/.MAE,Z.AME=/.ABC=90°,

:.△AMEABF,

AMMEAE

：'~AB~~BF~~AFf

“"噪ME"塔，

:.MF=AF-AM=yj5a-'^=噜，

OD

•.•4NAM=乙BAF,乙ANM=乙4BF=90°,

.•.△NAM〜aBAF,

AN_MN_AM

''"AE~~BF~~AFf

：.MN=年,AN=等，

J3

.-.BN=AB-AN=2a-^=^-,

••.MB=VBN2+MN2=J偿）2+偿）2=

.•.ME+MF=噜，&MB=噜，

20.（9分）（2025•山东青岛•模拟预测）"五•一"假期，宇宙公司组织部分员工到力、庆C三地旅游，公

司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图I.根据统计图回答下列问题：

⑴若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配100名员工，在看不到车票的条件下，每人抽取一张(所有

车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀)，那么员工小王抽到去8地车票的概率为；

⑵若最后剩下一张车票时，员工小张、小李都想要，决定采用抛掷一枚各面分别标有数字1,2,3,4的正

四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷1次，若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一

面的数字大，车票给小张，否则给小李."试用"列表法或画树状图〃的方法分析，这个规则对双方是否公

平？

【答案】⑴/

(2)不公平

【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与概率公式得到应用.列表法或画树状图法可以不重

更不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件.游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则

游戏不公平.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

(1)直接利用概率公式计算可得；

(2)依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率,

比较是否相等即可求得答案.

【详解】(1)解：员工小王抽到去8地车票的概率为喘=热

故答案为：g.

(2)解：不公平，

画树状图如下：

1234123412341234

由此可知，共有16种等可能结果.

其中小张掷得数字比小李掷得数字大的有6种：(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3).

所以小张掷得数字比小李掷得数字大的概率为6-16=1.

则小张掷得数字不小于小李掷得数字的概率为1一］=1

OO

•••不公平.

21.（9分）（2025•江苏泰州•二模）如图，正方形A8CD中，点石是边8c上的动点（不与点B、C重合），

乙FEC=iBAE,EF=AE,连接4F交CD于点G.

（1）求证：AELEF-

（2）取A"的中点P,求证：点8、P、。在同一条直线上；

⑶在（2）的条件下，

①当点G是C。中点时，,=二

②当点E是BC中点时，求黑的值.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

⑶①2：②；

【分析】（1）利用正方形的性质即可证明；

（2）作PQ14P于点Q.作PS1RC于点S,连接PE,根据等腰直角三角形4E户的性质以及点尸是4F的中点

得出£P=、1尸=力尸，EP1AF,通过证明△APQ三△EPS,推出PQ=PS,得到点尸在4B的平分线上，再

根据正方形的性质即可证明；

（3）①连接BD,利用相似三角形的性质与判定即可求解：②作尸H_LC。、Fl1BC,垂足分别为H、/,设

正方形的边长为2a,先证明三4E,得到£7=力8=2a,FI=BE=a,利用正方形的判定

推出四边形CW7是正方形，再通过证明△/DGYFHG得到DG=|DH=|a,利用线段和差求出CG的长,

即可求解.

【详解】（1）证明：•.•正方形48CD,

，乙B=90°,

：.LBAE+Z.AEB=90°,

■:2FEC=Z.BAE,

乙FEC+乙=90°,

・•.LAEF=90°,

•••AE1EF.

（2）证明：如图，作PQ_L4B于点Q,作PSIBC于点S,连接PE,

vAE1EF,EF=AE,

・•・△•EF是等腰直角三角形,

点P是AF的中点,

EP=^AF=APfEPLAF,

LAPE=90°,

"PQ1AB,PSIBC,

ALPQA=乙PSE=90°,

又,:乙B=90°,

••・四边形PQBS是矩形,

:.乙QPS=90°,

LAPE="PS,

ALAPE-乙QPE=Z-QPS-乙QPE,^Z.APQ=乙EPS,

•••△4PQ三△EPS(AAS),

PQ=PS,

・••点尸在NB的平分线上,

•・•正方形4BC。,

•••点。在4B的平分线上,

・••点4、P、。在同一条直线上.

由（2）得，点仄P、力在同一条直线上,

•••点G是CD中点，

DG=

正方形

.'.AB\\CD,AB=CD,

•••△ABPGDP,

故答案为:2；

②如图，作FH1CD、F/1BC,垂足分别为“、/,则NF"C=乙=90。,

设正方形A8CD的边长为2a,

则48=BC=CD=AD=2a,

•••点E是BC中点，

BE=EC=^BC=a,

vz/=z.B=90°,Z-FEI=Z.EAB,EF=AEt

IEFNABAE(AAS),

:.El=AB=2a,Fl=BE=a,

CI=EI—EC=2a—a=a,

CI=FI,

又•：4=乙ICH=乙FHC=90°,

•••四边形C〃F/是正方形，

CH=Ci=a,HFWCI,

•••DH=DC—CH=2a—a=a,

vHFWCI,AD\\BC,

.'.AD\\HF,

ADG〜△尸”G,

DGAD2a

:.而=m=々=2o,

.DG__DG__2__2

"'DH~DG+HG-2+1-3,

...DG=1DH=|a,

24

CG=CD—DG=2a--a=-a,

DG“1

,*^=h=r

【点睛】本题考查了正方形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、角

平分线的判定定理、相似三角形的性质与判定，结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形和相似三角形

是解题的关键.本题属于几何综合题，需要较强的几何推理能力和辅助线构造能力，适合有能力解决几何

难题的学生.

22.（10分）（2025•云南•模拟预测）如图所示，力。是。。的直径，四边形H8CD是。。的内接四边形，延

长4）至点E,连接EC,使得EC2=E4-ED,作BF1AC,垂足为点凡AB==|,AD=2

V7.

⑴作0G_L4B交力8于点G,求0G的长.

（2）求证：EC是O。的切线.

⑶①求BC的长度.

②设三角形A8C的面积为51，三角形COE的面积为52，是否存在常数匕使5i=ZS2成立?若存在，求

常数k的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）作图见解析，。。=等

⑵见解析

（3）①BC=V3；②常数k=39,使Si=kS?成立

【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理、切线的判定、相似三角形的性质和判定、三角函数，熟练学

握以上知识点是解题的关键.

（1）连接8D,根据垂径定理和勾股定理即可解题；

（2）连接。配证明△/ECsZiCE。，结合等腰三角形的性质和三角形内角和即可证明；

（3）①连接。&求出48a4=\z.BOA=60°,结合三角函数求解；②直接计算S1，然后求出△幺也和△CED

的相似比，进而得到面积比，计算出52,即可解题.

【详解】（1）解：如图，连接8。，

.OG±AB,

••£为48的中点，

“D是直径，

•••。是4。中点，且乙48。=90。,

.•.OG为△力8。的中位线，

.•.OG=扣0：

••,BD=7AD2-AB?=J(2V7)2-(VH)2=夕,

・•.OG=冬

（2）证明：如图，连接。。,

•••EC2=EAED,

EC_ED_

~EA='EC，

,:乙AEC=乙CED,

：.^AEC-^CEDf

：.z.ECD=乙EAC,

•MD为直径，

心CD=90°,

:.Z-CAD+匕ADC=180°-90°=90°,

•:OC=OD,

'.Z.OCD=LODC,Z.CAD=乙ECD,

：/OCD+乙ECD=90。，

即，OCE=90°,0cleE,

••・oc为半径，

••,EC是。。的切线；

(3)解：①如图，连接。。，

ill(1)知，OG=与,OA=^AD=y/7,

山G。=90°,

.'.smz.GAO=37=

.••4G4。=30°,

'：OA=OB,

：.LOBA=/.OAB=30°,

"AOB=180°-30°-30°=120°,

.'.Z.BCA=^/.BOA=60°,

・：BF=今

口「BFBF£rx

2

②:BC=瓜

:,CF=7BC?—BF'2—J(V3)2—g)=苧,

AF=，4B2-BF?=J(VH)2-(|)2=苧,

'.AC=AF+CF=3百，

•S=^AC-BF=Ix3V3xI=^.

-CD=y/AD2-AC2=J(2V7)2_(3V3)2=

1,

.••△4EC和△CED的相似比为4C:C0=3\/3：b

△4EC和△CEO的面积比为（38）2：仔=27:1,

:SdAEC=27s2,

■:S^AEC=S&ADC+S^CED，

:，SAADC=26s2，

•:S^DC=[AC-CD=gx3百x1二竽，

...26S2=竽，

双=挈，

喘=塞=39，

52

即存在常数k=39,使Si=k52成立.

23.（13分）（2025•辽宁抚顺•一模）如图1,函数月二必一2刀一3的图象与％轴交于点力，4与y轴交于点

C,连接力配点E为线段/。上任意一点，过点E作％轴的垂线，垂足为M.直线EM交y1二》2-2%-3的图象

于点D,连接CD,AD；

图1图2

⑴求直线/。的解析式.；

⑵当△力CD的面积等于3时，求点。的横坐标；

⑶定义：将函数的表达式取绝对值，得到一个新函数，称新函数为原函数的绝对函数.例如：函数以=》+1

的绝对函数为丫3=|x+1|={，

①直接写出函数为二/一2%一3(-2<x<4)的绝对函数内的解析式(化简到去掉绝对值符号)：

②如图2,是函数以当一24工34时的图象，交y轴于点凡连接/几点H,G是直