几何图形变换（复习讲义）-中考数学解答题

几何图形变换

中考数学解答题专项复习讲义（人教版）

第一部分：中考真题

1、在以△力8C中，/力⑪90°,〃是△月8C内一点，连接力。，BD.在8〃左侧作股△皮区使N8腔90°,

以力〃和M为邻边作。力应元连接CD,DF.

备用图

（1）若A俏比,B加DE.

①如图1,当8,D,6三点共线时，徵与〃尸之间的数量关系为.

②如图2,当/，，D,尸三点不共线时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由.

（2）若於2的BA2DE,碧=：,且£3厂三点共线，求崂的值.

AC5CE

【答案】3①I庐遮CD

②结论仍然成立.

理由：如图2中，连接6K延长劭交"的延长线于"设力。交8〃于G.

图2

•・•四边形"必是平行四边形,

:・AF=DE,DE//AF,

■:BD^DE,

・••仍被

♦：2BDE=90°,

庞洋N%=90°=4BCG,

'：/CGkAGH,

"CB24CAF,

•:RUAC,

:.NBC哈XACF(SAS),

"BC2/ACF,CD=CFt

:・£BCA=/DC户90°,

•••△切尸是等腰直角三角形，

:.晔aCD.

(2)如图3中，延长加交"'于"设BH交AC千G.

•・•四边形"7盟是平行四边形,

:、上DE,DE//AF,

♦：/BDE=90°,

：・/EDkNDHA=90°=4BCG,

.：/CGSAGH,

：./CB2/CAF,

・茄一/一2,

•BDBC

>•一=一

AFAC

：,^CBD^/\CAF,

—=—=2,4BCD=4ACF,

CFAC

：・2BCA=NDC290°,

AD//EF,

•・/ADC+/DCei800,

•・N力减90°,

:CD：5,设Cgk,AC=5k,贝1」力庐力之34,

,・C吟CD=2k,

♦.EOEACI^k,

=DIi=AF^y/CD2+£C2=V（4/c）2+k2=V17k,

【解析】解：（1）①如图1中，连接必设力。交班'于£

图1

•••四边形力%9是平行四边形,

：.A2DE,DE//AF,

,：BD-DE,

：.AF=BD,

TN协庐90°,

:ZED六/DFA二9C=/BCG,

'：/CGF/AGF,

:./CB24CAF,

■:BC=AC,

:.△BCgXACF（SA。，

：./BCD=NACF,CACF,

：・£BCA=/DCF=90°,

•••△3是等腰直角三角形，

：・Dg五CD.

故答案为D2鼻CD.

②见答案

(2)见答案.

(1)①证明△比四△力仃'(%S),即可推出△叱是等腰直角三角形解决问题.

②结论仍然成立.如图2中，连接延长8〃交"'的延长线于〃，设於交的于G.证明方法类似(1).

(2)如图3中，延长劭交"'于"设掰交力。于G.证明△徼DZXOF,推出冷炉2,/BCA/ACF,推

出优户90°,证明//必仁90°,由敛儿M：5,设。4〃，25k,则/供比3〃，求出"；位(用

A表示)即可解决问题.

本题属于相似形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和

性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数

解决问题，属于中考压轴题.

2、在矩形/跳力中，点E是射线相上一动点，连接力£,过点〃作加1力少于点G,交直线⑦于点反

图1图2图3

(1)当矩形力以刀是正方形时，以点尸为直角顶点在正方形/伊⑦的外部作等腰直角三角形的连接歇

①如图1,若点£在线段比上，则线段力£与力/之间的数量关系是,位置关系是;

②如图2,若点，在线段8。的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请

说明理由；

(2)如图3,若点£在线段回上，以比'和班'为邻边作平行四边形比必是8〃中点，连谖GM熊=3,

BC=2,求GV的最小值.

【解析】解：(1)①•・•四边形/次力为正方形，

:JRBC,/ABC=NBCD=90°,即N胡6N4吩90°,

■:心EF,

"CBR/AE斤90°,

"CBFJBAE,又AFBC,N4除NB6户90。,

:・\AB陛ABCFqAAS),

:・B5CF,A芹BF,

•・•△田方为等腰直角三角形，

：.FC=F//=BEfFH1FC,而CD1BC,

：,FH//BG

・•・四边形应断为平行四边形，

:.BF〃EH旦B2EH,

:,止EH,AELEH,

故答案为：相等：垂直；

②成立，理由是：

当点/?在线段函的延长线上时，

同理可得：△/膜△86F(/MS),

:.B芹CF,A拄BF,

•••△凡?/为等腰直角三角形，

:.FOF生BE,FH1,FC,而

・•・四边形阳仍为平行四边形，

:,RF〃EH0B2EH,

:.小EH,AELEH-,

(2),：NEG六4BC29G,

：.C、E、G、〃四点共圆，

•・•四边形仇〃”是平行四边形，必为例中点,

也是〃中点，

・•・"是四边形8。川外接圆圆心，

则翻的最小值为圆〃半径的最小值，

•••修3,BO2,

设HE=x、则C拄2-x,

同(1)可得：/CBe4BAE,

又*•/力吐/秋产90°,

:.△ABES/\BCF,

：.-=—,EP-=—,

BCCF2CF

：,C三,

工吟CE2+CF2=1次一4%+4,

设y=^x2-4x+4,

当中时，y取最小值行,

・••〃的最小值为纪互

13

故翻的最小值为4竺.

13

(1)①证明△力赎△灰尸，得到废CEA片BF,再证明四边形废冰'为平行四边形，从而可得结果;

②根据(I)中同样的证明方法求证即可；

(2)说明。、E、G、尸四点共圆，得出GV的最小值为圆材半径的最小值，设游后证明得

至UM再利用勾股定理我示出E出用％2一4.+4,求出最值即可得到GV的最小值.

本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，二次函数的最值,

圆的性质，难度较大，找出图形中的全等以及相似三角形是解题的关键.

3、如图，在△力ZT中，A/J=AC4BAC=a(0°<a<180°),过点力作射线//交射线比'于点〃，将山/

绕点/I逆时针旋转a得到4V,过点。作"/!必交直线4V于点凡在力必上取点后使/力阱/力⑦

(1)当川/与线段旗相交时，

①如图1,当a=60°时，线段月£,四和少之间的数量关系为.

②如图2,当a=90°时，写出线段力反。和b之间的数量关系，并说明理由.

(2)当tana三，1后5时，若定是直角三角形，直接写出"的长.

Xf

'E

图1图2备用图

【答案】解：(I)①A左CACE.

②如图2中，结论：EByfi(A&C2.

理由：过点「作COL熊于0.

・・・/夕冰/物.¥=180°,

TN扬沪90°,

：,ZCFA=ZFA^00,

VZ6^f=90°,

・•・四边形"CO是矩形，

:.C产AQ,

•:£A叱汇BDE,/DEF/ACD,

二△ACMABED,

,ADCD

••—,

BDED

•<D_8D

*''DC~TD'

•：4ADB=/CDE,

:.XADBsACDE,

"AB人CEIM50,

斤90°,

:.CE=4iEQ,

：.AE-CF^AE-A(^EQ,

：.E(=y[2(AE~C2.

(2)如图3T中，当/吵90°时，过点8作"L"于/过点尸作“_L/1£于

在/△/!〃/中，tanN以户号二,月庐5,

3

-BJ=4,

•・)俏力庐5,

・•・许/1廿4A5一3二2,

工B^BJ2+C/2=V22+42=2V5>

*A。呜•BOAD,

「J场篝275’

:.CD=y/AC2-AD2=Js2-(2\/5)2=V5>

'：FKLAD,

"CD人FKD冯C,

.・.CD//FK,

*：CF//DK,

・・・四边形切A7；是平行四边形，

•:/FKX900,

・••四边形丽是矩形，

:・F器CH[J

VtanZtanZ6>1/^,

:•哈瓜

4

-\A^y/AK2+FK2=l(V5)2+(苧产乎

如图3-2中，当/£0%90°时，/的户90°,

■:CFHAV,

・•・/月mN%后90°,

在行中，tan/。探=*：,4>5,

AK3

・••火4,力竹3,

•・•乙胡MNO8,

・・・/。林/%岳9()°,

・・・/a*N砌片90°,/班丹/力侨90°,

・•・/AFK二/CAB,

AtanZ/l^^,

FK3

・•・哈,

4

：./^=y/AK2+KF2=J?+后哼

综上所述，满足条件的小的值为乎畤

【解析】解：（1）①结论：A拄C2CE.

理由：如图1中，作CT"AF交AM于T.

AB

图1

•:小AC,/劭俏6°,

，△月8C是等边三角形，

ACA=CB,/力齿60°,

'：AFHCT,CF//AT.

・•・四边形]此7是平行四边形，

:.C2AT,

V/ADC=/BDE,4DE2乙ACD,

:.△ACMXBED,

.AD_CD

99―,

BDED

.AD_BD

**CC-ED，

•:/ADB=/CDE,

:.'ADBs^CDE,

・•・/月旌/曲=60°,

'：CT//AF.

工/。彷/刃尺60°,

•••△。花是等边三角形，

:.EOET,

：J6ARET=CF+CE.

故答案为：A芹CRCE.

(1)①结论：A扶CF+CE.如图1中，作门〃/交加/于7.想办法证明力伫绥ET=CE,可得结论.

②结论：EC-y[2{AE-CH.过点「作C0L然于0.想办法证明华阳，C打可得结论.

(2)分两种情形：如图3-1中，当/快90°时，过点8作几口月。于/过点/作掰_1力£于芯.利用勾

股定理以及面积法求出⑦，再证明小⑦，可得结论.如图3-2中，当Na女90°时，岳90°,解直

角三角形求出力可得结论.

本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形

的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思

想思考问题.

第二部分：考点解读

一、三角形的基本概念

(1)三角形.的概念

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

(2)三角形的分类

①按边之间的关系分：

三边都不相等的.三角形叫做不等边三角形；

有两边相等的三角形叫做等腰三角形；

三边都相等的三角形叫做等边三角形。

②按角分类：

三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；

有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；

有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。

(3)三角形的三边之间的关系

三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。

三角形三边关系定理及推论的作用：

①判断三条已知线段能否组成三角形

②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

(4)三角形的高、中线、角平分线

角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交.，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角

平分线。

中线：在二角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做二角形的中线。

高线：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高)。

三角形的稳定性

三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很

广，需要稳定的东西•般都制成三角形的形状。

(5)三角形的角

①三角形的内角和等于180°<.

推论：直角三角形的两个锐角互余。有两个角互余的三角形是直角三角形。

②三角形的外角

定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

内外角的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相

邻的内角。

三角形的外角和等于360°。

（6）三角形的面积

三角形的面枳=5X底X高

二、等腰三角形

1、等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的性质定理及推论：

定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）

推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三,角形的顶角平分线、底边上的中线、底

边上的高重合。

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。

（2）等腰三角形的其他性质：

①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°

②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

b_

③等腰三角形的三边关系：设腰长为a,底边长为b,则

180。—NA

④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为NA,底角为NB、ZC,则NA=180°—2NBZB=ZC=2

2、等腰三角形的判定

等腰三角形的判定定理及推论：

定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理

常用于证明同一个三角形中的边相等。

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形

推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直.角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半・。

（3）直角三角形

①在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。

②在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

③勾股定理：如果直角三角形的两条宜角边长分别为a、b,斜边长为c,那么a2+b2=c2。

④勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。

三、全等三角形

1、全等三角形的概念

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.

2、全等三角形的.性质

全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。.

3、三角形全等的判定

(D边边边(SSS)：三边分别相等的两个三角形全等。

(2)边角边(SAS)：两边和它们的.夹角分别相等的两个三角形全等。

(3)角边角(ASA)：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。

(4)角角边(AAS)：两角和其中一个角的对边分别相等.的两个三角形全等。

(5)斜边、直角边(HL)：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。

四、相似三角形

1.定义

对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比.

2.性质

(1)相似三角形的对应角相等；

(2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例；

(3)相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.

3.判定

(1)有两角对应相等，两三角形相似；学一科网

(2)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；

(3)三边对应成比例，两三角形相似；

(4)两宜角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似.

【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：

(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定(1);

(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角［用判定(1)］或再找火边成比例［用判定(2)］；

(3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；

(4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；

(5)条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找•个底角相等，也可找底和腰对应成比例.

五、全等变换

只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。

全等变换包括一下三种：

(1)平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变奥。

(2)对称变换：将图形沿某直线翻折180。”这种变换叫做对称变换。

(3)旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。

第三部分：自主练习

1、阅读下面材料：

小炎遇到这样一个问题：如图1,点、E、/分别在正方形月以方的边84CD上,N必尸=45°,连接分；

除EF=BE+DF、试说明理由.

小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中.她先后尝试了翻折、

旋转、平移的方法，最后发现线段46,月〃是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法.她的方法是将

△/I跖绕着点力逆时针旋转90。得到△力做再利用全等的知识解决了这个问题(如图2).

参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：

(1)如图3,四边形力仇N中，AB=AD,NB/1D=9O0点E,厂分别在边80,CD上,/分445°.若NB,

都不是直角，则当N少与N〃满足关系时，佻有EF=BE+DR

(2)如图4,在中，N物C=90°,Aff=AG点〃、“均在边比'上，且/物/=45°,若80=1,

EC=2,求应'的长.

D

图3

图4

2、如图1,正方形ABC、D中，点、〃为边比的上一动点，作AF1DE交DE、比'分别于P、F点、,

若点£为欧的中点，'曝PC.

(1)求证：〃点为比的中点；

(2)若加=6,PC=40求〃的长；

(3)如图2,若正方形边长为2,宜接写出尸点到月£的距离是

图1图2

3、某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形4BC和

等腰直角三角形CQE,按如图1的方式摆放，4cB=NECQ=90。，随后保持△ABC不动，

将△C0E绕点。按逆时针方向旋转。(0°<«<90°),连接AE,BD,延长8。交AE于点

E连接C/.该数学兴趣小组进行如下探究,请你帮忙解答：

A

cDB(，3c

图】图2图3

A

A

cB'-----

CDBC6

图4图5图6

(1)【初步探究】如图2,当£。〃8c时，则a=_____；

(2)【初步探究】如图3,当点区一重合时,请直接写出AF,BF，C/之间的数量关系：

第15页

(3)【深入探究】如图4,当点£,产不重合时，(2)中的结论是否仍然成立？若成立，请给

出推理过程；若不成立，请说明理由.

(4)【拓展延伸】如图5,在△A4C与△CQE中，ZACfl=ZDCE=90°,若BC=mAC,

CD=mCE(勿为常数).保持△ABC不动，将绕点。按逆时针方向旋转。

(0。＜。＜90。)，连接AE,80,延长80交AE于点用连接CT,如图6.试探究AF,BF,

CF之间的数量关系，并说明理由.

4、在。力灰刀中，Z6^45°,力。=8〃，点〃为射线口上的动点(点尸不与点〃重合)，连接

”,过点夕作交直线劭于点反

(1)如图①，当点户为线段切的中点时•，请直接写出必，分,的数量关系；

(2)如图②，当点夕在线段切上时，求证：i)A+®DP=DE：

(3)点尸在射线切上运动，若AD=3®,AP=5,请直接写出线段函的长.

(1)如图1,在四边形业也9中，/历W=60°,/以刀=120°,AB=AD,连接求证:

BC^CD=AC.

小明的思路是：延长⑦到点£,俣DE=BC,连接力£根据N物小/拉刀=180°,推得N6+

ZJZY:=180°,从而得到N8=N/1庞,然后证明△力心△力仇；从而可证册加力C,请你

帮助小明写出完整的证明过程.

【思维延伸】

(2)如图2,四边形力灰》中，2BAD=NBCA90。,AB=AD,连接/IC,猜想CD,AC

之间的数量关系，并说明理由.

【思维拓展】

(3)在四边形力比〃中，/BAD=/BCD=90°,A!f=AI)=^力C与物相交于点。若四

边形/I聪中有一个内角是75°,请直接写出线段切的长.

第16页

6、如图1,在正方形/I9中，点必为⑦边上一■点，过点M作拗比切且〃井=树；连接〃明

BM,CN,点凡。分别为笈从0V的中点，连接做

(1)证明：CM=2PQ；

(2)将图1中的△〃也V绕正方形力?5的顶点〃顺时针旋转a(0°<□<360°).

①(1)中的结论是否成立？若成立，请结合图2写出证明过程；若不成立，请说明理由；

②若/切=10,〃V=2遥，在△〃蛆，绕点〃旋转的过程中，当反M*三点共线时，请直接

写出线段国的长.

图1备用图

7、【特例感知】

(1)如图1,△/如和△6。〃是等腰直角三角形，N/1仍=NC勿=90°,点。在。力上，点〃

在加的延长线.匕连接BC,线段//与欧的数量关系是；

【类比迁移】

(2)如图2,将图1中的绕着点。顺时针旋转a(0°<a<90°),那么第(1)问

的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由.

【方法运用】

(3)如图3,若48=8,点。是线段”外一动点，力03、反，连接

①若将⑦绕点C逆时针旋转90°得到切，连接力〃，则力。的最大值是；

②若以比,为斜边作Rl△比〃(H3〃三点按顺时针排列)，4CDB=90：连接力〃，当/

C'BD=/DAB='3V时，直接写;1"〃的值.

第17页

8、如图，在AA3C巾，/44C=30。，A8=AC,点。为旗的中点，点〃是线段况上的动

点（点〃不与点，。重合），将八48沿力〃折叠得到AAED,连接“

（1）当AE_L8C时，ZAEB=___________。；（2）探究4EB与NC4。之问的数量关系，并给

出证明；

（3）设AC=4,AACO的面积为必以力〃为边长的正方形的面积为八求y关于x的函数

解析式.

9、已知NABN=90。，在ZA8V内部作等腰△/WC,AB=AC,N8AC=a（0。＜a＜90。）.点

。为射线8N上任意一点（与点8不重合），连接AO,将线段4。绕点A逆时针旋转。得到

线段AE,连接R并延长交射线3N于点尸.⑴如图1,当a=90。时，线段8F与。尸的数

量关系是;（2）如图2,当0。＜。＜90。时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请

给予证明；若不成立，请说明理由；（3）若