《工程力学（第3版）》-第8章

8.1平面弯曲8.1.1平面弯曲的概念弯曲是工程实际中较常见的一种基本变形。例如图8−1

桁车大梁AB，在载荷F和自重q的作用下将变弯。又如图8−2

所示的车刀，在切削力Fc

的作用下也会变弯。这些构件的共同受力特点是：在通过杆轴线的平面内，受到力偶或垂直于轴线的外力（即横向力）作用。其变形特点是：杆的轴线被弯成一条曲线。这种变形称为弯曲变形。在外力作用下弯曲变形或以弯曲变形为主的杆件，习惯上称为梁。工程上使用的直梁的横截面一般都有一个或几个对称轴（见图8−1、图8−2

横截面中的y轴和z轴）。由横截面的对称轴y轴与梁的轴线x组成的平面称为纵向对称平面。下一页返回8.1平面弯曲当作用于梁上的所有外力（包括支座反力）都位于梁的纵向对称平面内时，梁的轴线在纵向对称平面内被弯成一条光滑的平面曲线，这种弯曲变形称为平面弯曲（图8−3）。8.1.2梁的计算简图及分类工程上梁的截面形状、载荷及支承情况一般都比较复杂，为了便于分析和计算，必须对梁进行简化，包括梁本身的简化、载荷的简化以及支座的简化等。1.梁本身的简化不管直梁的截面形状多么复杂，都简化为一直杆，通常用梁的轴线来表示（图8−1（b）和图8−2（b））。上一页下一页返回8.1平面弯曲2.载荷的简化作用于梁上的外力，包括载荷和支座反力，可以简化为集中力、分布载荷和集中力偶三种形式。当载荷的作用范围较小时，简化为集中力；若载荷连续作用于梁上，则简化为分布载荷。沿梁轴线单位长度上所受的力即载荷集度，以q（N/m）表示。集中力偶可理解为力偶的两力分布在很短的一段梁上。3.支座的简化根据支座对梁约束的不同特点，支座可简化为静力学中的三种形式：活动铰链支座、固定铰链支座和固定端支座。上一页下一页返回8.1平面弯曲4.梁的基本形式根据支承情况，可将梁简化为三种形式：（1）简支梁。一端是活动铰链支座，另一端为固定铰链支座的梁（图8−4）。（2）外伸梁。一端或两端伸出支座之外的简支梁（图8−5）。（3）悬臂梁。一端为固定端支座，另一端为自由的梁（图8−6）。上述三种类型的梁在承受载荷后，其支座约束力均可由静力平衡方程完全确定，这些梁称为静定梁。如梁的支座约束力的数目大于静力平衡方程的数目，应用静力平衡方程无法确定全部支座约束力，这种梁称为超静定梁（图8−7）。上一页返回8.2梁的内力——剪力与弯矩8.2.1截面法求内力——剪力与弯矩平面弯曲梁横截面上的内力分析是对梁进行强度和刚度计算的基础，为了求出梁横截面上的内力，仍然要采用截面法。如图8−8（a）所示简支梁受集中力F1

、F2

、F3

作用，为了求出距A端x处的横截面1—1上的内力，首先按梁的静力平衡条件，求出梁在载荷作用下的支座反力FA

和FB

，然后沿截面1—1假想地把梁截开，把梁分成左、右两段，并以左段（也可取右段）部分为研究对象（图8−8（b））。下一页返回8.2梁的内力——剪力与弯矩由平衡条件可知，在横截面1—1上必定有维持左段梁平衡的横向力FQ

以及力偶M。按平衡条件，有可见梁弯曲时，横截面上一般存在两个内力元素，其中FQ是横截面上切向分布内力分量的合力，称为横截面1—1上的剪力；M是横截面上法向分布内力分量的合力偶矩，称为横截面1—1上的弯矩。上一页下一页返回8.2梁的内力——剪力与弯矩根据作用和反作用定律，可知右段截面上同时存在与FQ

和M等值反向的FQ′和M′（图8−8（c））。8.2.2剪力和弯矩的符号规定为使取左段和取右段得到的剪力和弯矩符号一致，对剪力和弯矩的符号作如下规定：使微段梁产生左侧截面向上、右侧截面向下相对错动的剪力为正（图8−9（a）），反之为负（图8−9（b））；使微段梁产生上凹下凸弯曲变形的弯矩为正（图8−10（a）），反之为负（图8−10（b））。上一页下一页返回8.2梁的内力——剪力与弯矩总结上例中对剪力和弯矩的计算，可以得出：横截面上的剪力在数值上等于该截面左段（或右段）梁上所有外力的代数和，即FQ=∑F（8−1）横截面上的弯矩在数值上等于该截面左段（或右段）梁上所有外力对该截面形心C的力矩的代数和，即MC=∑M（8−2）上一页返回8.3剪力图与弯矩图8.3.1剪力方程和弯矩方程从上节讨论可以看出，在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩是随截面位置而发生变化的。如果把梁轴线作为x轴，横截面的位置可用x来表示，则梁内各横截面上的剪力和弯矩都可以表示为x的函数，即上述两式即梁的剪力方程和弯矩方程。在列剪力方程和弯矩方程时，应根据梁上载荷的分布情况分段进行，集中力（包括支座反力）、集中力偶的作用点和分布载荷的起止点均为分段点。下一页返回8.3剪力图与弯矩图8.3.2剪力图与弯矩图为了明显地看出梁的各横截面上剪力和弯矩沿梁轴线的分布情况，通常按FQ=FQ(x)和M=M(x)绘出函数图形，这种图形分别称为剪力图与弯矩图。利用剪力图和弯矩图很容易确定梁的最大剪力和最大弯矩，找出梁危险截面的位置。所以，正确绘制剪力图和弯矩图是梁的强度和刚度计算的基础。上一页返回8.4弯矩、剪力和载荷集度8.4.1弯矩、剪力和载荷集度间的关系在上节例8.4中，梁的剪力方程和弯矩方程分别为下一页返回8.4弯矩、剪力和载荷集度8.4.2利用M((x))、FQ((x))、q((x))三者之间的关系绘剪力图和弯矩图掌握了弯矩、剪力和载荷集度间的关系，有助于正确、简捷地绘制剪力图和弯矩图。同时也可检查已绘制好的剪力图和弯矩图，判断其正误。从式（8−3）和集中力、集中力偶作用处内力图的变化规律，可以将剪力图、弯矩图和梁上载荷三者之间的一些常见的规律小结如表8−1所示。利用表8−1指出的规律以及通过求出梁上某些特殊截面的内力值，可以不必再列出剪力方程和弯矩方程而直接绘制剪力图和弯矩图。上