河南省2026届高三下学期高考适应性考试数学+答案

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷、答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写

在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={1,2,3},B={2,3,5},则A∩B=

A.{2,3}B.{1,5}C.{1,3,5}D.{1,2,3,5}

2.样本数据2,4,6,8,10,12,14的中位数为

A.7B.8C.9D.10

3.已知向量a=(1,1),b=(-2,x),若a⊥b,则x=

A.-2B.-1C.1D.2

4.下列函数中，既满足f(-x)=f(x),又满足的为

A.B.C.D.

5.设a=0.2,b=3°.2,c=log₃0.2,则

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

数学试题第1页(共4页)

6.已知球O的半径为1,圆柱O₁O₂的上、下底面圆周都在球O的球面上，则该圆柱的

侧面积的最大值为

B.πC.2πD.(√5+1)π

7.已知椭圆C:1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F₂,点P在C上，且满

足|PF₁I=√2|PF₂|,∠PF₂F₁=2∠PFF₂,则C的离心率为

A.√2-1B.√3-1

8.在△ABC中，AB=1,sin²A+sin²B=4sinAsinBcos,则△ABC的面积的最大

值为

A.B.C.D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知复数z=m+1+(m-1)i(m∈R)为纯虚数，则

A.m=-1B.|z|=2C.z=D.i·z=-2

10.已知函数f(x)=√3sin2x+2cos²x,则

A.f(x)的最小正周期为πB.f(x)的最大值为2

C.f(x)在区间上单调递增D.当f(θ)=-1时，tan2θ=√3

11.正方体ABCD-AB₁C₁D₁棱长为4,AE=3EB,C₁F=3FD,下列说法中正确的有

A.若点M在底面AB₁C₁D₁(含边界)内，且CM⊥EF,则M的轨迹的长度为2√5

B.空间中，点N满足则N的轨迹与正方体表面的交线长度为3π

C.平面AEF截正方体所得截面多边形是直角梯形

D.平面AEF将正方体分成两个几何体的体积分别为V,V₂,且V₁<V₂,则

数学试题第2页(共4页)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.曲在点处的切线方程为

13.已知O为坐标原点，过点(2,0)的直线与抛物线y²=2px(p>0)交于A,B两点，

若OA·OB=2,则p=

14.已知数列{aₙ}共有6项，a₁∈{-1,1},i=1,2,一，6.若|a₁+a+a+a₄I≤2,且

|a₃+a₄+a+a₆I≤2,则这样的数列{a}的个数为·

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

如图，AC是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，B为圆周上不同于A,C

的点，AC=PA=2,AB=1.

(1)若M为PA的中点，证明：OM//平面PBC;

(2)求平面APC与平面PCB的夹角的余弦值.

16.(15分)

已知双曲线C)的左焦点为F,右顶点为A,渐近线方程为

y=±√3x,点P(1,1)在直线x=a上.

(1)求C的方程；

(2)过点P的直线与C相切于点B(异于点A),证明：∠AFP=∠PFB.

17.(15分)

已知数列{a,}的首项且满足

(1)求数列{a}的通项公式；

(2)求数列{na,}的前n项和S₂;

(3)证明：a₁a₂aₙ<e(e为自然对数的底数).

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18.(17分)

某学校围棋社团举行选拔赛，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军，有以下2种方案：

方案1甲、乙、丙、丁四人由抽签决定两两对阵，失败者被淘汰，获胜者进入决

赛，决出冠军.

方案2甲、乙、丙、丁四人按如下流程进行四轮比赛，决出冠军.

第一轮：抽签决定两两对阵，获胜者进入胜者组，失败者进入负者组；

第二轮：胜者组与负者组分别组内对阵，负者组的失败者被淘汰；

第三轮：胜者组的失败者与负者组的获胜者对阵，失败者被淘汰；

第四轮：第二轮胜者组的获胜者与第三轮的获胜者进入决赛，决出冠军.

设甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p(0<p<1),任意两人对阵无平局，且不同

对阵的结果相互独立.

(1)如果采用方案1,当时，求甲获得冠军的概率；

(2)如果采用方案2,经过抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁.当时，求

甲参与对阵的比赛场数的数学期望；

(3)采用哪种方案对甲获得冠军更有利?请用概率知识加以说明.

19.(17分)

已知O为坐标原点，点A的坐标为(1,0),以O为圆心的单位圆的上半部分(含端

点)记为曲线E,B是E上异于A的任意一点.设∠AOB=x,x∈[0,π],弦AB的长

与AB的长的比值记为f(x).

(1)求f(x)的最小值；

(2)令,讨论g(x)的零点个数；

(3)若eˣ+x²f(2x)+cosx>kx+2恒成立，求实数k的取值范围.

数学试题第4页(共4页)

数学试题参考答案及评分标准

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1.A2.B3.D4.D

5.C6.C7.A8.B

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.AB10.ACD11.ABD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.14.50

四、解答题：本题共5小题，共77分。

15.(13分)

(1)证明：因为AC是⊙O的直径，所以○为AC的中点.

又M为PA的中点，所以OM//PC.

又PCc平面PBC,OMα平面PBC,所以OM//平面PBC.…………6分

(2)解：因为B在圆周上，AC=2AB,所以∠ABC=90°,∠ACB=30°.

在平面ABC内，过点A作AC的垂线AD.

因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AD,PA⊥AC.

所以AD,AC,AP两两垂直.

以A为原点，AD,AC,AP所在直线分别为x轴、y轴、=轴，

建立如图所示的空间直角坐标系.

A(0,0,0),),C(0,2,0),P(0,0,2).

设m=(1,0,0),则m是平面APC的一个法向量.…………·8分

数学试题参考答案及评分标准第1页(共6页)

因为,PC=(0,2,-2),

设n=(x,y,z)是平面PCB的法向量，则

即可取n=(√3,1,1).…11分

设平面APC与平面PCB的夹角为θ,

即平面APC与平面PCB的夹角的余弦值为·…………13分

16.(15分)

(1)解：因为点P(1,1)在直线x=a上，所以a=1.

因为C的渐近线方程为y=±√3x,所以,故b=√3.

所以C的方程为……………6分

(2)证明：设F(-c,O)(c>0),由c²=a²+b²,得c=√i²+(√3)²=2,则F(-2,0).

易知直线PB的斜率存在(另一条过点P的切线为x=1),

设其方程为y-1=k(x-1),即y=kx-k+1.

消去y,得(3-k²)x²+2k(k-1)x-k²+2k-4=0.

因为直线PB与C相切，所以3-k²≠0,且△=[2k(k-1)]²-4(3-k²)(-k²+2k-4)=0.

解得k=2.……………11分

所以直线PB的方程为y=2x-1.

数学试题参考答案及评分标准第2页(共6页)

解得所以B(2,3).

所以直线BF的方程为3x-4y+6=0.

又因为点P到直线BF的距离易知|PA|=1,所以d=|PA|.

又点P在∠AFB内部，所以∠AFP=∠PFB.………15分

17.(15分)

(1)解：因为所

因此{a-1}是以为首项，为公比的等比数列.

,即……4分

(2)解：Sₙ=a₁+2a₂+…+na

①

②

所

………………10分

(3)证明：设f(x)=In(x+1)-x,则

数学试题参考答案及评分标准第3页(共6页)

当0<x<1时，f'(x)<0,所以f(x)在(0,1)上单调递减.

又f(0)=0,所以当0<x<1时，f(x)<0,即In(x+1)<x.

因为,所以1

即In(a₁a₂-aₙ)<1,故aa₂…aʙ<e.……………15分

18.(17分)

解：(1)设A=“采用方案1甲获得冠军”.

因为甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p,且

即采用方案1甲获得冠军的概率为…4分

(2)设甲参与对阵的比赛场数为随机变量X,则X的所有可能取值为2,3,4.

故X的数学期望…10分

(3)因为甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p(0<p<1),

所以采用方案1甲获得冠军的概率为p₁=P·p=p²;

采用方案2甲获得冠军的概率为P₂=p³+p(1-p)p²+(1-p)p³=-2p⁴+3p³.

P₂-P₁=-2p⁴+3p³-p²=p²(2p-1)(1-p).…………14分

数学试题参考答案及评分标准第4页(共6页)

因为0<p<1,所以当时，P₂<P₁;当,P₂>P₁·

故当时，采用方案1对甲获得冠军更有利；

当时，采用两种方案中任一种皆可；

当时，采用方案2对甲获得冠军更有利.…17分

19.(17分)

解：(1)由题意可得x∈(0,π),

,则当x∈(0,π)时，,从而h(x)在(0,π)上

单调递减.于是h(x)<h(0)=0,进而可得f'(x)<0,f(x)在(0,π)上单调递减.

因此f(x)在区间[0,π]的最小值为…4分

(2),x∈(0,π),

函数g(x)的零点个数等于直线y=a与函数x∈(0π]的图象的交点个数.

设

当时，φ(x)<0;当)时，φ'(x)>0.

所以φ(x)在上单调递减，在)上单调递增.

又当x→0时，φ(x)→+の,

数学试题参考答案及评分标准第5页(共6页)

所以当时，直线y=a与函数0,π]的图象无交点，函数g(x)

无零点；

同理，或，时，函数g(x)有1个零点；

时，函数g(x)有2个零点.………10分

(3)不等式可化为e*+xsinx+cosx>kx+2,

令F(x)=eˣ+xsinx+cosx-kx-2,F'(x)=eˣ+xcosx-k.

又设G(x)=e³+xcosx-k,当x>0时，G'(x)=e³-xsinx+cosx>e-x-1.

设w(x)=e-x-1,则当x>0时，w(x)=e-1>0.

所以w(x)在上单调递增，の(x)>①(0)=0.

所以当时，G'(x)>0,G(x)在上单调递增.…………13分

①当k≤1时，对于,有G(x)>G(O)=1-k≥0,即F'(x)>0,所以F(x)在

上单调递增.因此，时，F(x)>F(0)=0恒成立，符合题意.

②时，对于.即F'(x)<0,所以F(x)在

上单调递减.因此，时，F(x)<F(0)=0,不符合题意.

③时，因为G(0)=1-k<0,所以存在,使

得G(x。)=0.当x∈(0,x。)时，G(x)<0,即F'(x)<0,所以F(x)在(0,x₀)上单调递

减.因此，当x∈(0,x₀)时，F(x)<F(O)=0,不符合题意.

综上，实数k的取值范围是(-∞,1).………………17分

数学试题参考答案及评分标准第6页(共6页)

请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效

续15.续16.

数学答题卡

考生号

注意事项

姓名

1.答题前，考生务必先认真核对条形码

考点学校上的相关信息，确认信息无误后将本人

考生号、姓名、考点学校、考场号和座

位号填写在相应位置，同时将背面的座

位号填涂在指定的位置。

2.答题时，必须使用黑色墨水签字笔书

写；选择题填涂时，须用涂卡(2B)铅笔

按图示规范填涂；作图时，用绘图

铅笔，笔迹要清晰。

3.必须在题目所指示的答题区域内作17.

答，超出答题区域的答案无效；在草稿

此栏考生禁填缺考由监考员粘贴条形纸、试题卷上答题无效。

码，并用蓝色字迹的圆珠笔填涂缺考标缺考标记口4.保持答题卡清洁、完整，严禁折叠，

记，在考生姓名栏填“缺考”两字严禁在答题卡上作任何标记。

选择题(请用2B铅笔填涂)

一、选择题二、选择题

1.[A][B][C][D]5.[A][B][C][D]9.[A][B][C][D]

2.[A][B][C][D]6.[A][B][C][D]10.[A][B][C][D]

3.[A][B][C][D]7.[A][B][C][D]11.[A][B][C][D]

4.[A][B][C1[D]8.[A][B][C][D]16.

三、填空题

12.13.14.

四、解答题

15.

B

请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效