第23章 旋转（单元测试·拔尖卷）（解析版）-2025-2026学年九上（人教版）

第二十三章旋转·拔尖卷【人教版】参考答案与试题解析第Ⅰ卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）如图，在4×4的正方形网格中有两个阴影四边形，现要将左边的阴影四边形通过n次旋转得到右边的阴影四边形，每次旋转都以图中标出的各点为旋转中心，旋转角度为k⋅90°（k为整数），则n的值（）A．可以为1，不可以为2B．可以为2，不可以为3C．可以为1，2，不可以为3D．1，2，3均可【答案】D【分析】根据旋转的性质及题意可直接进行求解．【详解】解：由题意得：当左边的阴影部分绕点E顺时针旋转90°可得右边的阴影部分，此时k=1；当左边的阴影四边形绕点A逆时针旋转90°，再将得到的四边形绕点C顺时针旋转180°可得右边的阴影四边形，此时k=2；当把左边的阴影四边形绕点B顺时针旋转90°，再将得到的四边形绕点E顺时针旋转90°，将得到的四边形绕点C逆时针旋转90°可得右边的阴影四边形，此时k=3；故选D．【点睛】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握图形绕某点进行旋转的方法是解题的关键．2．（3分）（24-25九年级上·湖北·阶段练习）如图，在正三角形网格中，将△EFG绕某个点旋转，得到△E′FA．点A B．点B C．点C D．点D【答案】C【分析】本题考查了旋转中心，熟练掌握旋转中心的定义，学会构造旋转对应点连线的垂直平分线找出旋转中心是解题的关键．连接FF′、GG′，分别作【详解】解：将△EFG绕某个点旋转，得到△E′F′G′，则F与连接FF′、GG′，分别作FF′和故选：C．3．（3分）（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线y=2x+m（m为常数）与y轴交于点A，将该直线沿y轴向上平移6个单位长度后，与y轴交于点A′，若点A′与A关于原点O对称，则m的值为（A．−3 B．3 C．−4 D．4【答案】A【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，根据平移的规律求得平移后的直线解析式，然后根据y轴上点的坐标特征求得A、A′的坐标，由题意可知m+6+m=0，解得m=−3【详解】解：∵直线y=2x+m（m为常数）与y轴交于点A，当x=0时，y=m，∴A0,m将该直线沿y轴向上平移6个单位长度后，得到y=2x+m+6，∵将该直线沿y轴向上平移6个单位长度后，与y轴交于点A′∴A′∵点A′与A关于原点O∴m+6+m=0，解得m=−3，故选：A．4．（3分）如图，正方形ABCD和正方形EFGH的对称中心都是点O，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（

）A．2 B．1.75 C．1.5 D．1.25【答案】B【分析】本题考查了中心对称，正方形的性质，掌握关于中心对称图形的性质是解题的关键．连接AF,BG，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于两个正方形面积差的四分之一．【详解】解：连接AF，BG，∵正方形ABCD的边长为4和正方形EFGH的边长为3，∴正方形ABCD的面积为16，正方形EFGH的面积为9，∵正方形ABCD和正方形EFGH的对称中心都是点O，∴S阴影故选B．5．（3分）（24-25八年级下·江西上饶·期末）如图，直线y=−2x+4与x轴交于点E，与y轴交于点A，▱ABCD边CD在x轴上，且AB=OD=OE，将▱ABCD沿x轴正方向平移m个单位长度后，面积恰好被直线AE平分，则m的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本题考查了平行四边形的性质，中心对称的性质，一次函数与坐标轴的交点问题及平移的性质，先求出A,E两点的坐标，得到OE=2，进而求出AB=OD=CD=2，即可求出C点的坐标，设▱ABCD沿x轴正方向平移m个单位长度后，得到▱A'B'C'D'，由平移的性质得到【详解】解：根据题意当x=0时，则y=−2x+4=4，当y=0时，则0=−2x+4，解得：x=2，∴A0,4∴OE=2，∵AB=OD=OE，四边形ABCD是平行四边形，∴AB=OD=CD=2，∴OC=4，∴C−4,0设▱ABCD沿x轴正方向平移m个单位长度后，得到▱A'B则A'∵四边形A'B'∴当直线y=−2x+4过A'C'∵A'C'的中点为m+∴2=−2−2+m解得：m=3．故选：B．6．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，且A，B，E三点在同一条直线上，若∠C=36°，则旋转角α的度数是（

）A．82° B．83° C．84° D．85°【答案】C【分析】根据△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α得到△ADE，可得∠ADB=∠B=∠ADE=180°−α2，在△BDE中，根据三角形内角和定理，可得∠E+∠B+∠ADB+∠ADE=180°，从而算出旋转角【详解】∵△ABC绕点A逆时针旋转α得到△ADE，点B的对应点是D，∴△ABC≌△ADE，∠BAD=∠CAE=α，∴AB=AD，∠ADE=∠B，∠E=∠C=36°，∴∠ADB=∠B=180°−α∴∠ADE=180°−α∵A，B，E三点在同一条直线上，∴在△ABD中，∠E+∠B+∠BDE=180°，即∠E+∠B+∠ADB+∠ADE=180°，∴36°+3⋅180°−α解得α=84°．∴旋转角α的度数是84°．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的旋转变换，熟练掌握三角形内角和定理和旋转的性质是解本题的关键．7．（3分）（2025·山东济南·模拟预测）已知抛物线P:y=3x2+6ax−4a>0，将抛物线P绕原点旋转180°得到抛物线P′，当1≤x≤3时，在抛物线P′上任取一点M，设点M的纵坐标为m，若A．0<a≤12 B．0<a≤32 C．【答案】A【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、关于原点对称，正确求出抛物线P′的解析式是解题的关键．先求出抛物线P′的解析式为y=−3x2+6ax+4，再根据抛物线的对称轴的位置分三种情况讨论：①0<a<1【详解】解：抛物线P:y=3x∴抛物线P的顶点坐标为−a,−3a∵将抛物线P绕原点旋转180°得到抛物线P′∴抛物线P′的顶点坐标为a,3a2∴抛物线P′的解析式为y=−3∴抛物线P′开口方向向下，对称轴为直线x=a①若0<a<1，当1≤x≤3时，则当x=1时，y有最大值−3+6a+4=6a+1，由题意得，6a+1≤4，解得：a≤1∴0<a≤1②若1≤a≤3，则当x=a时，y有最大值3a由题意得，3a解得：a=0（舍去）；③若a>3，则当x=3时，y有最大值−27+18a+4=18a−23，由题意得，18a−23≤4，解得：a≤3∴综上所述，a的取值范围是0<a≤1故选：A．8．（3分）（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2025次得到正方形OAA．2,2 B．0,2 C．1,1【答案】B【分析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，再由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点【详解】解：∵点A的坐标为1,0，四边形OABC是正方形，∴点B的坐标为1,1，∴OA=AB=1，∵四边形OABC是正方形，∴∠OAB=90°，连接OB，如图：

由勾股定理得：OB=1由旋转的性质得：OB=OB∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB=∠BOB∴B10,2，B2−1,1，B3−2,0，B4发现是8次一循环，则2025÷8=253余1，∴B2024是第253组的最后一个点，B∴点B2025的坐标为0,故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是数形结合并学会从特殊到一般的探究规律的方法．9．（3分）如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向△ABC外侧作△ABD，使得∠ADB=120°，再以点C为旋转中心把△CBD沿着顺时针旋转至△CAE，则下列结论：①D、A、E三点共线；②△CDE为等边三角形；③DC平分∠BDA；④DC=DB+DA，其中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【分析】如图，由△ABC为等边三角形得到∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，由∠ADB=120°得到∠ABD+∠BAD=60°，再根据旋转的性质得∠ACB=60°，即旋转角等于60°，CD=CE，∠CAE=∠CBD=∠ABD+60°，于是可计算出∠DAE=180°，则可对①进行判断；由∠DCE=∠ACB=60°，CD=CE，根据等边三角形的判定可对②进行判断；由△CDE为等边三角形得∠ADC=60°，于是可得∠CDB=60°，则可对③进行判断；根据旋转的性质得AE=DB，根据等边三角形的性质得CD=DE，所以CD=DE=DA+AE=DA+BD，则可对④进行判断．【详解】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，∵∠ADB=120°，∴∠ABD+∠BAD=60°，∵点C为旋转中心把△CBD沿着顺时针旋转至△CAE，∴∠ACB=60°，即旋转角等于60°，CD=CE，∠CAE=∠CBD=∠ABD+∠CBA=∠ABD+60°，∵∠CAE+∠BAC+∠BAD=∠ABD+60°+60°+∠BAD=180°，即∠DAE=180°，∴D、A、E三点共线，所以①正确；∵∠DCE=∠ACB=60°，CD=CE，∴△CDE为等边三角形，所以②正确；∵△CDE为等边三角形，∴∠ADC=60°，∴∠CDB=60°，∴DC平分∠BDA，所以③正确；∵△CDE为等边三角形，∴CD=DE，而点C为旋转中心把△CBD沿着顺时针旋转至△CAE，∴AE=DB，∴DE=DA+AE=DA+BD，∴DC=DB+DA，所以④正确．故选：A．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．10．（3分）（2025·江苏无锡·一模）如图1，现有长2，宽1的A、B两种卡片各若干张，卡片上都有一条对角线花纹，请用这些卡片正好拼成一个10×10的大正方形，要求每张卡片与卡片的对角线都不相连（例如图2中所示的两种拼法就都不符合要求），则A、B两种卡片各需要的张数可能是（

）A．30，20 B．28，22 C．26，24 D．25，25【答案】A【分析】本题考查图形的拼接，解题的关键是正确理解题意，通过平移、旋转、轴对称或中心对称等方法拼成符合题意的正方形，即可得出答案．【详解】解：∵用长2，宽1的A、B两种卡片各若干张拼成一个10×10的大正方形，∴每张卡片的面积为：2×1=2，大正方形的面积为：10×10=100，∴大正方形的边长为10，设A卡片的数量为x，B卡片的数量为y，∴2x+2y=100，∴x+y=50，为避免对角线相连，将A卡片顺时针旋转使对角线为左上到右下（横向），B卡片为左上到右下（纵向），如图所示，​其中A卡片（横向）共有30张，B卡片（纵向）共有20张．故选：A．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）在直角坐标平面内，有点A（﹣2，0），B（0，2），将线段AB绕点B顺时针旋转后，点A的对应点C落在y轴上，那么旋转角是°．【答案】315或135【分析】根据A、B的坐标可知，△AOB是等腰直角三角形，由此即可得出答案．【详解】解：如图，∵A（﹣2，0），B（0，2），∴OA＝OB＝2，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠ABO=∠OAB=45°，∴∠AB∴当旋转角为315°（旋转角为360°-∠ABO）或135°（旋转角为∠ABC′）时，点A的对应点C落在故答案为：315或135．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，图形的旋转，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握旋转的性质．12．（3分）（24-25八年级下·甘肃白银·期末）如图，直线a，b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D．若OB=4，OD=3【答案】12【分析】此题考查了中心对称，关键是中心对称性质的熟练掌握．过点A′作A′F⊥a于点F，过点A作AE⊥b于点E，证明四边形A′DOF是矩形，则A′F=OD=3，同理可知，四边形ABOE【详解】解：如图，过点A′作A′F⊥a于点F，过点A作AE⊥b∵A′D⊥b于点∴∠A∴四边形A′∴A′同理可知，四边形ABOE是矩形，∴AE=OB=4，∵曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A′∴AE=A′D=OB=4∴阴影部分的面积之和=长方形ABOE的面积=3×4=12．故答案为：12．13．（3分）（24-25八年级下·浙江温州·期中）若关于x的一元二次方程x2+4x+m=0有两个相等的实数根，则点Pm,m+1【答案】−4,−5【分析】本题考查了根的判别式及关于原点对称的点的坐标特征，利用判别式Δ=0，求出m的值是关键．根据一元二次方程有两个相等的实数根，判别式Δ=0，得出关于m的方程，求出m的值，进而确定点【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2∴Δ=0，即解得m=4，∴∴m+1=5∴点P则P4,5关于原点对称的点的坐标为−4,−5故答案为：−4,−5．14．（3分）如图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在处．（填写区域对应的序号）【答案】②【分析】根据中心对称图形的概念解答．【详解】解：在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，这个正方形应该添加区域②处，故答案为：②．【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合是解题的关键．15．（3分）（24-25七年级下·辽宁鞍山·阶段练习）将一副直角三角板ABC和DEF如图放置，此时F，B，E，C四点在同一条直线上，点A在边DF上，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°，∠BAC=45°．将图中的三角板DEF绕点A以每秒10°的速度，按顺时针方向旋转一定的角度α°0°<a°≤180°后，记为三角板D′E′F′，设旋转的时间为t秒．若在旋转过程中，三角板D′【答案】6或9或18【分析】本题主要考查了平行线的性质，角度的计算等知识，分三种情况讨论：第一种情况当D′F′∥BC时，a为60°，第二种情况当D′E′∥BC时，a为【详解】解：I．如图，当D′

∵D′F′∴AB⊥D∵∠FAB=∠EDF=30°，∴a=∠F∴a为60°∴tII．如图，当D′

∵D∴AB⊥D∴a为90°，∴tIII．如图，当E′

此时D′F′∴a为180°，∴t综上所述：三角板D′E′F′故答案为：6或9或1816．（3分）如图，已知等腰直角△ABC，∠ACB=90°，AB=2，点C是矩形BCGF与△ABC的公共顶点，且CE=1，CG=3；点D是CB延长线上一点，且CD=2．连接BG,DF，在矩形ECGF绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段BG达到最长和最短时，线段DF对应的长度分别为m和n，则m【答案】13【分析】根据等腰三角形的性质，锐角三角函数可求得AC=BC=1，当线段BG达到最长时，此时点G在点C的下方，且B，C，G三点共线，求得BG=4,DG=5,根据勾股定理求得DF=26，即m=26；当线段BG达到最短时，此时点G在点C的上方，且B，C，G三点共线，则BG=2,DG=1,根据勾股定理求得DF=2，即n=【详解】解：∵△ABC为等腰直角三角形，AB=2∴∠A=∠ABC=45°，∴AC=BC=AB⋅sin当线段BG达到最长时，此时点G在点C的下方，且B，C，G三点共线，如图：则BG=BC+CG=4,DG=DB+BG=5,在Rt△DGF中，DF=∴m=26当线段BG达到最短时，此时点G在点C的上方，且B，C，G三点共线，如图：则BG=CG−BC=2,DG=BG−DB=1,在Rt△DGF中，DF=∴n=2∴mn故答案为：13．【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，根据旋转推出线段BG最长和最短时的位置是解题的关键第Ⅱ卷三．解答题（共8小题，满分72分）17．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为A−3,4(1)画出△ABC关于原点对称的△A1B(2)画出△ABC绕原点逆时针旋转90∘后的△A2(3)点P为x轴上一点，直接写出当PA−PB最大时，点P的坐标．【答案】(1)图见解析，A1的坐标为(2)图见解析，C2的坐标为(3)−【分析】本题考查了中心对称、旋转作图、三角形的三边关系、一次函数解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）根据中心对称的定义作图即可；（2）根据旋转的性质作图即可；（3）先根据三角形的三边关系推出当P、A、B三点共线时，PA−PB有最大值，然后利用一次函数的解析式求解即可．【详解】（1）解：如图：A1的坐标为3,−4（2）解：如图：C2的坐标为−2,−1（3）解：如图：点P为x轴上一点，由三角形的三边关系可知PA−PB<AB当P、A、B三点共线时，有PA−PB=AB，即PA−PB≤AB，当且仅当P、A、B三点共线时，PA−PB延长AB交x轴于P1，此时P设yAB则−3k+b=4−5k+b=1解得k=3∴yAB当y=0时，32解得x=−17∴P1即当PA−PB最大时，点P的坐标为−1718．（6分）图①、图②和图③都是5×5的正方形网格，每个小正方形边长均为1．按要求分别在图①、图②和图③中画图：(1)在图①中画等腰△ABC，使其面积为3，并且点C在小正方形的顶点上；(2)在图②中画四边形ABDE，使其是轴对称图形但不是中心对称图形，D，E两点都在小正方形的顶点上；(3)在图③中画四边形ABFG，使其是中心对称图形但不是轴对称图形，F，G两点都在小正方形的顶点上；【答案】(1)作图见解析(2)作图见解析(3)作图见解析【分析】（1）取格点C，连接AC、BC即可；（2）取格点D、E，连接AE、DE、BD即可；（3）取格点F、G，连接AG、GF、BF即可．【详解】（1）解：取格点C，连接AC、BC，取格点O，连接BO，∵图①是5×5的正方形网格，每个小正方形边长均为1，∴CO=AO=1，BO=3，BO⊥AC，∴BO垂直平分AC，∴BC=BA，∴△ABC是等腰三角形，又∵S△ABC∴等腰△ABC面积为3，且点C在小正方形的顶点上，则△ABC即为所作；（2）取格点D、E，连接AE、DE、BD，∵图②是5×5的正方形网格，每个小正方形边长均为1，∴AE∥BD，AE=1，∴AE≠BD，∴四边形ABDE是梯形，∵AB=12+∴AB=ED，∴四边形ABDE是等腰梯形，它是一个轴对称图形，不是中心对称图形，则四边形ABDE即为所作；（3）取格点F、G，连接AG、GF、BF即可，∵图③是5×5的正方形网格，每个小正方形边长均为1，∴AG∥BF，∴四边形ABFG是平行四边形，它是一个中心对称图形，不是轴对称图形，则四边形ABFG即为所作．【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，等腰梯形的判定，勾股定理，平行四边形的判定，中心对称图形，轴对称图形，三角形的面积等知识．解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．19．（8分）（24-25八年级下·福建莆田·期中）请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法，题目要求画的线画实线，其他的线画虚线）(1)如图1，在▱ABCD中，E为AB边上一点，在CD上找点F，使得CF=AE；(2)在平行四边形ABCD中挖去一个矩形，准确作出一条直线将剩下图形的面积平分．【答案】(1)作图见解析(2)作图见解析【分析】（1）连接AC、BD，AC交BD于点O，连接EO并延长交DC于点F即可；（2）设矩形的对角线交点为点M，连接AC、BD，AC交BD于点N，过点M、N作直线即可．【详解】（1）解：如图，连接AC、BD，AC交BD于点O，连接EO并延长交DC于点F，∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，∴AO=CO，AB∥∴∠CFO=∠AEO，∠FCO=∠EAO，在△OCF和△OAE中，∠CFO=∠AEO∠FCO=∠EAO∴△OCF≌△OAEAAS，∴CF=AE，则点F即为所作；（2）如图，设矩形的对角线交点为点M，连接AC、BD，对角线AC、BD相交于点N，过点M、N作直线，设直线MN将▱ABCD分成的两部分的面积分别为S1、S2（左边为S1，右边为S2），直线MN将矩形分成的两部分的面积分别为S3、S∵平行四边形和矩形都是中心对称图形，且直线MN同时经过▱ABCD和矩形的对角线的交点，∴S1=S∴S1∴直线MN左边剩余部分的面积等于直线MN右边剩余部分的面积，即直线MN将剩下图形的面积平分，则直线MN即为所作．【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，考查了平行四边形的性质，矩形的性质，中心对称图形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．20．（8分）【综合实践】△ABC中，AB=AC，P是BC边上任意一点，以点A为中心，取旋转角等于∠BAC，把【操作体验】（1）若点P的对应点为点P′【深入探究】（2）如图2，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P是BC边上一点（不与【拓展应用】（3）如图3，△ABC中，∠ABC=30°，AB=4，BC=5，P是【答案】（1）见详解（2）BP2【分析】（1）按要求作图即可（2）根据全等三角形的性质得到BP=CE，∠ACE=∠B，得到∠PCE=90°，根据勾股定理计算即可；（3）如图4中，先由旋转的性质得出△ABP≌△DBE，则∠ABP=∠DBE，BD=AB=4，∠PBE=60°，BE=PE，AP=DE，再证明∠DBC=90°，然后在Rt△BCD中，由勾股定理求出CD的长度，即为【详解】（1）图即为所作，（2）数量关系：BP理由如下：△ABP逆时针旋转90°由题意得：如图，∵∠BAC=∠PAE=90°，∴∠BAC−∠PAC=∠PAE−∠PAC，即∠BAP=∠CAE，在△BAP和△CAE中，AB=AC∠BAP=∠CAE∴△BAP≌△CAE(SAS∴BP=CE，∠ACE=∠B，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠ACB=90°，∴∠PCE=∠ACE+ACB=∠ACB+∠B=90°，∴CE在Rt△APE中，AP∴EP∴BD（3）解：如图4中，将△ABP绕着点B逆时针旋转60°，得到△DBE，连接EP，CD，∴△ABP≌△DBE，∴∠ABP=∠DBE，BD=AB=4，∠PBE=60°，BE=PE，AP=DE，∴△BPE是等边三角形，∴EP=BP，∴AP+BP+PC=PC+EP+DE，∴当点D，点E，点P，点C共线时，PA+PB+PC有最小值CD，∵∠ABC=30°=∠ABP+∠PBC，∴∠DBE+∠PBC=30°，∴∠DBC=90°，∴CD=B故答案为41．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质，利用旋转的性质构造全等三角形是本题的关键．21．（10分）如图，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC、DC（或它们的延长线）于点M(1)如图1，求证：MN=(2)当AB=6，MN=5时，求(3)当∠MAN绕点A旋转到如图2位置时，线段BM、DN和MN【答案】(1)见解析(2)6(3)DN=【分析】（1）将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADM（2）利用全等得出S△AMN=S△（3）将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADM【详解】（1）解：如图，将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△则：△ABM∴AM=∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD∵∠MAN∴∠MAB∴∠M∴∠MAN又∵AM=∴△AMN∴MN=（2）解：∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB=6∵△∴MN∴S△∵△∴S△∴S△（3）解：DN=如图，将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADM则：∠MAM′∴AM=∵∠MAN∴∠M∴∠MAN又∵AM=∴△AMN∴MN=∴DN=【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质综合应用．熟练掌握旋转的性质，正方形的性质，利用旋转构造全等三角形是解题的关键．22．（10分）（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在△ABC中，点O在边BC上．(1)用直尺和圆规作△A′B′C′，使△A(2)若AB=AC=5，BC=6，则当BO的长为______时，（1）中的四边形AC【答案】(1)图见解析，平行四边形(2)11【分析】本题考查了中心对称图形、平行四边形的判定、矩形的判定、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）以O为对称中心画出对应的A'、B'、（2）过点A作AF⊥BC交BC于F点，设BO=x，根据勾股定理用两种方式表示AC【详解】（1）如图：四边形AC∵△A′B′C∴OA=OA'，∴四边形AC（2）如图，过点A作AF⊥BC交BC于F点，∵AB=AC=5，BC=6，∴△ABC为等腰三角形，∴CF=BF=1∴AF=A设BO=x，则CO=BC−BO=6−x，∴CC∵CF=3，∴C'在Rt△AFC'当四边形AC'A在Rt△CAC'∴42解得：x=11∴BO=116时，四边形故答案为：11623．（12分）在平面直角坐标系中，点A0,2，点B在x轴的负半轴上，∠OBA=30°．将△OAB绕点O顺时针旋转，得△OA′B′，点A,B

(1)如图①，当α=30°时，求OB′与AB的交点(2)如图②，连接A′B，当A′B′(3)设线段A′B的中点为M，连接B′【答案】(1)−(2)2(3)13【分析】（1）过点C作CD⊥x轴，利用∠OBA=30°，A0,2可得OB=AB2−OA2=23，利用α=30°和∠OBA=30°可得点D是OB的中点，从而得知点D（2）过点A′作A′E⊥x轴，垂足为E，推导∠A′OE=30°，从而得出（3）取线段OA′的中点N，连接MN、B′N，则ON=12O【详解】（1）解：如图，过点C作CD⊥x轴，垂足为D．

∵点A0,2∴OA=2．∵∠OBA=30°，∴AB=2OA=4．在Rt△OAB中，OB=∵∠BOB∴∠OBC=∠BOC．∴CB=CO．∴∠ACO=∠OBA+∠BOB′∴△ACO是等边三角形，CO=AO∵CB=CO，CD⊥x轴∴OD=BD=3∴CD=1∴点C的坐标为−3（2）解：如图，过点A′作A′E⊥x

由旋转得，OA∴∠OAA∴∠AOA∴∠A∴A′∴BE=OB+OE=33在Rt△A′（3）13解：取线段OA′的中点N，连接MN、B

∵点M是线段A′B的中点，点N是线段∴MN=由旋转的性质得：∠A′∴B∴B即13【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，中位线定理，勾股定理等知识，掌握旋转的性质和正确作出辅助线是解题的关键．24．（12分）综合与实践在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．其中老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干四边形纸片．(1)【操作判断】将四边形纸片ABCD与等腰直角三角尺DEF按如图1放置，三角尺DEF的边DE，DF分别与四边形ABCD的边AB，BC交于P，Q两点，经测量得∠ADC=∠BAD=∠BCD=90°，AD=CD．小明将△DQC