五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(北京专用)15：一次函数（教师版）

专题15一次函数考情概览考点1一次函数图象性质考点2一次函数求参数考点1一次函数图象性质1．（2022·北京·中考真题）下面的三个问题中都有两个变量：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x，其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【分析】由图象可知：当y最大时，x为0，当x最大时，y为零，即y随x的增大而减小，再结合题意即可判定．【详解】解：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y随行驶时间x的增大而减小，故①可以利用该图象表示；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，故②可以利用该图象表示；③设绳子的长为L，一边长x，则另一边长为，则矩形的面积为：，故③不可以利用该图象表示；故可以利用该图象表示的有：①②，故选：A．【点睛】本题考查了函数图象与函数的关系，采用数形结合的思想是解决本题的关键．考点2一次函数求参数2．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．(1)求k，b的值；(2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为，当时，则，当时，则，根据当时，两个不等式都成立可得；当，时，和恒成立；当时，则且，再分当时，则，当时，则，两种情况分别解不等式即可得到答案．【详解】（1）解：∵在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，∴，解得；（2）解：由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为，当时，则，当时，则，∵当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，∴，且，∴，当，时，和恒成立，故符合题意；当时，则且，当时，则，解不等式得，解不等式，∴；当时，则，解不等式得，解不等式得，此时不符合题意；综上所述，．3．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点.(1)求，的值；(2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行的条件，利用数形结合的思想是解决本题的关键．（1）将代入先求出k，再将和k的值代入即可求出b；（2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，画出临界状态图象分析即可．【详解】（1）解：由题意，将代入得：，解得：，将，，代入函数中，得：，解得：，∴；（2）解：∵，∴两个一次函数的解析式分别为，当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，即当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象为：由图象得：当直线与直线平行时符合题意或者当与x轴的夹角大于直线与直线平行时的夹角也符合题意，∴当直线与直线平行时，，∴当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方时，，∴m的取值范围为．4．（2023·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的线交于点C．(1)求该函数的解析式及点C的坐标；(2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，直接写出n的值．【答案】(1)，；(2)．【分析】（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C的纵坐标为4，代入函数解析式求出点C的横坐标即可；（2）根据函数图象得出当过点时满足题意，代入求出n的值即可．【详解】（1）解：把点，代入得：，解得：，∴该函数的解析式为，由题意知点C的纵坐标为4，当时，解得：，∴；（2）解：由（1）知：当时，，因为当时，函数的值大于函数的值且小于4，所以如图所示，当过点时满足题意，代入得：，解得：．

【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想是解题的关键．5．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，且与轴交于点．(1)求该函数的解析式及点的坐标；(2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当时，求出即可求解．（2）根据题意结合解出不等式即可求解．【详解】（1）解：将，代入函数解析式得，，解得，∴函数的解析式为：，当时，得，∴点A的坐标为．（2）由题意得，，即，又由，得，解得，∴的取值范围为．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式，熟练掌握待定系数法求函数解析式及函数的性质是解题的关键．6．（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位长度得到．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由图象的平移及题意可直接求得一次函数的解析式；（2）由题意可先假设函数与一次函数的交点横坐标为，则由（1）可得：，然后结合函数图象可进行求解．【详解】解：（1）由一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位长度得到可得：一次函数的解析式为；（2）由题意可先假设函数与一次函数的交点横坐标为，则由（1）可得：，解得：，函数图象如图所示：∴当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值时，根据一次函数的k表示直线的倾斜程度可得当时，符合题意，当时，则函数与一次函数的交点在第一象限，此时就不符合题意，综上所述：．【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．1．（2025·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．(1)求该函数的表达式；(2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值且大于0，直接写出n的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象及性质等．（1）将点和代入中即可得到本题答案；（2）画出符合题意的图象进行分析即可得到本题答案．【详解】（1）解：由题意得：将点和代入中得：，解得：，∴该函数解析式为：；（2）解：当时，代入得：，在平面直角坐标系中画出直线和满足条件的直线，如图：∵当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值，∴当过时满足题意，∴，，∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于0，∴当过时满足题意，∴，，综上：满足条件的n的取值范围为：．2．（2025·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，函数（）的图象由函数的图象平移得到，且经过点．(1)求k，b的值；(2)当时，对于x的每一个值，函数（）的值大于函数（）的值且小于的值，直接写出m的取值范围．【答案】(1)，；(2)．【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数图象与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．（1）依据题意，由函数的图象由函数的图象平移得到，从而，结合函数过，可得，进而计算可以得解；（2）依据题意，结合（1）可得为，当时，有函数，，，由当时，对于x的每一个值，函数（）的值大于函数（）的值且小于的值，可得，进而解不等式组即可解答．【详解】（1）解：∵函数的图象由函数的图象平移得到，∴将点、代入，得解得答：的值为1，的值为．（2）由（1）得，当时，，，，∵当时，对于x的每一个值，函数（）的值大于函数（）的值且小于的值，∴，解得．故答案为：．3．（2025·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．(1)求这个一次函数的解析式；(2)若函数与一次函数的图象的交点位于直线的右侧，直接写出m的取值范围．【答案】(1)(2)或或【分析】本题考查一次函数图象的平移，两条直线的交点问题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键：（1）平移，得到，待定系数法求出函数解析式即可；（2）令，求出交点横坐标，根据交点坐标在直线的右侧，列出不等式进行求解．【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到，∴，∴，把代入，得：，解得：，∴；（2）令，∴，∵图象有交点，∴，∴，∵函数与一次函数的图象的交点位于直线的右侧，∴，当，即：时，不等式恒成立；当，即：时，，解得：，又∵，∴m的取值范围为：或或．4．（2025·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点．(1)求，的值；(2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围．【答案】(1)(2)且【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行的条件，利用数形结合的思想是解决本题的关键．（1）将代入，先求出k，再将和k的值代入即可求出b；（2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线的上方，在的下方，画出临界状态图象分析即可．【详解】（1）解：函数与的图象交于点，∴，解得；（2）解：由（1）得：，，如图，记，当时，，即在的图象上，当过时，，要满足当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，即函数与的交点在点及点左侧，即，如图，当函数的图象平行函数的图象时，，此时满足：当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，综上：当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，的取值范围为：且．5．（2025·北京石景山·一模）在平面直角坐标系xOy中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．(1)求k，b的值；(2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出m的取值范围．【答案】(1)；(2)【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数图象与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．（1）依据题意，由函数的图象由函数的图象平移得到，从而，结合函数过，可得，进而计算可以得解；（2）依据题意，结合（1）可得为，为，然后在同一坐标系中画出，的图象，又当时，，则，且当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，进而可以判断得解．【详解】（1）解：由题意，函数的图象由函数的图象平移得到，．函数为．又函数过，．；（2）解：由题意，结合（1）可得为，为，在同一坐标系中画出，的图象如下．当时，，当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，那么，当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，则，结合图象可得，．6．（2025·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点．(1)求函数的解析式；(2)当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围．【答案】(1)；(2)且．【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析，平移的性质是关键．（1）根据平移得到，把点代入，运用待定系数法即可求解；（2）根据一次函数图象的性质求解即可．【详解】（1）解：函数的图象是由函数的图象平移得到，∴，∵函数经过点，∴，解得，，∴一次函数解析式为；（2）解：函数中，当时，，当时，，函数的图象如下，对于，当时，时，的值小于，对于，∵的值越大，越靠近轴，若的值大于，∴，∴，且，综上所述，，且．7．（2025·北京平谷·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点．(1)求一次函数的表达式；(2)当时，对于的每一个值，一次函数的值既大于函数的值又大于函数的值，直接写出的取值范围．【答案】(1)；(2)．【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法和数形结合是解题的关键．（）先求出，再把点代入求出的值，进而可得出答案；（）画出图象，然后根据图象即可求解；【详解】（1）解：∵一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，∴，∴一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，∴，∴，∴一次函数的表达式为；（2）解：如图，当时，对于的每一个值，一次函数的值既大于函数即的值，又大于函数的值，∴．8．（2025·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过和两点，与轴交于点．

(1)求这个一次函数的表达式及点的坐标；(2)当时，对于的每一个值．一次函数的值小于一次函数的值且大于1，直接写出的取值范围．【答案】(1)，点的坐标为(2)【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解决问题的关键．也考查了一次函数的性质．（1）先利用待定系数法求出函数解析式为，然后计算自变量为0时对应的函数值得到点坐标；（2）在同一坐标系中，作出和的图象，根据图象即可得到答案．【详解】（1）解：一次函数的图象经过和两点，，解得，该一次函数的表达式为，令，得，；（2）解：在同一坐标系中，作出和的图象如下；

结合图象可得，∵当时，对于的每一个值．一次函数的值小于一次函数的值且大于1，∴．9．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图象由函数的图象平移得到且与的图象交于点．(1)求的值；(2)当时，对于的每一个值，函数（）的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围．【答案】(1)，，(2)【分析】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，直线平移的性质，一次函数图象的性质等，解题的关键是熟练掌握一次函数图象的性质．（1）利用待定系数法和平移的性质即可求得结果；（2）根据一次函数图象的性质即可得出结果．【详解】（1）解：将代入得，，解得；∵一次函数的图象由函数的图象平移得到，，，将代入得，解得；（2）解：由（1）得的解析式为，的解析式为，如图所示，当时，对于的每一个值，函数（）的值既大于函数的值，也大于函数的值，则．10．（2025·北京房山·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的直线交于点C．(1)求该函数的解析式及点C的坐标．(2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于5，直接写出n的值．【答案】(1)；点C的坐标为(2)【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式等知识，注意数形结合思想的应用．（1）利用待定系数法即可求得一次函数解析式，再求出点函数值为5时的自变量值，即可得点C的坐标；（2）把点C的坐标代入中，求得n的值．【详解】（1）解：把A、B两点坐标代入中，得：，解得：，即函数解析式为；由于与过点且平行于x轴的直线交于点C，则，解得：，即点C的坐标为；（2）解：把点C的坐标代入中，即，∴，如图所示，当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于5．11．（2025·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移2个单位得到的直线经过点．(1)求k与b的值；(2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，熟知一次函数的性质是解题的关键．（1）先根据直线向上平移2个单位得出，再将点代入，求出的值即可；（2）根据点结合一次函数的性质即可求得．【详解】（1）解：∵将函数的图象向上平移2个单位得到的直线，∴，∵一次函数的图象经过点，∴，∴．（2）解：把代入，得，把点代入，得．∵当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，∴的取值范围是．12．（2025·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点．(1)求的值；(2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出的取值范围．【答案】(1),(2)【分析】本题主要考查一次函数图形的性质，掌握待定系数法，图象法确定不等式的解集是关键．（1）运用待定系数法即可求解；（2）根据（1）得到函数解析式，结合图形即可得到取值范围．【详解】（1）解：∵函数与的图象交于点，∴，解得，，∴，解得，；（2）解：由（1）可得，，，∴当时，对于函数，则，对于函数，则，∴当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，如图所示，∴，∴的取值范围为．13．（2025·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，．(1)求该一次函数的表达式；(2)当时，对于的每一个值，函数的值大于且小于一次函数的值，直接写出的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能结合函数图象进行分析是关键．（1）利用待定系数法求解即可；（2）依据题意，在同一坐标系中画出直线，，又当时，，故；当时，，可得令，故，结合结合题意，即可判断得解．【详解】（1）解：把点，代入中，得，解得，∴一次函数的表达式为；（2）解：由题意，在同一坐标系中画出直线，如下．由题意，当时，，则，故．又∵当时，，∴令，则，故．∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于且小于一次函数的值，∴．14．（2025·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，函数和函数的图象相交于点．(1)当时，求点的坐标；(2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值，直接写出的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查一次函数的性质以及函数图象交点问题．解题关键在于理解函数图象交点坐标是联立函数方程的解，对于比较函数值大小的问题，要结合函数图象的位置关系，通过分析交点以及函数斜率等性质来确定参数的取值范围．（1）由，此得和．可联立这两个函数方程求解．（2）当时，的值都大于的值，意味着在时，直线在直线的上方．我们可以先考虑特殊情况，即两直线交点的横坐标为时的情况，再结合函数的性质来确定的取值范围．【详解】（1）解：当时，函数，．联立方程组，解得，∴点的坐标为．（2）解：联立，∴，解得（）．当时，的值都大于的值，且当时，若两函数值相等，则，解得．又∵当时，在的下方，∴要大于等于，∴．15．（2025·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象过点和点．(1)求k，b的值；(2)当时，对于x的每一个值，函数的值都小于的值且大于，求n的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与不等式组之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．（1）利用待定系数法求解即可；（2）根据解析式可判断出在中，y随x增大而减小，那么当时，函数的最小值一定要大于，据此可得不等式；求出不等式的解集，根据题意可得是的解集或解集的一部分，据此求解即可．【详解】（1）解：把和代入到中得，解得；（2）解：由（1）得函数的解析式为∵在中，，∴在中，y随x增大而减小，∵当时，对于x的每一个值，函数的值都大于，∴当时，，∴；当时，解得，∵当时，对于x的每一个值，函数的值都小于的值，∴，∴，综上所述，．16．（2025·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上．(1)求的值；(2)当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值，直接写出的最小值和的取值范围．【答案】(1)(2)的最小值是；【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．（1）将点代入一次函数解析式即可解决问题．（2）求得时，，代入求得，求得时，，把代入，求得，然后根据图象即可求得．【详解】（1）解：将点代入，得，；（2）解：如图，当时，，把代入，求得，当时，，把代入，求得，∵当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值，∴的最小值为的取值范围是．17．（2025·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象与函数的图象交于点．(1)求的值；(2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，直接写出的取值范围．【答案】(1)，(2)【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，两条直线相交或平行问题，采用数形结合思想是解题的关键．（1）运用待定系数法的方法即可求解；（2）求出直线经过点时的值，再根据图象即可求解．【详解】（1）解：由题意得，将代入，则，解得：，再将代入，则，解得：；（2）解：由（1）得，可得，当，∴，当直线经过时，，解得：；当直线经过时，，解得：，∴当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，由图象可得：．18．（2025·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且垂直于轴的直线交于点．(1)求该函数的解析式及点的坐标；(2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于3，直接写出的值．【答案】(1)函数的解析式为，(2)1【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征．（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点的纵坐标为3，代入函数解析式求出点的横坐标即可；（2）根据函数图象得出当过点时满足题意，代入求出n的值即可．【详解】（1）解：把点和代入