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文档简介
一、填空题（每题3分，共30分）1.(A)；2.(C)；3.(C)；4.(C)；5.收敛的充要条件是,对任意，存在，当时，.6.称是集合的聚点，如果对任意，都至少存在一个，使得；7.；8.；9.；10.二、计算题（每小题6分，共36分）11．设，，求．解．（2分）由归纳法又可证得．从而收敛．（4分）不妨记，则有，．因此.（6分）12．计算.解时，～，有.（4分）因此,.（6分）13．计算.解（2分）（4分）（6分）14．设是常数，，给出可导的条件，并求导函数。解令,则当时.注意到,有.（2分）当时,,不存在;（4分）当时,,存在且.（6分）15．设，求.解,;（2分）.（6分）16．设，求.解,.（3分）.（6分）三、证明题（每小题6分，共24分）17．设在上二阶可导，，并且存在一点使得，证明：至少存在一点，使得。证由Lagrange中值定理可知，，从而，，进一步得到，（3分）由Lagrange中值定理可知，存在一点，使得，因此，.（6分）18．证明恒等式,.证设.（2分）注意,在内有,所以.（4分）又,因此,即,.（6分）19．设在有界区间上一致连续，证明在此区间上也一致连续。证和都在区间上一致连续，因此，和都在区间上有界，从而存在，使得对任意的有，。（2分）由一致连续的定义，对任意的，存在，使得对任意的，当时，就有，。进一步得到因此，在此区间上也一致连.（6分）20．叙述并证明一致连续性定理（康托定理）.一致连续性定理设函数在区间上连续，则一致连续。（2分）证反设不一致连续，则存在及上的，，满足但由致密性定理，有收敛子列，设。（4分）再由知但由的连续性，有.矛盾！从而，在区间上一致连续。（6分）四、综合题（共10分）21.考察函数的各种性质，并据此作出函数的图象。解因为，（2分）所以有+无定义－++++无定义+++－凸无定义凸极小值0凸拐点凹（6分），所以有水平渐近线：，垂直渐近线：
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