山西省晋城市2026届高三下学期第一次模拟考试数学试卷（含解析）

高三数学试题一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．已知等差数列的公差为，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．43．已知五个数的平均数为50，则这五个数的中位数为（

）A．45 B．47.5 C．50 D．52.54．已知均为单位向量，且满足，则（

）A．1 B． C． D．25．已知函数的图象关于直线对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．6．已知某圆台的上底面面积为，下底面面积为，轴截面的面积为48，则该圆台的体积为（

）A． B． C． D．7．的展开式中的系数为（

）A． B． C．20 D．248．已知函数，若当且仅当时成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知复数在复平面内对应的点分别为和，则（

）A．B．的虚部为1C．存在，使得D．在复平面内对应的点不可能在第四象限10．记为数列的前项和，已知（为常数），且，则下列说法正确的是（

）A．B．是等比数列C．设，则D．设，则11．记双曲线的左、右焦点分别为，右顶点为，以为圆心，为半径的圆与的右支交于两点，则下列说法正确的是（

）A．若原点在圆上，则B．若原点在圆上，则C．若的左顶点在圆上，则D．若的左顶点在圆上，则三、填空题12．已知函数的定义域为，且，则__________．13．若，则__________．14．过直线上一动点（点不在轴上）作抛物线的两条切线，两条切线与轴分别交于点，则的外接圆面积的最小值为__________．四、解答题15．在中，．(1)求；(2)若，求的面积．16．如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面平面，为的中点．(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．17．已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过点的动直线与交于另一点，过点且与AB平行的直线与交于两点，直线AB与PQ不重合．(1)当点在直线AB上时，求；(2)记AB的中点为的中点为，坐标原点为，证明：三点共线．18．甲、乙、丙三名同学进行传球游戏，有1个红球和1个绿球，每一轮中，持有球的人都将手中的球传出，若某人持有1个球，就将此球等可能地传给另外两人中的一人，若某人持有2个球，就在这一轮中将2个球分别传出，每个球都等可能地传给另外两人中的一人，2个球的去向互不影响，每个球一轮中只传递一次．游戏开始时，2个球都在甲手中．(1)求2轮后2个球恰好都回到甲手中的概率；(2)设轮后红球在甲手中的概率为，求；(3)设轮后甲手中球的个数为的期望为，求．19．已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若当时，，求的取值范围；(3)若存在两个不同的正数，使得，且，求的取值范围．参考答案1．A【详解】由即，得，所以，故.2．B【详解】由，得，得，故．3．C【详解】由题意知，得，若，则这五个数为45，50，50，50，55，中位数为50．若，不妨设，则，又，所以这五个数的中位数仍是50．4．B【详解】由题意知，解得，于是．5．A【详解】由题意得，所以，又，所以的最小值为．6．D【详解】记圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，则，可得，而，解得，故圆台的体积．7．D【详解】展开式中的系数分别为，而展开式中的系数分别为，所以原展开式中的系数为．8．C【详解】显然，可得，于是．令，可得或；当时，，，单调递增，当且仅当，此时符合要求；当时，若或，则，若，则；此时在上单调递增，在上单调递减，根据题意知，得，此时，满足条件，可得；当时，若或，则，若，则；在上单调递增，在上单调递减，则需，即，得．可得；综上，的取值范围是．9．AD【详解】由题设.对于A，显然，于是，故A正确；对于，其虚部为，故B错误；对于C，，故C错误；对于，若其在复平面内对应的点在第四象限，则,不等式组无解，故D正确．10．BCD【详解】对于A，当时，，于是，故A错误；对于B,，两式相减得，可知是首项为2，公比为2的等比数列，故B正确；对于C，因为，所以，故C正确；对于D，令，则在上恒成立，因此在上单调递增，所以，即可得当时，，于是，故，故D正确．11．ABD【详解】对于A，记的半焦距为，若原点在圆上，则，由对称性，不妨设在第一象限，在第四象限，则，而，同理，而，所以，而，所以，于是，而，于是，可得，故A正确；对于B，此时圆，而，联立得可得，由，得，而，故，故B正确；对于C、D，，圆，联立得消元后可得，可得，所以，又，所以由余弦定理得，故C错误，D正确．12．/【详解】令，得，令，得，所以，于是．13．3【详解】．14．【详解】的焦点为，抛物线方程可改写为，则，设两条切线分别为，切点分别为，如下图：则，令，可得．联立的方程，可得，所以，则，所以，同理，则的外接圆以为直径，又，所以外接圆面积的最小值为．15．(1)(2)【详解】（1）（1）由，得，此时，可得，于是．（2）由，得，在中由正弦定理得，可得，故的面积．16．(1)证明见解析(2)【详解】（1）取的中点为，连接．因为四边形是菱形，所以，因为分别是的中点，所以，所以．由，得，而平面平面，平面平面平面，故平面,又平面，所以．又，平面，所以平面．而平面，故．（2）由题知为正三角形，而，故，以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图：则，于是．设平面的法向量为，则即，可取．设直线与平面所成的角为，则．17．(1)(2)证明见解析【详解】（1）由题意知．设．当点在直线AB上时，可知直线AB的斜率为1，所以．联立得可得，不妨设，解得，于是．（2）易知直线PQ的斜率不为0，故设，如下图：联立可得，则，于是．由，联立可得，设，则，于是．因为，所以M，O，N三点共线．18．(1)(2)(3)【详解】（1）2轮传球后，红球回到甲手中的概率为，由题意知，红球与绿球的传递相互独立，所以2轮传球后，绿球在甲手中的概率也是．所以2轮传球后2个球恰好都回到甲手中的概率为．（2）考虑红球在第轮到第轮的位置变化：若第轮后红球在甲手中，则第轮后红球一定不在甲手中，若第轮后红球不在甲手中，无论球在乙和丙谁的手中，传回甲的概率均为，所以．整理得，又，所以，即（或写成）；（3）因为红球与绿球的传递相互独立，所以服从二项分布，所以．可得.19．(1)(2)(3)【详解】（1）当时，，所以，又，所以所求的切线方程为（2）由题意，当时，，即．设函数，则，令，解得，当时，单调递减，当时，单调递增．所以当时，取得最小值，，所以，即的取值范围是．（3）方法一：依题意，因为，所以，整理可得，即，所以；即函数的图象与直线至少有两个交点．，设函数，则，易知在区间上单调递减，在区间上单调递增，且，若，则单调递减，至多有1个零点，不符合题意；若，即，则函数存在两个零点，记为，且，其中，所以在区间和上单调递减，在区间上单调递增，所以的极小值为，极大值为．再比较与的大小：．设，则，所以单调递