2024-2025学年广东广州实验外语学校高一下学期第一次月考数学试题含答案

高中高一年级下学期第一次月考数学试卷一、单选题（40分，每题5分）1.已知向量，若，则实数（）A. B.3 C.4 D.72.在中，，，则的值为（）A.2 B.3 C.4 D.53.已知，，，若，，三点共线，则（）A. B. C. D.24.已知等边三角形的边长是，、分别是、的中点，则（）A. B. C. D.5.已知向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为（）A. B. C. D.6.互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，过点作两坐标轴的平行线，其在轴和轴上的截距分别作为点的坐标和坐标，记.若斜坐标系中，轴正方向和轴正方向的夹角为，则该坐标系中和两点间的距离为（）AB.C.D.7.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，则（）A. B. C. D.8.如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点．若，则实数的值为（）A. B. C. D.2二、多选题（18分，每题6分，多选错选不得分，选对部分得部分分）9.已知向量，，满足，，，则（）A.B.当时，C.当时，D.在上的投影向量的坐标为10.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为60米，转盘直径为50米，设置有24个座舱，摩天轮开启前，距地面最近的点为0号座舱，距地面最远的座舱为12号，座舱逆时针排列且均匀分布，游客甲坐2号舱位，乙坐6号舱位，开启后按逆时针方向匀速旋转，开启后的第8分钟这一时刻，游客甲和乙首次距离地面高度相同，游客甲在摩天轮转动过程中距离地面的高度为米，下列说法正确的是（）A.关于的函数解析式为B.开启后第20分钟这一时刻游客甲和乙第二次距离地面高度相同C开启后第10分钟游客乙距离地面47.5米D.开启后第10分钟至第18分钟游客甲和乙运动方向相同（上升或下降）11.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.的图象关于点对称B.的图象关于直线对称C.将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象D.若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是三、填空题（每题5分，共15分）12.已知是第一象限角，且，则__________.13.关于平面向量有下列四个命题：①若，则；②已知，.若，则.③非零向量和，满足，则与的夹角为30°.④.其中正确的命题为______.14.若平面向量，，满足，，，，则的最小值为______．四、解答题（77分）15.已知向量，.（1）若，求；（2）若向量，，求与夹角的余弦值.16.如图，在平行四边形中，，，，，分别为，上的点，且，．（1）若，求，的值；（2）求值；（3）求．17.已知中，，，且．（1）求的值；（2）求的长度．18.如图，某公园有一块扇形人工湖OMN，其中圆心角，半径为1千米，为了增加观赏性，公园在人工湖中划分出一片荷花池，荷花池的形状为矩形(四个顶点都落在扇形边界上)；再建造一个观景台，形状为，记（1）当角取何值时，荷花池的面积最大？并求出最大面积.（2）若在OA的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元不计桥的宽度；且建造观景台的费用为每平方千米16万元，求建造总费用的范围.19.设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：试求解下列问题：（1）已知向量满足，，，求的值；（2）①若，，用坐标，，，表示；②在平面直角坐标系中，已知点，，，求值；（3）已知向量，，，求的最小值.

高一年级下学期第一次月考数学试卷一、单选题（40分，每题5分）1.已知向量，若，则实数（）A. B.3 C.4 D.7【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算可得结果.【详解】∵，∴，∵，∴，解得.故选：D.2.在中，，，则的值为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理建立一元二次方程进行求解即可．【详解】解：中，，，即，化简得，解得或（不合题意，舍去），，故选：B．3.已知，，，若，，三点共线，则（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】利用向量坐标运算求得，然后利用共线的坐标形式列式得，即可得解.详解】根据题意，，则，若三点共线，则，则有，变形可得.故选：A4.已知等边三角形的边长是，、分别是、的中点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将向量、用基底表示，然后利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.【详解】如下图所示：因为等边三角形的边长是，、分别是、的中点，则，由得，可得，由平面向量数量积的定义可得，因此，.故选：B.5.已知向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据投影向量的计算公式求出的值，再计算，最后根据向量垂直的判定条件判断与的夹角.【详解】根据向量在上的投影向量为，已知在上的投影向量为，所以.先计算，根据向量数量积的坐标运算公式，可得.再计算，根据向量模长公式：可得，那么.所以.

所以.

得，所以与的夹角为.

故选：C.6.互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，过点作两坐标轴的平行线，其在轴和轴上的截距分别作为点的坐标和坐标，记.若斜坐标系中，轴正方向和轴正方向的夹角为，则该坐标系中和两点间的距离为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】建立直角坐标系，求出直角坐标，即可得解.【详解】以O为坐标原点,原x轴正方向为x轴，垂直于x轴的方向为y轴建立平面直角坐标系，则在直角坐标系下，，,则.故选：A7.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算列式，再借助方程思想求解作答.【详解】依题意，，于是，所以.故选：A8.如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点．若，则实数的值为（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】分析】由共线、共线分别可得、，进而得、求参数，得，最后由且共线求参数.【详解】由共线，则，，所以①，由共线，则，，所以②，由①②知：，则，故，由，则，由共线，则，可得.故选：A【点睛】关键点点睛：令、，利用不同参数及表示出为关键.二、多选题（18分，每题6分，多选错选不得分，选对部分得部分分）9.已知向量，，满足，，，则（）A.B.当时，C.当时，D.在上的投影向量的坐标为【答案】BCD【解析】【分析】根据已知及向量线性关系的坐标运算、垂直和平行的坐标表示、投影向量的定义依次判断各项的正误.【详解】A，，，，所以，错误；B，，，当时，，即，正确；C，，由可得，即，正确；D，在的投影向量为，正确.故选：BCD10.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为60米，转盘直径为50米，设置有24个座舱，摩天轮开启前，距地面最近的点为0号座舱，距地面最远的座舱为12号，座舱逆时针排列且均匀分布，游客甲坐2号舱位，乙坐6号舱位，开启后按逆时针方向匀速旋转，开启后的第8分钟这一时刻，游客甲和乙首次距离地面高度相同，游客甲在摩天轮转动过程中距离地面的高度为米，下列说法正确的是（）A.关于的函数解析式为B.开启后第20分钟这一时刻游客甲和乙第二次距离地面高度相同C.开启后第10分钟游客乙距离地面47.5米D.开启后第10分钟至第18分钟游客甲和乙运动方向相同（上升或下降）【答案】BCD【解析】【分析】根据题意建立三角函数模型，然后结合三角函数的图象与性质判断选项即可.【详解】设游客甲距离地面的高度与时间的函数为，由题意，，所以，由开启后的第8分钟这一时刻游客甲和乙首次距离地面高度相同知，摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的速度约为，故，则，又当时，游客甲的位置达到摩天轮最高点，所以，即，所以，所以，不妨取，则，故，A错误；由于摩天轮速旋一周需24分钟，故第二次游客甲和乙第二次距离地面高度相同时，需经历分钟，B正确；根据题意游客乙在摩天轮转动过程中距离地面的高度函数为：，则开启后第10分钟游客乙距离地面高度为米，C正确；对于函数，令得，所以函数的单调递减区间为，当时，函数的单调递减区间为，所以开启后第10分钟至第18分钟游客甲下降，对于函数，令得，所以函数的单调递减区间为，当时，函数的单调递减区间为，所以开启后第10分钟至第18分钟游客乙也在下降，即开启后第10分钟至第18分钟游客甲和乙运动方向相同，D正确.故选：BCD11.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.的图象关于点对称B.的图象关于直线对称C.将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象D.若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是【答案】ABD【解析】【分析】根据图象求得，对于A、B，代入验证即可；对于C，利用平移左加右减的规律即可求得平移后的函数，化简进行比较；对于D，先判断出单调性，求出最值，进而求解.【详解】由题图可得，，故，所以，又，即，所以，，又，所以，所以．对于A：当时，，故A正确；对于B：当时，为最小值，故的图象关于直线对称，故B正确；对于C：将函数的图象向左平移个单位长度得到函数：的图象，故C错误；对于D：当时，，则当，即时，单调递减；当，即时，单调递增，因为，，，所以方程在上有两个不相等的实数根时，的取值范围是，故D正确．故选：ABD三、填空题（每题5分，共15分）12.已知是第一象限角，且，则__________.【答案】【解析】【分析】利用诱导公式和同角三角函数关系求解即可.【详解】由题意可得，即，因为是第一象限角，所以，，，所以，，所以，故答案为：13.关于平面向量有下列四个命题：①若，则；②已知，.若，则.③非零向量和，满足，则与的夹角为30°.④.其中正确的命题为______.【答案】②③④【解析】【分析】举特例说明①是错误的；根据向量平行的结论求判断②的真假；结合向量加减法的几何运算，判断③的真假；利用平面向量数量积的运算性质判断④的真假.【详解】①当时，由不能得出，①错误；②，则，，②正确；③如图，设，，则，，由已知，则是等边三角形，四边形是菱形，且，所以与的夹角为，③正确；④，④正确.故答案为：②③④14.若平面向量，，满足，，，，则的最小值为______．【答案】2【解析】【分析】在平面直角坐标系内，令，再设出，的坐标，利用给定的数量积、结合坐标运算、均值不等式求解作答.【详解】在平面直角坐标系内，令，设，由，得，由，得，由，得，即，，则，当且仅当或时取等号，所以的最小值为2.故答案为：2四、解答题（77分）15.已知向量，.（1）若，求；（2）若向量，，求与夹角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据求得，从而可得，于是；（2）由，可得，再由夹角公式计算即可.【小问1详解】因为，，所以，.由，可得，即，解得，所以，故.【小问2详解】因为向量，，所以，所以.则，，所以，所以与夹角的余弦值为.16.如图，在平行四边形中，，，，，分别为，上的点，且，．（1）若，求，的值；（2）求的值；（3）求．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由向量的运算法则求解（2）分解后由数量积的运算求解（3）由数量积的定义求夹角【小问1详解】，故【小问2详解】【小问3详解】，17.已知在中，，，且．（1）求的值；（2）求的长度．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角的余弦公式可求出的值，利用同角三角函数的基本关系可求出、的值，再利用结合两角和的余弦公式可求得的值；（2）利用平面向量数量的定义结合可求出、的长，再利用余弦定理可求得的长度.【小问1详解】因为，所以，所以，，所以．【小问2详解】因为，又因为，所以，所以，．由余弦定理可得．18.如图，某公园有一块扇形人工湖OMN，其中圆心角，半径为1千米，为了增加观赏性，公园在人工湖中划分出一片荷花池，荷花池的形状为矩形(四个顶点都落在扇形边界上)；再建造一个观景台，形状为，记（1）当角取何值时，荷花池的面积最大？并求出最大面积.（2）若在OA的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元不计桥的宽度；且建造观景台的费用为每平方千米16万元，求建造总费用的范围.【答案】（1），最