初中数学九年级下册《锐角三角函数》第二课时：余弦与正切教案

初中数学九年级下册《锐角三角函数》第二课时：余弦与正切教案

一、设计理念与整体架构

（一）指导思想：基于核心素养的深度学习

本设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为根本遵循，立足于发展学生的数学核心素养。教学指向不仅在于知识技能的掌握，更在于数学思想方法的渗透、数学思维品质的提升以及数学应用意识的培养。三角函数的概念建构是学生从静态几何度量向动态函数关系过渡的关键节点，也是连接几何与代数的核心纽带。本课时作为“锐角三角函数”单元的承上启下环节，将摒弃传统的、孤立的定义记忆模式，转而采用大单元、结构化的教学设计思路。

本课时将在第一课时“正弦”概念的基础上，引导学生通过类比迁移、自主探究的方式，自然生成余弦和正切的概念。教学过程将模拟数学家发现问题、定义概念、建立模型的思维历程，强调知识的整体性和关联性。通过创设具有现实意义和思维挑战性的问题情境，引导学生在“做数学”中实现深度学习，培养其抽象能力、推理能力、模型观念和应用意识。

（二）单元整体分析

1.单元知识结构图

锐角三角函数（核心概念）

├──正弦(sinA)：对边/斜边（已学，认知锚点）

├──余弦(cosA)：邻边/斜边（本课重点）

└──正切(tanA)：对边/邻边（本课重点）

├──三边关系：sin²A+cos²A=1，tanA=sinA/cosA（函数间内在联系）

└──特殊角三角函数值（30°,45°,60°）（后续应用基础）

└──解直角三角形（核心应用）

└──实际问题建模（测量、工程、物理等）（终极目标）

2.本课时地位与作用

本课时是概念生成与巩固的关键期。学生在第一课时已借助直角三角形，从“直角边与斜边的比值”这一特定角度定义了角的正弦，初步体会了“角度确定，比值唯一”的函数思想。本课时将这一思想方法进行横向扩展，探索另外两条直角边与斜边、两条直角边之间的比值关系，从而完成锐角三角函数家族（正弦、余弦、正切）的概念建构。这一过程不仅是知识的扩充，更是研究视角的丰富和函数思想的深化，为后续探索同角三角函数关系、学习解直角三角形奠定坚实的理论基础。

（三）学情深度分析

九年级下学期的学生，其逻辑思维正从经验型向理论型转变，具备一定的自主探究与合作学习能力。

认知基础：

1.知识层面：熟练掌握直角三角形各边名称（斜边、对边、邻边），牢固掌握勾股定理，已初步建立正弦概念，理解“角度固定，比值唯一”的规律。

2.能力层面：具备一定的观察、归纳、类比能力，能够进行简单的推理和计算。

3.经验层面：在物理学科中已接触过力的分解、斜面等问题，对边角关系有直观感知。

认知障碍与教学突破点预判：

1.概念混淆点：锐角三角函数是对“比值”下定义，而非对“边”下定义。学生易将“余弦”误解为“余角的弦”，或将三个函数值理解为三角形的边长。教学将通过语言辨析、几何画板动态演示，强化“比值”属性。

2.思维定势点：受正弦定义“对边/斜边”模式影响，学生可能难以自发提出“邻边/斜边”和“对边/邻边”的探究方向。教学将设计开放性引导问题：“除了我们已经研究的这对边（对边与斜边），直角三角形中还有哪些边之间可能存在固定的比值关系？”

3.符号抽象点：“cos”、“tan”作为新的数学符号，其抽象性可能带来记忆困难。教学将结合历史渊源（如“正”与“余”的互补含义，“切”的几何意义），并设计口诀、图形联想等策略，促进符号的意义识记。

前测设计（课前5分钟）：

请根据右图直角三角形ABC（∠C=90°），完成下表（已知∠A=30°，BC=1，AB=2，则AC=√3）：

角A

对边

邻边

斜边

sinA=?

30°

BC=1

AC=√3

AB=2

1/2

问题：改变∠A的大小（如变为45°），sinA的值会变吗？这说明sinA的值由谁决定？

通过前测，既能复习旧知，又能诊断学生对函数思想本质（比值依赖于角度）的理解程度。

二、教学目标

基于核心素养导向，设定以下三维融合的教学目标：

（一）知识与技能

1.理解余弦（cosA）和正切（tanA）的概念，能准确识别直角三角形中锐角的对边、邻边与斜边。

2.能正确书写和表达锐角A的余弦、正切，并会根据直角三角形的边长计算一个锐角的余弦值和正切值。

3.初步感知当锐角A固定时，它的余弦值和正切值也是固定值，与三角形的大小无关。

（二）过程与方法

1.经历从特殊到一般、从具体到抽象的探究过程，通过类比正弦的研究路径，自主或合作发现余弦、正切的存在，体会数学研究方法的可迁移性。

2.在动态几何软件的辅助下，通过观察、测量、计算、猜想、验证等活动，深刻理解“角度确定，比值确定”的函数思想，发展几何直观和数据分析观念。

3.在解决实际背景问题的过程中，初步学习建立直角三角形模型，并选择恰当的三角函数解决问题，发展模型观念和应用意识。

（三）情感态度与价值观

1.在探究活动中获得成功的体验，增强学习数学的自信心和好奇心。

2.感受三角函数源于测量实践的需要，体会数学的实用价值和文化价值，增强民族自豪感（可结合古代测量技术）。

3.养成严谨、周密的数学思维习惯和合作交流的学习态度。

三、教学重难点

1.教学重点：余弦（cosA）和正切（tanA）概念的建构过程及其数学内涵的理解。

2.教学难点：理解锐角三角函数是刻画角度与边长比值之间函数关系的工具；正切概念中“对边/邻边”比值意义的几何解释。

四、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（内含几何画板动态演示文件）、实物投影仪、三角板、设计并打印的探究学习单。

2.学生准备：复习正弦定义，直尺，量角器，计算器，预习课本相关内容。

3.教学环境：具备小组合作条件的教室，建议4-6人一组。

五、教学过程实施

第一环节：情境再现，温故引新（预计时间：8分钟）

1.问题驱动，激活旧知

1.情境呈现：展示一幅“山坡改造为阶梯农田”的剖面示意图，已知原山坡的倾斜角为30°，需要在坡脚下修建一条垂直于水平线的引水渠。提出问题：“为了计算工程土方量，我们需要知道哪些数据？”（引导学生回顾：在直角三角形模型中，已知一锐角和斜边，可用正弦求对边高；已知一锐角和邻边，可用……？此处故意停顿，制造认知冲突，引出需要新的工具。）

2.快速回顾：利用一个标准的Rt△ABC（∠C=90°），通过提问集体回顾：

1.3.锐角A的正弦是如何定义的？（sinA=∠A的对边/斜边=BC/AB）

2.4.这个比值的大小由谁决定？（由∠A的大小决定）

3.5.这反映了什么数学本质？（对于每一个确定的锐角A，都有一个唯一的比值sinA与之对应，这是一种函数关系。）

2.提出猜想，明确方向

1.引导性提问：“在直角三角形中，除了‘对边与斜边的比值’随着角度的变化而变化，还有没有其他两边的比值也具有这样的特性呢？”

2.学生活动：学生独立思考片刻后，进行小组内简短交流。教师巡视，捕捉学生的想法。预期学生可能提出：

1.3.邻边/斜边？

2.4.对边/邻边？

3.5.斜边/对边？（教师需引导：比值研究通常以最长边或相对固定的边为分母更简便）

6.教师提炼：“大家的猜想很有价值。数学家们也正是沿着这样的思路，定义了更多的三角函数来更全面地描述直角三角形的边角关系。今天，我们就一起来探究另外两个重要的成员——余弦和正切。”

【设计意图】从真实情境中的“需求不足”引出新知学习的必要性，激发内在动机。通过回顾正弦的定义及其函数本质，不仅巩固了旧知，更重要的是为余弦、正切的探究提供了清晰的方法范式（研究“两边的比值”与“角度”的关系），使本课时的学习成为有方法的迁移、有根基的生长。

第二环节：合作探究，建构概念（预计时间：20分钟）

这是本节课的核心环节，采用“引导探究式”教学，分两个层次展开。

层次一：探究“邻边/斜边”的规律——建构余弦概念

1.任务发布（探究学习单任务一）：

1.2.请每个小组在坐标纸上作出一个∠A=30°的直角三角形（大小自定）。

2.3.测量或计算∠A的邻边(AC)与斜边(AB)的长度，计算比值AC/AB。

3.4.不同小组对比你们的比值结果，有什么发现？

4.5.改变∠A的大小（如分别取45°、60°），重复以上步骤，你又能发现什么规律？

6.学生活动与教师指导：

1.7.学生动手操作、测量、计算、记录。教师巡视，重点关注学生是否准确识别“邻边”，对于测量误差导致的比值微小差异，引导学生思考原因，并强调数学的精确性。

2.8.小组讨论，形成初步结论：“对于同一个锐角，无论直角三角形画得多大，邻边与斜边的比值好像是一样的。”“角度改变，这个比值也跟着改变。”

9.技术验证，形成猜想：

1.10.教师利用几何画板进行动态演示。构造一个∠A可变的直角三角形，动态显示AC/AB的值。拖动顶点改变∠A的大小，观察比值的变化；固定∠A，拖动点改变三角形的大小，观察比值不变。

2.11.师生共识：在一个直角三角形中，当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比值是一个确定的值；当∠A的大小改变时，这个比值也随之改变。即，这个比值是锐角A的函数。

12.定义生成与符号引入：

1.13.“像这样，在Rt△ABC中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA。”

2.14.板书定义：cosA=∠A的邻边/斜边=AC/AB。

3.15.文化渗透：简单介绍“余弦”一词的来历：“余”指“余角”，即∠A的余弦，等于它的余角（∠B）的正弦。这体现了三角函数之间的内在和谐之美。

层次二：探究“对边/邻边”的规律——建构正切概念

1.方法迁移，自主探究（探究学习单任务二）：

1.2.“请同学们类比研究正弦和余弦的方法，自主探究‘∠A的对边与邻边的比值’是否也具有类似的规律？”

2.3.学生可选择使用几何画板（如果条件允许）或继续使用坐标纸作图、测量、计算，探究BC/AC的规律。

4.学生汇报与概念定义：

1.5.学生汇报探究结果，得出结论：该比值也由∠A唯一确定。

2.6.教师给出定义：在Rt△ABC中，把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA。

3.7.板书定义：tanA=∠A的对边/邻边=BC/AC。

4.8.几何意义阐释（突破难点）：展示一个倾斜角为∠A的斜坡，解释tanA=高度/水平距离，这个比值在工程上称为“坡度”或“坡比”，它直观地反映了斜坡的倾斜程度。正切值越大，斜坡越陡。将抽象的比值与直观的“陡缓”感受联系起来。

9.概念辨析与整体建构：

1.10.将sinA，cosA，tanA的定义并列呈现。

2.11.组织辨析讨论：

1.3.12.这三个函数有什么共同点？（都是比值；比值大小都由锐角A决定。）

2.4.13.它们的不同点是什么？（选取的边不同，描述的边角关系侧重点不同。）

3.5.14.如何快速记忆？（口诀：“正对余邻，弦是斜边，切是邻边。”即：正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边。）

6.15.完成概念的整体建构，形成下图式认知：

输入：锐角A→[三角函数]→输出：三个特定的比值(sinA,cosA,tanA)

【设计意图】本环节是学生数学思维充分展开的舞台。通过“操作感知—技术验证—归纳定义”的完整科学探究过程，让学生亲历概念的诞生，深刻理解其数学本质。从余弦到正切的探究，体现了从“扶”到“放”的能力培养梯度。将正切与“坡度”联系，实现了数学与生活的贯通，化解了理解难点。概念辨析则促进了知识的结构化、系统化。

第三环节：剖析例题，深化理解（预计时间：12分钟）

例题1（基础应用，规范书写）：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求∠A的正弦、余弦和正切值。

1.学生活动：先独立完成。关键步骤：先由勾股定理求AC=8。

2.教师讲评：投影展示规范解题过程，强调三步走：①画图标注已知；②识别“对”、“邻”、“斜”；③代入公式计算。

1.3.sinA=BC/AB=6/10=3/5

2.4.cosA=AC/AB=8/10=4/5

3.5.tanA=BC/AC=6/8=3/4

6.变式提问：求∠B的三个三角函数值。引导学生发现互余角三角函数关系（sinA=cosB,cosA=sinB,tanA*tanB=1）的初步现象，为后续学习埋下伏笔。

例题2（逆向思维，概念辨析）：

在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=12/13，BC=12，求AB和AC的长。

1.学生活动：小组讨论。本题难点在于如何将“cosA=12/13”这一比值关系转化为边的关系。

2.思路引导：

1.3.cosA=AC/AB=12/13，这可以看作一个比例式。

2.4.设AC=12k，AB=13k(k>0)。

3.5.已知BC=12，利用勾股定理建立方程：(12k)²+12²=(13k)²。

4.6.解方程求出k，进而求出AC和AB。

7.教师小结：当已知一个三角函数值时，我们可以通过设参数（设k法）将比值关系具体化为边长的倍数关系，这是解决此类问题的通法。

【设计意图】例题1旨在巩固定义，训练准确、规范的计算和表达。例题2则提升了思维层次，从“已知边长求比值”到“已知比值求边长”，并引入了重要的“设k法”，促进了学生对概念逆向、灵活的应用，深化了对三角函数作为“比例关系”本质的理解。

第四环节：变式训练，巩固提升（预计时间：10分钟）

分层练习设计：

A组（夯实基础）：

1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则tanA=____，cosB=____。

2.判断：在直角三角形中，锐角的三角函数值可能大于1。（）（强调正弦、余弦≤1，正切可以大于1）

B组（灵活应用）：

3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AB=25，sinB=3/5，tanC=2，求AD和CD的长。

（此题需要作高构造直角三角形，综合运用两个锐角的三角函数，培养学生转化与化归思想。）

C组（探究拓展）：

4.（跨学科联系）一个滑雪者从坡度为i=1:3（即tanα=1/3）的雪坡上匀速滑下。若他在垂直方向下降了100米，则他在水平方向前进了多少米？滑行的总路程是多少？

（此题将正切与物理中的运动分解结合，体现数学的工具性。）

1.实施方式：学生自主选择完成至少A、B两组题。教师巡视，个别辅导。完成后，小组内互评，重点讨论B、C组题的思路。最后教师集中讲评共性问题。

【设计意图】分层练习满足不同层次学生的学习需求，让每个学生都能获得成功的体验。B、C组题的设计，加强了知识间的综合运用和跨学科联系，提升了学生分析问题、建立模型的能力，有效落实了核心素养的培养。

第五环节：课堂小结，反思升华（预计时间：5分钟）

不以教师复述为主，而是引导学生进行开放式总结：

1.知识网络图：请一位学生在黑板上用思维导图的形式，梳理本节课学到的核心知识（余弦、正切的定义、符号、关系式）及其与正弦的联系。

2.思想方法谈：“回顾今天的学习过程，我们运用了哪些数学思想方法来获得新知识？”（引导学生说出：类比、从特殊到一般、数形结合、函数思想等。）

3.疑惑与展望：“关于余弦和正切，你还有什么疑问？你猜想它们接下来会有哪些应用或性质？”（鼓励学生提出问题，如“这三个函数值有没有表格可查？”“它们之间有没有运算关系？”，激发对后续学习的期待。）

教师最终提升：“同学们，今天我们不仅认识了余弦和正切，更重要的是，我们再次体验了如何从具体的几何图形中抽象出‘函数’关系。锐角三角函数是一把精巧的钥匙，它为我们打开了用‘数’精确研究‘形’的大门。下节课，我们将学习如何利用这把钥匙，去解开更多关于直角三角形的奥秘。”

第六环节：分层作业，延伸学习

必做题：

1.教材课后习题对应基础练习。

2.整理本节课的笔记，绘制锐角三角函数概念图。

选做题：

3.利用几何画板或网络资源，探究当锐角A从0°逐渐增大到90°时，sinA,cosA,tanA的值分别如何变化？尝试用语言描述这种变化趋势，并思考为什么。

4.数学史小论文（二选一）：①查阅资料，了解中国古代数学家（如刘徽）是如何测量山高、河宽的，其中蕴含了哪些三角函数思想？②了解“正切”（tangent）一词在西方的几何起源（与圆的切线有关）。

实践作业：

5.测量校园内某一段台阶或斜坡的倾斜角（可用手机测角APP），并计算其坡度（正切值）。

六、板书设计（预设）

主板书（左侧）：

28.1锐角三角函数（二）——余弦与正切

一、探究与发现

1.余弦(cosine):∠A确定→邻边/斜边确定

1.2.定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，

cosA=∠

A

的邻边

斜边

\frac{∠A的邻边}{斜边}

斜边∠A的邻边​=A

C

A

B

\frac{AC}{AB}

ABAC​

3.正切(tangent):∠A确定→对边/邻边确定

1.4.定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，

tanA=∠

A

的对边

邻边

\frac{∠A的对边}{邻边}

邻边∠A的对边​=B

C

A

C

\frac{BC}{AC}

ACBC​

2.5.几何意义：坡度(i