初中数学九年级下册《图形的位似》教案

初中数学九年级下册《图形的位似》教案

一、教学设计理念与依据

（一）设计理念

本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养为导向，秉承“以学生发展为本”的教育理念，超越传统的知识传授模式。我们旨在构建一个理解性、探究性、联结性并存的学习场域。位似变换，作为图形变换家族（全等、轴对称、旋转、平移、相似）中的重要成员，不仅是相似知识的深化与拓展，更是连接几何、代数、艺术与科技的桥梁。本设计将位似定位于“图形关系与变换”这一大观念之下，引导学生从运动与变换的视角重新审视图形世界，理解位似是保持图形形状不变而改变其大小和位置的一种特殊相似变换，其核心在于“对应点连线交于一点（位似中心）且对应边平行”。

我们将通过真实情境的问题驱动、动态几何软件的深度探究、跨学科项目的有机融合，使学生亲历数学知识的产生、发展与应用过程。教学过程中，着重培养学生的空间观念、几何直观、推理能力和模型思想，并渗透变换思想、数形结合思想、分类讨论思想等高等数学思维，促使学生从“学会”转向“会学”，从“解题”转向“解决问题”，最终实现数学核心素养的全面提升。

（二）内容标准与学情分析

1.内容标准分析

本节课内容属于“图形与几何”领域中的“图形的相似”主题。课标明确要求：“了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小；在平面直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点、有一条边在横坐标轴上）分别放大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的。”这要求教学不仅要使学生掌握位似的定义与性质，更要理解其坐标表示，并能应用于实际作图与问题解决。

2.学情分析

1.知识基础：九年级下册学生已经系统掌握了全等三角形、轴对称、平移、旋转等图形变换，以及相似多边形的判定与性质。他们具备了一定的几何证明和逻辑推理能力，但对图形之间更一般化的“变换关系”理解尚处于零散状态。

2.认知特点：该年龄段学生抽象逻辑思维迅速发展，乐于接受挑战，对动态、可视化的学习内容兴趣浓厚。然而，位似概念中“对应点连线共点且成比例”这一双重约束，以及内外位似的分类，可能构成认知难点。部分学生容易将位似与中心对称、相似混淆。

3.发展需求：学生需要将已有的相似与变换知识进行结构化整合，形成更高层次的“变换观”。同时，他们渴望了解数学在现实世界（如地图绘制、影像处理、工程制图）中的应用价值，体验数学的威力与美感。

（三）教学目标

基于以上分析，确立如下三维教学目标：

1.知识与技能

1.理解位似图形的定义，掌握位似图形的核心特征（对应点连线交于一点，对应边平行或共线，任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比）。

2.能准确判断两个图形是否位似，能指出位似中心和位似比。

3.熟练利用位似原理，用尺规或坐标方法将一个图形放大或缩小。

4.掌握平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换的坐标规律，并能应用于计算与作图。

2.过程与方法

1.经历从生活实例抽象出位似概念的过程，体会数学建模思想。

2.通过动手操作（画图、测量）、几何画板（或类似软件）动态演示与探究，积累数学活动经验，发展几何直观和空间想象能力。

3.在探究位似性质、坐标规律及综合应用的过程中，提升分析、综合、推理和归纳的思维能力。

4.通过跨学科任务（如绘制简易校园平面图），体验数学工具在解决实际问题中的价值。

3.情感、态度与价值观

1.感受位似变换在科学、艺术、技术中的广泛应用，体会数学的实用价值与内在和谐之美。

2.在合作探究中养成严谨求实的科学态度和主动交流的合作精神。

3.通过对图形变换体系的整体认识，感悟数学知识的联系与发展，形成积极的数学学习情感。

（四）教学重难点

1.教学重点：

1.2.位似图形的概念及其性质。

2.3.利用位似进行图形的放大与缩小作图。

3.4.在直角坐标系中，以原点为位似中心的图形变换与坐标关系。

5.教学难点：

1.6.位似概念的本质理解，特别是与相似、中心对称概念的辨析。

2.7.位似中心的确定（特别是在图形复杂或位置关系不典型时）。

3.8.在平面直角坐标系中进行关于任意点为位似中心的位似变换（作为拓展）。

4.9.分类讨论思想在位似相关问题中的应用。

（五）教学策略与资源

1.教学策略：

1.2.情境-问题驱动策略：创设“影像缩放”、“地图绘制”、“哈哈镜成像”等真实情境，引发认知冲突，激发探究欲望。

2.3.探究-发现策略：设计层层递进的探究活动，引导学生通过观察、操作、猜想、验证、归纳，自主建构位似知识体系。

3.4.技术融合策略：深度融合动态几何软件（如GeoGebra），实现图形的动态变换、数据的实时测量，使抽象的位似关系可视化、直观化，突破思维难点。

4.5.对比辨析策略：将位似与全等、相似、中心对称等概念进行系统性对比，在联系与区别中深化理解，完善知识网络。

5.6.项目式学习（PBL）策略：设计“设计我的校园微地图”等小型项目，驱动学生在真实、复杂的任务中综合应用知识。

7.教学资源：

1.8.数字化资源：交互式电子白板课件、GeoGebra动态几何文件、微课视频（位似在生活中的应用）、在线协作平台。

2.9.传统教具：尺规、坐标网格纸、印刷的位似图形卡片、实物投影仪。

3.10.学习单：包含探究任务、例题、分层练习的设计导学案。

二、教学过程实施

总课时建议：2课时（每课时45分钟）

第一课时：位似变换的概念、性质与基本作图

（一）创设情境，激趣引新（预计用时：8分钟）

1.影像魔术

1.教师活动：在大屏幕上展示一张校园标志性建筑的标准照片，然后通过拖拽滑块，演示该照片在电脑图片编辑器中等比例放大和缩小的过程。提问：“放大后的图片和原图是什么几何关系？”（学生答：相似）。

2.教师追问：“那么，这张照片在电影放映机中从底片投射到巨幕上，图形放大了，这种‘投射’过程与简单的缩放有何不同？它满足相似的所有条件吗？”引发学生思考投影变换的特殊性。

2.地图探秘

1.教师活动：展示同一区域的卫星地图、交通地图和校园平面图（比例尺不同）。引导学生观察同一个建筑物（如操场）在不同地图上的图形。

2.提出问题：“这三幅图中，表示同一个操场的图形之间是什么关系？你能找到这些图形之间一种特殊的对应关系吗？”让学生初步感知图形不仅相似，而且所有“放大/缩小”的路径似乎都指向同一个“源头”。

3.抽象设问

1.在学生讨论的基础上，教师用GeoGebra绘制一个△ABC，并任取一点O。连接OA、OB、OC，分别在射线OA、OB、OC上取点A‘、B’、C‘，使得OA’/OA=OB‘/OB=OC’/OC=k（k可动态调整）。动态演示k变化时，△A‘B’C‘的变化。

2.核心提问：△ABC与△A‘B’C‘相似吗？为什么？除了相似，你发现点O与这些对应点连线之间有什么更特殊的关系？这种图形关系与我们学过的中心对称有何异同？

3.设计意图：从学生熟悉的“相似”和“缩放”入手，通过技术手段动态呈现位似变换的生成过程，自然引出“对应点连线共点”这一核心特征，制造认知冲突（相似且共点），激发学生探究这一“加强版相似”的内在欲望。

（二）操作探究，建构概念（预计用时：15分钟）

活动一：动手画图，初识特征

1.学生任务（学习单任务一）：给定一个△ABC和形外一点O。

1.2.画射线OA、OB、OC。

2.3.在射线OA上取点A‘，使OA’=2OA；类似地取B‘、C’。

3.4.连接A‘B’，B‘C’，C‘A’，得到△A‘B’C‘。

4.5.测量并计算：AB与A‘B’的比，∠A与∠A‘的大小。△ABC与△A’B‘C’相似吗？

5.6.观察并描述：点O与线段AA‘、BB’、CC‘的位置关系。

7.学生小组合作完成画图、测量与记录。

8.教师巡视指导，利用实物投影展示典型作品。

活动二：动态验证，归纳定义

1.教师利用GeoGebra重现学生作图过程，并动态改变点O的位置（形内、形上、形外）、改变比值k（大于1、等于1、小于1、负数）。

2.引导学生观察、讨论并归纳：

1.3.无论O在哪，k为何值，只要满足“对应点连线经过同一点O且OA‘/OA=k”，两个图形就一定相似。

2.4.当k>0时，对应点位于位似中心同侧，得到同向位似图形（放大或缩小）。

3.5.当k<0时，对应点位于位似中心两侧，得到反向位似图形（图形还发生了怎样的变化？——类似中心对称后再缩放）。

6.师生共同提炼位似图形的定义：

如果两个相似多边形，任意一组对应顶点的连线都相交于同一点，并且对应边平行（或共线），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心。此时，相似比又称为位似比。位似比k的绝对值表示放缩倍数，符号表示方向。

活动三：概念辨析，深化理解

1.辨析题组（小组讨论）：

1.2.所有的位似图形都是相似图形吗？所有的相似图形都是位似图形吗？（强调位似是特殊的相似，附加了“对应点连线共点且对应边平行”的条件。）

2.3.位似图形与中心对称图形有什么关系？（中心对称是位似比k=-1的特殊位似。）

3.4.如何判断两个图形是否位似？（关键两步：先证相似，再证对应点连线共点或对应边平行。）

5.设计意图：通过“动手画”积累感性经验，“软件探”进行一般化验证，“集体议”完成理性抽象，形成严谨概念。辨析环节旨在将新概念嵌入原有的知识网络，明确其外延与内涵。

（三）推理论证，探究性质（预计用时：12分钟）

探究：位似图形具有哪些性质？

1.基于定义和之前的观察，引导学生从“边、角、线、点”等多个维度进行猜想和证明。

2.性质1（基本性质）：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比|k|。（由定义直接可得）

3.性质2（位置关系）：位似图形的对应边平行（或在同一直线上）。

1.4.启发性证明：以△ABC与△A‘B’C‘位似为例，已知OA’/OA=OB‘/OB=k，试证明A’B‘∥AB。（引导学生利用平行线分线段成比例定理的逆定理进行证明，这是将比例关系转化为平行关系的关键推理，需板书详细过程。）

5.性质3（图形特性）：位似图形是相似图形，具有相似图形的一切性质（对应角相等，对应边成比例，周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方）。

6.性质4（位似中心位置）：位似中心可以在两个图形的同侧（外位似），也可以在两个图形之间（内位似）。

7.教师利用GeoGebra动态演示，强化对性质的理解，特别是性质2的证明，是本节课思维训练的一个高点。

（四）初步应用，掌握作图（预计用时：8分钟）

应用：将五边形ABCDE放大为原来的1.5倍。

1.任务1：位似中心O在形外（给定）。

1.2.教师引导学生分析作图思路：关键是确定每个顶点的对应点。方法是连接OA、OB…，并在射线上截取OA‘=1.5OA等。

2.3.学生口述，教师板演尺规作图步骤，强调作图规范。

4.任务2：位似中心O在形内（自主尝试）。

1.5.学生独立或小组合作完成作图。

2.6.展示交流，总结方法的一致性。

7.任务3（挑战）：如果不给定位似中心，只要求画一个放大1.5倍的位似图形，如何画？（引导学生思考：位似中心可以任意选取，选取不同的O，会得到不同位置但都满足要求的图形。这体现了位似变换的不唯一性。）

8.设计意图：将性质应用于基本作图，巩固概念，掌握位似放大缩小图形的具体操作方法。挑战性问题旨在开阔学生思维，理解位似中心的相对性。

（五）课堂小结与布置作业（预计用时：2分钟）

1.小结：引导学生从“定义、性质、作图、联系”四个方面回顾本节课内容，形成知识框架图。

2.作业布置（分层）：

1.3.基础巩固：教材课后练习题，判断位似图形、指出位似中心和位似比。

2.4.能力提升：给定一个图形和位似比，分别以形内、形上、形外一点为位似中心进行放大作图。

3.5.预习思考：在平面直角坐标系中，如果把原点作为位似中心，一个点（x,y）经过位似比k的变换后，新坐标是什么？

第二课时：坐标系中的位似与综合应用

（一）复习导入，温故链新（预计用时：5分钟）

1.快速问答：

1.2.位似图形的核心特征是什么？

2.3.位似比k=2和k=-2的几何意义有何不同？

3.4.如何将一个多边形以点O为中心放大为原来的2倍？

5.情境引入：展示一张在电脑地图上框选区域并放大的动图。提问：“在数字地图中，图形的缩放本质上是坐标的运算。我们能否用更‘数学’、更‘通用’的方法——坐标，来精确描述和实现位似变换呢？”由此引出坐标系中的位似研究。

（二）探究新知：坐标系中的位似变换（预计用时：20分钟）

探究活动一：以原点为位似中心的坐标变换规律

1.猜想：在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标已知。以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍（同侧）。你认为新三角形△A‘B’C‘的顶点坐标与原坐标有什么关系？

2.验证：

1.3.学生在坐标纸上画△ABC（如A(1,2),B(3,1),C(2,3)），尝试画出以O为位似中心、k=2的位似图形△A‘B’C‘。（学生可能通过画射线和测量来近似确定）。

2.4.教师用GeoGebra精确演示该变换过程，并显示各点坐标。学生记录并对比：(1,2)→(2,4),(3,1)→(6,2),(2,3)→(4,6)。

3.5.发现规律：横纵坐标都乘以了2。

6.一般化证明：

1.7.设原图形上一点P(x,y)，以原点O为位似中心，位似比为k（k>0）。求证：对应点P’的坐标为(kx,ky)。

2.8.引导分析：连接OP。由于P‘在射线OP上，且OP’=kOP，因此向量OP‘=k*向量OP。在坐标系中，向量OP坐标为(x,y)，故向量OP’坐标为(kx,ky)，即P‘(kx,ky)。（此处初步渗透向量思想，或用相似三角形性质证明△OPM∽△OP’M‘，其中M、M’为向x、y轴作垂线的垂足）。

9.结论1（同侧位似）：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，位似比为k（k≠0），那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k。

当k>0时，位似图形与原图形位于位似中心同侧，对应点坐标等于原坐标乘以k。

当k<0时，位似图形与原图形位于位似中心两侧，对应点坐标等于原坐标乘以k。（此时坐标符号改变，图形既缩放又关于原点对称）。

探究活动二：关于任意点为位似中心的坐标变换（拓展）

1.问题升级：如果位似中心不是原点，而是平面内任意一点O‘(a,b)，那么坐标变换规律是什么？

2.策略指导：这是本课难点。引导学生运用“转化”思想：将整个坐标系进行平移，让O‘点成为新坐标系的原点。

3.推导过程（师生共同完成）：

1.4.设原有点P(x,y)，位似中心O‘(a,b)，位似比k。

2.5.将坐标系平移，使O‘成为新原点O’’。则P在新坐标系下的坐标为(x-a,y-b)。

3.6.在新坐标系O’’下，进行以原点为位似中心、比为k的变换，得P‘在新坐标系下的坐标为(k(x-a),k(y-b))。

4.7.将P‘的坐标平移回原坐标系，则P’在原坐标系下的坐标为(k(x-a)+a,k(y-b)+b)。

8.结论2（一般位似）：以点O‘(a,b)为位似中心，位似比为k，则点P(x,y)的对应点P’的坐标为(k(x-a)+a,k(y-b)+b)。（公式理解：先相对O‘进行“去心化”，缩放后再“回心化”）。

9.设计意图：从特殊（原点）到一般（任意点）探究坐标规律，是思维的跃升。通过坐标平移转化难点，渗透解析几何的核心思想。此部分可根据学生接受情况，作为拓展内容弹性处理。

（三）综合应用，提升能力（预计用时：15分钟）

应用一：坐标作图与计算

1.例题：四边形OABC的顶点坐标分别为O(0,0),A(2,4),B(4,0),C(2,-2)。（1）以O为位似中心，画出四边形OABC的位似图形OA‘B’C‘，使它与四边形OABC的相似比为1:2（同侧）。（2）直接写出A’,B‘,C’的坐标。（3）计算四边形OA‘B’C‘的面积。

2.学生活动：独立完成，教师巡视。重点关注意位似比为分数时的坐标计算（乘以1/2）以及面积比的应用（面积比为相似比的平方，即1/4）。

3.变式：若位似比k=-1/2，图形和坐标有何变化？

应用二：解决实际问题——地图绘制中的数学

1.项目任务背景：学校计划制作一份简易的校园活动区域示意图。已知操场（可视为矩形）在卫星测量图上四个关键点的坐标（以某个路灯为原点建立简易坐标系）为A(0,0),B(80,0),C(80,60),D(0,60)（单位：米）。

2.任务要求：现需在A4纸上绘制该示意图，图纸上预留的绘图区域对应坐标范围为x:-10到110，y:-10到80。请你设计一个位似变换方案，将实际的操场图形美观、居中地绘制在图纸区域内。

3.小组合作探究：

1.4.确定位似中心：为方便计算，建议以实际坐标原点（路灯）作为位似中心。

2.5.确定位似比k：需要同时考虑x方向和y方向的缩放比例。实际图形x方向跨度80，y方向跨度60。图纸区域x方向可用宽度120，y方向可用高度90。为确保图形居中且留边，k不能大于min(120/80,90/60)=min(1.5,1.5)=1.5。小组讨论选择一个合适的k（如k=1.2）。

3.6.计算图纸坐标：利用公式P‘(kx,ky)计算A’,B‘,C’,D‘的坐标。

4.7.验证与调整：将计算得到的坐标点画在图纸坐标系中，检查是否居中、美观。若不理想，调整k值重新计算。

8.设计意图：这是一个贴近生活的微型项目任务，综合考查了位似比的选择、坐标计算、数形结合以及优化决策能力。它将数学从课本练习直接引向真实问题解决，极大提升学生的学习成就感和数学应用意识。

（四）总结反思，体系建构（预计用时：4分钟）

1.知识网络图构建：师生共同总结，形成以“图形的变换”为中心的知识结构图。

图形的变换

|

|---------------|---------------|---------------|

全等变换相似变换...（其他）

||

(平移、旋转、位似变换（特殊相似）

轴对称、中心对称）|

|---定义与性质

|---作图方法（尺规、坐标）

|---坐标规律（原点中心、一般中心）

|---实际应用

1.思想方法提炼：回顾本节课运用的转化思想（一般位似中心转化为原点）、数形结合思想、模型思想、分类讨论思想。

2.情感价值升华：再次欣赏位似在摄影、电影、绘图、分形艺术等领域创造的视觉奇迹，感受数学作为描述世界和创造工具的强大力量。

（五）分层作业与拓展延伸（预计用时：1分钟）

1.必做题：教材习题中关于坐标系位似的内容；完成“校园示意图”项目的书面报告。

2.选做题（探究性）：

1.3.逆向思维：已知变换前后的两个图形坐标，如何确定位似中心和位似比？（提示：选取两对对应点，其连线交点即为位似中心，距离之比即为位似比）。

2.4.跨学科融合：研究“哈哈镜”或“透镜成像”的数学模型，探究它们与位似变换的关系（理想薄透镜成像满足1/u+1/v=1/f，像与物是位似的吗？在什么条件下是？）。

3.5.信息技术实践：使用Python的Matplotlib库或Scratch图形化编程，编写一个简单程序，输入一个多边形顶点坐标和位似比，输出其位似图形的坐标并绘图。

三、教学评价设计

本教学评价贯穿于教学全过程，坚持过程性评价与终结性评价相结合、定量评价与定性评价相结合、他人评价与自我评价相结合的原则。

（一）过程性评价（占比60%）

1.课堂观察：记录学生在情境导入时的参与度、探究活动中的合作与思维状态、发言的逻辑性与创新性。

2.学习单评价：检查“动手画图”、“探究记录”、“例题解答”的完成质量，评估其对概念的理解深度和操作技能。

3.项目任务评估：对“校园示意图”项目从方案合理性、计算准确性、作图规范性、报告完整性四个维度进行小组与个人评价。

4.技术应用评价：评价学生使用GeoGebra进行探究的熟练程度和利用技术发现规律的能力。

（二）终结性评价（占比40%）

1.单元小测验：设计包含概念辨析、基本作图、坐标计算、简单证明和一道综合应用题的试卷，全面评估知识技能目标的达成度。

2.探究报告评价：对选做的拓展性作业（如透镜成像探究报告）进行评价，关注其研究过程的科学性和结论的合理性。

（三）评价量表示例（项目任务）

评价维度

优秀（4-5分）

良好（3分）

需努力（1-2分）

方案设计

位似中心选择合理，位似比计算有优化过程，理由充分。

位似中心选择合理，位似比计算正确，但未体现优化。

方案有重大缺陷或计算错误。

计算与作图

坐标计算完全正确，作图精准、规范、美观。

坐标计算基本正确，作图基本规范。

计算或作图存在多处错误。

合作与交流

在小组中承担核心角色，积极贡献想法，有效协调合作。

能参与小组讨论，完成分配的任务。

参与度低，或与合作者沟通不畅。

报告呈现

报告结构清晰，逻辑严谨，语言准确，有反思。

报告内容完整，表述基本清楚。

报告不完整或