解答题77分三轮冲刺保分强化训练(15)（原卷版及解析）

第2组(时间：75分钟分值：77分)1．（2026·山东滨州·一模）已知数列的前项和为，满足．(1)求数列的通项公式；(2)记，且，证明数列为等比数列，并求．2．（2026·安徽滁州·一模）某市高三学生学习强度指数Q的概率分布情况如下表所示．学习强度指数Q概率0.20.50.3应对情况轻松应对勉强应对困难应对(1)从该市随机选取3名高三的学生，记学习强度指数的人数为X，求及X的数学期望．(2)定义为在事件M发生的条件下事件N发生的优势．记事件“该学生学习有压力”（勉强应对和困难应对都被认为是学习有压力，轻松应对被认为是学习无压力），事件“该学生困难应对”，求在事件A发生的条件下事件B发生的优势．3．（2026·山东临沂·一模）已知函数．(1)求的单调区间；(2)已知在上有且仅有两个零点，求a的取值范围.4．（25-26高三下·重庆·月考）已知分别为双曲线的左，右顶点，为双曲线上异于的任意一点，直线，斜率之积为，的焦距为．(1)求的方程；(2)过点作直线与双曲线交于，两点（不与重合），记的斜率分别为，证明：为定值．5．（2026·江西·一模）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，为正三角形，且平面平面．(1)求证：；(2)求直线和平面所成角的正弦值；(3)设点是三棱锥外接球上一点，求点到平面距离的最大值．

解答题77分三轮冲刺保分强化训练(15)第1组(时间：75分钟分值：77分)1．（25-26高三下·重庆·月考）在中，角所对的边分别为，.(1)求；(2)若是边上一点，，，求的面积.【答案】(1)(2)【解题思路】（1）根据两角差的余弦可得，故可得，从而可求得.（2），在、中分别利用余弦定理可得的关系，从而求得故可求面积.【解析】（1）由已知可得，所以，故.因为，即，故，所以，又，所以或，所以（舍）或，因为，所以；（2）设，则，在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，由，可得，在中，由余弦定理可得，所以可得，所以2．（2026·广东深圳·一模）已知数列是等比数列，，，数列满足：.(1)求，的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)，，，.(2).【解题思路】（1）根据，，通过等比数列定义求出公比，代入等比数列通项公式求出，再根据作差法求出在时，，验证当时，符合该式，即可求出；（2）利用裂项相消的方法求出即可.【解析】（1）设等比数列的公比为，则，所以，，因为，当时，，两式相减得，则时，；当时，由得，解得符合该式；所以，.（2）由于，，所以.3．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，直三棱柱中，分别是的中点，．(1)证明：平面；(2)当时，求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【解题思路】（1）利用三角形的中位线证明线线平行，再根据线面平行判定定理证明；（2）根据给定条件，建立空间直角坐标系，再用空间向量法求二面角的余弦值即可．【解析】（1）连接交于点，连接，在直三棱柱中，是矩形，∴是的中点，又∵是的中点，∴，∵平面，平面，∴平面．（2）∵，∴，在中，，∴，在直三棱柱中，平面，平面，平面，∴，，∴两两垂直．以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，∴，，，设平面的法向量为，∴，令，则，设平面的法向量为，∴，令，则，∴．∴二面角的余弦值为．4．（2026高三·全国·专题练习）已知椭圆的长轴长为，离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)椭圆的左右顶点分别为，是直线上一点，直线分别交椭圆于点两点，连接交轴于点.当最大时，求点的坐标；【答案】(1)(2)或【解题思路】（1）根据条件，直接求出，即可求解；（2）设点，直线的倾斜角分别为，分三种情况，当时，，当时，可得，即可求解；【解析】（1）解：由题意可得，，即，又，得，又，得，所以椭圆的标准方程为.（2）解：由（1）知，设点，直线的倾斜角分别为，故，当时，，此时，当时，，则，当且仅当时，等号成立，当时，，则有，当且仅当时，等号成立，综上所述，当且仅当时，有最大值，即有最大值，所以当点的坐标是或有最大值.5．（2026·四川成都·二模）2026年是农历马年，在春晚舞台上，宇树机器人的精彩表演赢得了全国观众的喝彩.某企业为宇树机器人生产一种关键部件，此企业生产的部件质量按等级划分为六个层级，分别对应如下六组质量指标值：，，，，，．根据大量检测结果，得到部件的质量指标值X服从正态分布，并把质量指标值不小于的产品称为A等品，其它产品称为B等品.现从该部件的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.(1)根据大量检测结果，该部件质量指标值的标准差s的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值.若从生产线中任取一个部件，试从质量指标值X服从正态分布的角度估计该部件为A等品的概率（保留小数点后面两位有效数字）；①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．）(2)（ⅰ）从样本的质量指标值在和的部件中随机抽取3件，记其中质量指标值在的部件件数为，求的分布列和数学期望；（ⅱ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的部件按100件一箱包装.已知一件A等品部件的利润是元，一件B等品部件的利润是元，根据（1）的计算结果，试求x的值，使得每箱产品的利润最大.【答案】(1)(2)（ⅰ）分布列见解析，期望；（ⅱ）时利润最大.【解题思路】（1）根据直方图先算出平均值，进而得到正态分布，利用正态曲线的对称性求出概率即可；（2）（ⅰ）求出指标值在和的总件数，在的件数，然后根据步骤结合超几何分布的公式计算；（ⅱ）设设每箱产品的利润为，其中有件等品，用表示出的关系式，得到利润表达式，最后利用导数的工具求出关于利润函数时取最大值时的取值.【解析】（1）根据直方图可得，，由题知，，则，等品的质量指标值不小于，即.（2）（ⅰ）指标值在和的总件数为，指标值在的件数是，由题知，可能的取值是.，，，，分布列为：.（ⅱ）设每箱产品的利润为，其中有件等品，由题知，，由（1）知，等品的概率为，则，于是，，记，则，则递增，递减，故当时利润最大.第2组(时间：75分钟分值：77分)1．（2026·山东滨州·一模）已知数列的前项和为，满足．(1)求数列的通项公式；(2)记，且，证明数列为等比数列，并求．【答案】(1)(2)证明见解析；【解题思路】（1）由结合等比数列的定义并验证首项即可求解.（2）迭代原式并相减后得到，使用累加法结合等比数列的前项和即可求解.【解析】（1）由题意得，则，则，整理得，，解得，，解得，故，所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列，则.（2）因为，迭代得，两式相减得，即，令，则，当时，（常数），且，故是以4为首项，3为公比的等比数列，取，共7个奇数，可得，，，将以上各式相加，可得，易得是以4为首项，为公比的等比数列的前7项和，则有，其中，则.2．（2026·安徽滁州·一模）某市高三学生学习强度指数Q的概率分布情况如下表所示．学习强度指数Q概率0.20.50.3应对情况轻松应对勉强应对困难应对(1)从该市随机选取3名高三的学生，记学习强度指数的人数为X，求及X的数学期望．(2)定义为在事件M发生的条件下事件N发生的优势．记事件“该学生学习有压力”（勉强应对和困难应对都被认为是学习有压力，轻松应对被认为是学习无压力），事件“该学生困难应对”，求在事件A发生的条件下事件B发生的优势．【答案】(1)，的数学期望为；(2)；【解析】（1）解：由表可知，学习强度指数的概率为：,从该市随机选取名学生，记学习强度指数的人数为，则服从二项分布，所以；的数学期望为：；（2）解：由题意可知，事件为“该学生学习有压力”，事件为“该学生困难应对”.，，因为事件包含于事件中，所以，在事件发生的条件下事件发生的概率为：，在事件发生的条件下事件发生的概率为：，所以在事件发生的条件下事件发生的优势为：.3．（2026·山东临沂·一模）已知函数．(1)求的单调区间；(2)已知在上有且仅有两个零点，求a的取值范围.【答案】(1)当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)【解题思路】（1）求导后讨论的取值，从而判断导函数的正负，确定单调区间.（2）根据（1）的结论，以及零点存在定理确定不等式，进而求解的取值范围.【解析】（1）已知，其定义域为.求导​.当时，因为，所以，即.所以在上单调递增.当时，令，即，因为，所以，解得.当​时，，则，所以在上单调递增；当​时，，则，所以在上单调递减.综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，所以在上至多有一个零点，不符合题意.所以，此时在上单调递增，在上单调递减.要使在上有且仅有两个零点，当趋近于时，趋近于,所以根据零点存在定理，则需满足，，解得.，化简得，解得.又因可得.综上，的取值范围是.4．（25-26高三下·重庆·月考）已知分别为双曲线的左，右顶点，为双曲线上异于的任意一点，直线，斜率之积为，的焦距为．(1)求的方程；(2)过点作直线与双曲线交于，两点（不与重合），记的斜率分别为，证明：为定值．【答案】(1)(2)证明见解析【解题思路】（1）先设点，再应用斜率公式结合点在双曲线上计算得出即可求解双曲线方程；（2）设直线，再联立方程得出韦达定理，再应用斜率公式计算求解.【解析】（1）设，，，且，则．又焦距为，则，，双曲线的标准方程为：．（2）由（1）知，设，．因为不与重合，所以可设直线．联立，消得：，故，，，，，，可得，．5．（2026·江西·一模）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，为正三角形，且平面平面．(1)求证：；(2)求直线和平面所成角的正弦值；(3)设点是三棱锥外接球上一点，求点到平面距离的最大值．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【解题思路】（1）根据线面垂直的性质，判断线线垂直.（2）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，设出点的坐标，求出直线方向向量和平面的法向量，进而求出线面角的正弦值.（3）根据三棱锥外接的性质，求出球心和半径