小学五年级数学下册“因数与倍数”综合实践探究课教学设计

小学五年级数学下册“因数与倍数”综合实践探究课教学设计

一、教学背景与设计理念

（一）课程定位与内容整合

本课是基于五年级下册数学第二单元“因数与倍数”核心知识体系的一次深度综合与探究应用。它并非简单的新授课，也不是纯粹的习题讲评，而是一次以核心素养为导向，旨在打通数学知识内部联系、链接真实世界问题、融汇跨学科思维的项目化学习实践。本设计将“因数与倍数”这一相对抽象的数论初步知识，置于“设计一个长方形花坛”这一真实、开放且富有美感的项目情境中，引导学生在解决问题、完成项目的过程中，主动调用、深化理解并创造性运用公因数、公倍数、奇数与偶数、质数与合数等核心概念，实现从“学数学”到“用数学”的转变。

（二）设计理念与指导思想

本设计严格遵循《义务教育数学课程标准（2022年版）》的最新理念，深度践行以下原则：

1.确立素养导向：不再将知识点的机械记忆和技能训练作为唯一目标，而是将抽象知识具象化、结构化，引导学生在真实情境中发现问题、分析问题、解决问题，培养数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等核心素养。

2.强化综合与实践：打破传统课时教学的壁垒，设计长周期的探究性活动。强调数学知识内部之间、数学与其他学科之间、数学与日常生活之间的有机融合，让学生在“做中学”、“创中学”，积累丰富的数学活动经验。

3.凸显学生主体：全程以学生的自主探究、合作交流为核心。教师角色从知识的传授者转变为学习情境的创设者、探究过程的引导者和思维深化的助推者。学习任务设计具有层次性、开放性和挑战性，满足不同学生的差异化学习需求。

4.关注思维过程：不仅关注学生解决问题的最终结论，更关注其在探究过程中展现的思维路径、策略选择、遇到的困惑以及如何调整改进。通过展示、质疑、辩论等方式，让思维过程“可视化”，从而促进学生元认知能力的发展。

5.渗透学科育人：将数学学习与美育（图形设计）、德育（优化方案、团队协作）、劳动教育（设计方案的可实施性）等有机结合，挖掘数学知识背后的人文精神和科学态度，实现全面育人的目标。

二、教学目标

（一）知识技能目标

1.学生能系统梳理并复述“因数与倍数”单元的核心概念，包括：因数和倍数的意义、找一个数的因数和倍数的方法、2、3、5的倍数的特征（【基础】【重要】）、奇数和偶数、质数和合数（【重要】）、公因数和最大公因数、公倍数和最小公倍数（【非常重要】【核心】）。

2.学生能熟练运用短除法、列举法等基本方法求两个数的最大公因数和最小公倍数（【高频考点】【热点】）。

3.学生能准确理解并解释公因数与公倍数在实际问题（特别是等分、铺砌、周期问题）中的数学意义。

（二）过程与方法目标

1.经历从现实情境（设计花坛）中抽象出数学问题（选择地砖规格、确定种植区域）的全过程，初步掌握数学建模的一般方法。

2.通过小组合作探究、设计方案、交流反思等活动，提升分析问题、多角度思考问题以及创造性解决问题的能力。

3.在探究不同铺砖方案的过程中，体会分类讨论、数形结合、优化等数学思想方法的价值。

（三）情感态度与价值观目标

1.在解决实际问题的过程中，感受数学与生活的密切联系，体会数学的实用价值和趣味性，激发学习数学的内在动力。

2.在小组合作中，培养乐于交流、善于倾听、勇于质疑、敢于创新的团队协作精神和科学探究态度。

3.通过设计美观、合理的花坛方案，初步感受数学的秩序美、简洁美与和谐美，提升审美情趣。

三、教学重难点

（一）教学重点（【非常重要】）

1.能够从具体的生活情境中准确识别出需要运用公因数和公倍数知识解决的数学问题。

2.熟练、灵活地运用求最大公因数和最小公倍数的方法解决实际中的“铺砖问题”、“周期问题”和“分组问题”。

（二）教学难点（【难点】）

1.深刻理解为什么在“铺满地面”问题中要用到“公因数”，而在“同时相遇”问题中要用到“公倍数”，并能清晰阐述其背后的逻辑关系，防止概念的混淆。

2.在面对开放性的设计方案时，能够综合考虑数学原理（如整除性）、现实条件（如材料成本、美观度）等多个维度，进行方案的优化与决策。

四、课前准备

（一）教师准备

1.教学课件：包含核心概念复习卡片、真实花坛设计案例图片、模拟铺砖的交互式课件（或动画）、探究任务单（电子版或纸质版）、评价量规。

2.学具准备：为每组学生准备不同规格（如边长1分米、2分米、3分米、4分米、6分米等）的正方形地砖纸片若干张（或用方格纸代替），一张长18分米、宽12分米的长方形地面模拟图（纸质的，可粘贴），记号笔，剪刀，胶水。

3.分组策略：将学生按“组内异质、组间同质”的原则分成若干探究小组（每组4-5人），明确组长、记录员、汇报员、材料员等角色。

（二）学生准备

1.系统梳理“因数与倍数”单元的知识点，尝试制作单元知识思维导图。

2.预习教材中相关的综合应用例题，初步思考数学知识在生活中的应用场景。

3.观察生活中的铺地砖、排队、发车等现象，尝试用数学的眼光去审视。

五、教学实施过程（【核心环节，占绝大部分篇幅】）

本教学过程设计为三个课时，共计120分钟。第一课时为项目启动与核心探究，第二课时为方案设计与深化拓展，第三课时为成果展示与总结评价。此处详述贯穿三课时的完整过程。

（一）第一课时：项目启动，建模初探

1.情境创设，驱动性问题发布（10分钟）

（1）教师活动：利用课件展示一组美丽、富有创意的校园或社区长方形花坛图片（有全部用砖铺底的，有部分种植、部分铺装的），引导学生观察并思考：“如果你是一名小小园林设计师，学校想在我们教室门前的空地上，用长18分米、宽12分米的长方形区域建造一个花坛。花坛底部需要用一种正方形的瓷砖铺满（整块数，不能切割），作为硬化和行走区域。现在，作为设计师的你，需要向学校后勤叔叔阿姨提出采购建议：可以选用边长是多少分米的瓷砖？哪种规格既美观又省材料（块数最少）？”

（2）学生活动：观察图片，理解情境，明确核心任务——“为一个长18dm、宽12dm的长方形地面选择能正好铺满的整分米数正方形地砖”。

（3）设计意图：以真实、具体、有挑战性的项目式问题开启学习，迅速激发学生的好奇心和探究欲。驱动性问题巧妙地将生活需求（铺满、整块、节省）与数学问题（整除、公因数）紧密联结。

2.任务分析，数学问题抽象（5分钟）

（1）师生互动：教师引导学生将现实问题“翻译”成数学问题。“‘用正方形瓷砖正好铺满’是什么意思？”“‘边长是整分米数’又给了我们什么限制条件？”

（2）核心追问：学生经过讨论后明确：所谓“正好铺满”，就是指沿着长方形的长和宽铺过去，没有剩余。即，所选正方形瓷砖的边长，必须能同时整除长方形的长18和宽12。因此，问题就转化为：“求一个数，它既是18的因数，又是12的因数”。

（3）教师点睛：在数学上，我们把“既是18的因数，又是12的因数”的数，叫做18和12的“公因数”。这堂课，我们就要用“公因数”的知识当一回真正的设计师。板书核心概念：【非常重要】公因数。

（4）设计意图：引导学生经历“生活问题→数学抽象”的过程，这是数学建模的第一步，是培养应用意识的关键。让学生体会到，数学概念不是凭空产生的，而是从解决实际问题中来的。

3.合作探究，求解铺砖方案（20分钟）

（1）明确要求：每组领取一张长18dm、宽12dm的长方形模拟图和各种规格的“正方形地砖纸片”（边长1dm、2dm、3dm、4dm、5dm、6dm等）。

（2）动手操作与计算推理结合：

A.低起点（【基础】）：学生首先用“摆一摆”的方法，尝试用1dm的地砖纸片去铺模拟图，验证是否可以铺满（显然可以，因为1是任何整数的因数）。发现1分米规格可行。

B.再探究：接着尝试用2dm、3dm的地砖纸片去铺，通过动手操作发现，这两种规格也能正好铺满，没有剩余。

C.遇冲突：尝试用4dm的地砖纸片去铺。在“摆”的过程中会发现，沿着长（18dm）可以铺4块（4×4=16），但剩余2dm不够一块；或者尝试在宽（12dm）上可以铺3块，但在长上无法铺满。通过动手操作直观验证了4不是18的因数，所以无法铺满。

D.促思维：尝试5dm、6dm等其他规格。通过操作或推理，发现5不行，但6可以（6既是18的因数，也是12的因数）。

（3）记录与归纳：小组记录员将探究结果填入任务单：

可以选用的地砖边长（分米）：1，2，3，6。

（4）教师巡视与引导：在学生操作过程中，教师深入小组，引导他们将“摆”的直观结果与“算”的逻辑推理结合起来。比如提问：“如果不摆，你能直接判断4分米的行不行吗？为什么？”引导学生思考，只要看4是不是18和12的公因数即可。

（5）设计意图：通过“动手做”获得直观体验，再过渡到“动脑想”进行抽象推理，符合小学生的认知规律。操作验证为理解“公因数”提供了坚实的感性支撑，避免了空洞的概念灌输。同时，矛盾冲突（4无法铺）加深了学生对概念内涵的理解。

4.方案优化，引出最大公因数（5分钟）

（1）教师追问：现在我们找到了1、2、3、6四种可行的方案。如果从节省材料、减少施工量、更加美观大方的角度考虑，你会建议学校采购哪一种规格的瓷砖？为什么？

（2）学生讨论：学生很快会发现，边长6分米的瓷砖块数最少。因为在面积固定的情况下，砖越大，用的块数越少。计算一下：用边长为1分米的，需要18×12=216块；用6分米的，需要（18÷6）×（12÷6）=3×2=6块。效果大不相同。

（3）概念升华：在这些公因数中，最大的那个（6）有着特殊的意义。它就是18和12的“最大公因数”。板书：【非常重要】【高频考点】最大公因数。在解决实际问题时，我们往往需要在所有可行的方案中寻求最优解，而最大公因数常常能帮我们找到那个最简洁、最高效的答案。

（4）设计意图：在“可行解”的基础上引入“最优解”的思考，自然地引出“最大公因数”的现实意义。让学生感受到，数学知识不仅能帮我们“能不能做”，还能帮我们“怎样做得更好”，体会到优化的思想。

（二）第二课时：深化拓展，关联应用

1.回顾反思，方法提炼（5分钟）

（1）师生共同回顾上节课的探究过程：我们从铺花坛的实际问题出发，找到了“地砖边长必须同时是长和宽的因数”这一关键，从而认识了“公因数”和“最大公因数”。我们用了“摆一摆”和“算一算”两种方法。其中，“算一算”的核心就是——找两个数的公因数。

（2）教师提问：谁能总结一下，我们是怎样找到18和12的公因数的？引导学生说出：可以分别列出18的因数（1，2，3，6，9，18）和12的因数（1，2，3，4，6，12），然后找出两者都有的（1，2，3，6）。这种方法叫【基础】列举法。还可以用更简洁的短除法来求最大公因数。板书演示短除法。

2.变式练习，深化理解（15分钟）

（1）问题变式一（铺砖问题的逆向思维）：如果现在学校后勤买回了一些边长为4分米的正方形瓷砖，想用它们来铺一个长16分米、宽12分米的长方形地面。请问，这些瓷砖能正好铺满这个长方形吗？需要切割吗？为什么？

A.学生独立思考并回答。问题转化为：4是不是16和12的公因数？分别找16的因数（1，2，4，8，16）和12的因数（1，2，3，4，6，12），发现4是它们的公因数，所以可以铺满。

（2）问题变式二（从铺砖到分组的类比）：回到花坛设计。除了铺砖，我们还要在中间留出一块长方形区域种植月季花，种植区长8分米、宽6分米。为了浇水方便，我们计划在种植区的四周等距离地安装喷头，要求喷头之间的距离必须是整分米数，并且正好安装一圈（四个顶点都安装）。那么，相邻两个喷头之间的距离可以是几分米？最长是几分米？

A.小组讨论：这是一个“等分”问题。要在长方形四周等距离安装喷头，且顶点有，意味着喷头将长方形的长和宽平均分成了若干段。因此，相邻喷头间的距离必须同时能整除长8和宽6。这又转化成了求8和6的公因数（1，2）。最长距离就是它们的最大公因数2分米。

B.【重要】教师点明：无论是“铺砖”、“裁纸”还是“等分线段”，本质上都是“平均分”且“无剩余”，其数学模型就是求“公因数”。

3.认知冲突，引出公倍数（15分钟）

（1）情境切换：在花坛设计中，考虑到美观和多样性，我们不只种一种花。园丁叔叔说，A种花需要每隔3天浇一次水，B种花需要每隔5天浇一次水。今天是6月1日，我们同时给两种花浇了水。那么，下一次再同时给这两种花浇水是哪一天？

（2）问题分析：引导学生理解“每隔3天浇一次”意味着每4天浇一次（含第1天）？这里需厘清概念。为简化模型，本题设定为“每3天浇一次”和“每5天浇一次”，即浇水周期分别是3和5。今天同时浇了，下一次同时浇的天数，必须是3的倍数，同时也是5的倍数。

（3）概念引入：像这样，既是3的倍数，又是5的倍数的数，叫做3和5的“公倍数”。其中最小的那个，叫做“最小公倍数”。板书：【非常重要】【高频考点】公倍数、最小公倍数。

（4）解决问题：找3和5的最小公倍数。用列举法：3的倍数有3，6，9，12，15，18...；5的倍数有5，10，15，20...。它们最小的公共倍数是15。所以，下一次同时浇水是6月1日后的第15天，即6月16日。

（5）【难点辨析】教师强调：公因数解决的是“平均分/等分”的问题（如铺砖、分组），而公倍数解决的是“同时发生/周期重合”的问题（如浇水、相遇）。这是两个概念应用场景的根本区别。我们必须在理解意义的基础上灵活运用，绝不能死记硬背。

（三）第三课时：综合设计，成果展示

1.项目整合：完整的花坛设计方案（25分钟）

（1）发布总任务：现在，请各设计小组综合前两节课的探究成果，为学校设计一个完整的花坛方案。你们的方案必须包含以下要素：

A.主体区域：一个长18米、宽12米的长方形。（单位换成米，更具真实感）

B.硬化铺装：在长方形区域内，规划出一块地方用正方形地砖铺装（可全部铺，也可部分铺），并说明你选择的地砖规格（【非常重要】利用公因数知识）以及这样选择的理由（美观、经济等）。

C.绿化种植：在剩下的区域规划出2-3种不同的花卉种植区（可以是长方形或正方形）。你需要为每种花设计浇水方案，比如A花每4天浇一次，B花每6天浇一次，并计算出它们从同一天浇水后，下一次再次同一天浇水是几天后（【非常重要】利用公倍数知识）。

D.创意点缀：在花坛边缘或内部，可以设计一些装饰性元素，比如等距离插彩旗（【重要】用公因数）、安装地灯（用公倍数）等。

E.成果呈现：每组需提交一份手绘花坛设计图，并附上一份详细的设计说明书，说明书里要清晰解释你们的设计中用到了哪些数学知识，是如何应用的。

（2）学生分组设计与探究：学生兴致高涨，立即投入到创作中。教师巡视指导，参与到各组的讨论中，引导他们将数学知识运用到设计的每一个细节。比如：

A.有的组选择只铺一条小路通往花坛中心，那么小路的长度和宽度是多少？要选多大的砖正好铺满？这同样需要求小路长和宽的公因数。

B.有的组设计在花坛四周围上栅栏，每隔一段距离立一根柱子，柱子的间距就必须是花坛周长（或其一部分）的公因数。

C.对于浇水方案，有的组设计了三种花，需要计算它们下一次同时浇水的天数，那就需要求三个数的最小公倍数，这是对知识的进一步拓展和挑战。

（3）设计意图：将零散的知识点整合到一个完整、开放、富有创造性的项目任务中，让学生经历“再创造”的过程。这不仅是对本单元知识的综合应用，更是对跨学科素养（美术、工程、语言表达）的综合锻炼。

2.成果展示，交流互评（12分钟）

（1）小组汇报：各小组选派代表上台，利用实物投影仪展示本组的设计图，并阐述设计说明书的核心内容。重点汇报：

A.铺装区：你选择了哪种规格的砖？它的边长是相关尺寸的什么数（公因数）？为什么选这个？

B.种植区浇水：几种花的浇水周期分别是多少？它们下一次同时浇水的时间是如何计算出来的（最小公倍数）？

C.设计的亮点：你觉得自己设计中最有创意、最科学的地方在哪里？

（2）互动质疑：其他小组的同学可以就汇报小组的设计提问、质疑或提出改进建议。例如：“为什么你们在小路拐角处铺的砖看起来不整齐？是不是边长选择有问题？”或“你们的浇水方案计算得很准确，但如果考虑节假日工人休息，是否需要调整？”。

（3）教师点评与引领：教师从数学知识运用的准确性、设计的创新性、方案的可行性以及团队合作的默契度等维度进行点评。重点表扬那些能灵活运用知识，并展现出深度思考和创造性表达的团队。

3.总结升华，构建体系（3分钟）

（1）教师引导学生回顾整个单元的学习和本次综合实践的历程。通过知识树或思维导图，将零散的知识点串联起来：因数与倍数是基础，2、3、5倍数的特征是快速判断的“工具”，质数与合数是数的“身份”，而公因数和公倍数则是联系两个或多个数的“桥梁”，是解决实际问题的“金钥匙”。

（2）教师总结：数学不仅仅是课本上的公式和习题，它更是一种观察世界、理解世界和改造世界的语言和工具。今天，大家就成功地运用这把“金钥匙”，打开了一扇通往真实设计世界的大门。希望同学们在今后的学习和生活中，始终保持用数学的眼光去发现、去思考、去创造的热情。

六、教学评价设计

本设计采用过程性评价与终结性评价相结合的方式，重点考察学生在综合实践活动中的表现。

（一）过程性评价（占60%）

1.课堂参与度：观察学生在小组讨论、动手操作、回答提问中的积极性和专注度。（权重15%）

2.合作交流能力：评价学生在小组内是否能有效沟通、倾听他人意见、共同完成任务。（权重15%）

3.思维过程展现：通过观察学生在探究中遇到的问题、提出的猜想、验证的方法以及反思的过程，评价其思维的深刻性和灵活性。（权重30%）（【非常重要】）

（二）终结性评价（占40%）

1.设计作品评价：从数学知识的正确性（公因数/公倍数的运用是否准确）（权重15%）、设计的创意性（布局、构思是否新颖）（权重10%）、方案的可行性（是否现实合理）（权重5%）、说明书的清晰度（