高一数学下学期寒假讲义：平面向量的运算 （八大考点）原卷版

专题02平面向量的运算

»思维导图

向■运算

向量数量枳的定义

投影向■

面向■我■职的性原

向■的数■积

%平面向■数■积的运箕悻

平面向量数■租的运算性质

»核心考点聚焦

考点一、向量的加法运算

考点二、向量的减法运算

考点三、与向量的模有关的问题

考点四、向量的数乘运算

考点五、共线向量与三点共线问题

考点六、平面向量数量积的运算

考点七、平面向量模的问题

考点八、向量垂直（或夹角）问题

知识点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则

1、向量加法的概念及三角形法则

已知向量Zb,在平面内任取一点4,作;4月=2比=方，再作向量;W,则向量近叫做）与万的和,

记作。+石，即。+石=4B+BC=AC.如图

本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则.

2、向量加法的平行四边形法则

已知两个不共线向量"/；,作4月=24力二九则A氏。三点不共线，以A反45为邻边作平行四边

形A3CQ,则对角线恁=Z+B.这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则.

求两个向量和的运算，叫做向量的加法.

对于零向量与任一向量a,我们规定〃6+〃=a.

知识点诠释：

两个向量的和是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点.

知识点二：向量求和的多边形法则及加法运算律

1、向量求和的多边形法则的概念

己知〃个向量，依次把这〃个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第〃个向量的终点为终点的

向量叫做这〃个向量的和向量.这个法则叫做向量求和的多边形法则.

+，,，+

AA=AA+A2AA-IA.

特别地，当A与儿重合，即一个图形为封闭图形时，有4冗+豆+…+4H+A4=0

2、向量加法的运算律

(1)交换律：a+b=b+a；

(2)结合律：(a+B)+c=〃+(〃+(?)

知识点三：向量的减法

1、向量的减法

(1)如果弓+1=2,则向量1叫做［与五的差，记作求两个向量差的运算，叫做向量的减法.此

定义是向量加法的逆运算给出的.

相反向量：与向量Z方向相反且等长的向量叫做3的相反向量.

(2)向量。加上1的相反向量，叫做。与坂的差，即。-坂=。+(-.求两个向量差的运算，叫做向

量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法.

知识点诠释：

（1）两种方法给出的定义其实质是一样的.

⑵对于相反向量有a+（-〃）=6；若。，B互为相反向量，则〃=-瓦4+〃=

（3）两个向量的差仍是一个向量.

2、向量减法的作图方法

（1）已知向量〃，万，作0A=a,OB=b,则BA=a—b=OA-OB,即向量B4等于终点向量（OA）

减去起点向量（痂）.利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的

终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量.

（2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出7-九作o/i=z,o方=3,衣=-立

则玩=ci+（-6）,如图.由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量.

知识点四：数乘向量

1、向量数乘的定义

实数与向量的积：实数4与向量）的积是一个向量，记作：Aa

（1）"〃|=|刈万|：

（2）①当2>0时，法的方向与口的方向相同；

②当；1<0时.花的方向与2的方向相反；

③当4=0时，Aci=0.

2、向量数乘的几何意义

由实数与向量积的定义知，实数与向量的积法的几何意义是：h可以由五同向或反向伸缩得到.当

|2|>1时，表示向量衣的有向线段在原方向（2>0）或反方向（冗<0）上伸长为原来的|4|倍得到商；

当时，表示向量口的有向线段在原方向（义>0）或反方向（4<0）上缩短为原来的"|倍得到

苍；当4=1时，Au=a；当4=一1时，Aa=-a,与己互为相反向量；当2=0时，Aa=O.实数与向量

的积得几何意义也是求作向量法的作法.

3、向量数乘的运算律

设不〃为实数

结合律；4（〃a）=（2〃）a；

分配律：（4+〃瓶=质+［打，23+〃）=沏+劝

知识点五：向量共线的条件

1、向量共线的条件

（1）当向量工二0时，3与任一向量族共线.

（2）当向量［声6时，对于向量如果有一个实数4，佞3:45,那么由实数与向量的积的定义知

1与Z共线.

反之,已知向量B与Z（£工6）共线且向最万的长度是向量Z的长度的4倍，即|司二/1|。|,那么当

万与。同向时，b=Aa当万与。反向时，h=—Aa.

2、向量共线的判定定理

G是一个非零向量，若存在一个实数之，使B=则向量刃与非零向量口共线.

3、向量共线的性质定理

若向量日与非零向量2共线，则存在一个实数4,使B=

知识点诠释：

（1）两个向最定理中向审2均为非零向量，即两定理均不包括0与6共线的情况；

（2）ZwO是必要条件，否则4=0,丐。0时，虽然加与Z共线但不存在力使五二义3；

（3）有且只有一个实数义，使B=

（4）a//bo3=Ah（b*6）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转

化，体现了数形结合的高度统一.

知识点六：平面向量的数量积

1、平面向量数量积（内积）的定义：

已知两个非零向量［与B,它们的夹角是。，则数量同Wcose叫Z与B的数量积，记作即有

7B=WWcos。（0<6><^-）.并规定。与任何向量的数量积为0.

2、如图（I）,设2,B是两个非零向量，AB=afCD=b,作如下变换：过通的起点A和终点8,

分别作。。所在直线的垂线，垂足分别为A，q,得到4可，我们称上述变换为向量。向向量方投影，

福叫做向量］在向量B上的投影向量.

B

A

M

।b」「

CAiBiD

(1)(2)

如图(2),在平面内任取一点O,作OM=Z,ON=b.过点M作直线ON的垂线，垂足为则

西就是向量Z在向展方上的投影向量.

知识点诠释：

1、两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos。的符号所决定.

(2)两个向量的数量积称为内积，写成7B；今后要学到两个向量的外积ZxB,而2不是两个向量

的数量的积，书写时要严格区分.符号“•”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“X”代替.

(3)在实数中，若且42=0,则力=0；但是在数量积中，若Zw(),旦7万=(),不能推

出3=0.因为其中cos。有可能为0.

2、投影也是一个数量，不是向量：当。为锐角时投影为正道；当。为钝角时投影为负值；当。为直角

时投影为0；当。=0。时投影为W；当。=180。时投影为-W.

3、投影向量是一个向量，当对于任意的0e[0,兀],都有。M]=|a|cos，e.

知识点七；向量数量积的性质

设Z与坂为两个非零向量，"是与B同向的单位向量.

—•—•—•—•

1、ea=ae=acos0

2、aLb<=>ab=0

3、当。与B同向时，ab=ab；当。与A反向时，ab=-ab.特别的=a或卜卜

4>cos0=——

ab

5、ab<ab

知识点八：向量数量积的运算律

1、交换律：ab=b-a

2、数乘结合律：==

3、分配律：（a+B）,c=a.c+B.c

知识点诠释：

1、已知实数〃、b、。（力工0）,则a〃=Z?cna=c.但是。•万=B・c>z^a=c；

2、在实数中，有（4*/?）0=4（。、0）,但是（。4）。/4（/八（?）

显然，这是因为左端是与2共线的向量，而右端是与3共线的向量，而一般"与2不共线.

1、向量的三角形不等式

由向星的三角形法则，可以得到

（1）当出坂不共线时，|£+B|<|〃i+|B|；

（2）当之〃同向且共线时，Z+员工）同向,则|%+引=|£）+防|；

（3）当21反向且共线时,若司，则2+3与£同向，|£+司=|）一出|；若|"|<仍|,则Z+B与B

同向,\a+b\^b\-\a\.

2、平面向量数量积的几何意义

数量积表示Z的长度|Z|与B在3方向上的投影Wcos。的乘积，这是的几何意义.图所示分

别是两向量Z3夹角为锐角、钝角、直角时向量B在向量Z方向上的投影的情形，其中。g=|B|cos。，它

的意义是，向量B在向量［方向上的投影是向量西的数量，即萌二。耳•乌.

事实上，当。为锐角时，由于cos8>0,所以04>0：当。为钝角时，由于cosOcO,所以04<0；

当®=90°时，由于cos9=0,所以。4二0,此时。与B1重合；当9=0°时，由于cosO=l,所以。4二|6；

当0=180°时，由于8s0=—l,所以。用=一|".

学以致用

》考点剖析

考点一：向量的加法运算

例1.（2024.全国•高一随堂练习）如图，已知向量入人用向量加法的平行四边形法则作出向量2+/；.

例2.（2024.新疆•高一校考期末）化简下列各式:

{\}CD+BC+AB

⑵通+市+而+册+丽

例3.（2024•全国•高一专题练习）如图,已知向量7加2,2

⑴求作用+"+7

（2）设|吊=2,工为单位向量，试探索的最大值.

考点二：向量的减法运算

例4.（2024・全国•高一随堂练习）化简：

（1）AB+BC+CD=；（2）AB+BC+CD+DE-EF=：

（3）AB—CB—AC=;（4）+H1-.

例5.（2024.全国•高一随堂练习）填空：

（1）AB-AC=;

（2）OA-OB=:

（3）MD-MC^;

⑷AB+BC-AD=.

例6.（2024.高一单元测试）任给两个向量2和则下列式子恒成立的有.

①产+台忤忖+忖②B一八问-w

③日—B卜W+W④I*第书

变式L（2024.安徽六安.高一六安一中校考）化简：AB+EA-CB+CD=.

考点三：与向量的模有关的问题

例7.（2024.高一课时练习）已知向量Z，〃满足|。|=3,仍|=4,则|Z-加的最大值为.

例8.（2024•高一课时练习）若向量工分满足|司=2,而|=3,则|2+加的最小值为,R-山的最大值

为.

例9.（2024.高一课时练习）已知非零向量满足|'=夕+1,向=5一］,且升=4，则|H|=.

变式2.（2024・高一课时练习）已知向量入B，^的模分别为3,4,5,贝U五+^的最大值为,最

小值为•

r；

变式3.（2024•高一课时练习）已知非零向量4,5满足|初=历|=|万-5|,则*号=_______.

考点四：向量的数乘运算

例10.（2024・全国•高一随堂练习）求下列未知向全

(l)3^x-2«j+2Z?+x=6;

(2)|(«-2A)=3(X-5)；

⑶+3l)+B=0.

例11.(2024・全国•高一课堂例题；计算:

⑴3(Z叫-2(Z+26)；

⑵2仅a+6b-3c)-3(-3a+4〃-2c).

例12.(2024・高一课时练习)化简:

⑴5(3"24+4(〃-3办

(2)§(ci-2/?)—4(30-25)-5(1—彳)；

(3)l>+y)a-(x-y)a.

变式4.(2024•高一课时练习)计算:

⑴8(2〃-4+c)-6(〃-2匕+c)-2(2a+c)；

⑵d(2"+时一(“-2")-

考点五：共线向量与三点共线问题

例13.(2024•全国•高一随堂练习J判断三点是否共线.

(1)己知两个非零向量4和E不共线，血=厉+范，配=函+23£，9=44一塔.求证：A,B,。三点

共线.

(2)已知任意两个非零向量九b，求作3=£+柒=2+2儿反=5+3反试判断A,B,C三点之间的

位置关系，并说明理由.

例14.(2024•宁夏银川•高一校考阶段练习)设Z，方是不共线的两个非零向量.

(1)若。5=22+/；。8=3公一反反=2+3'求证：A,B,C三点共线；

(2)若92-好与后一4方共线,求实数攵的值.

例15.(2024・陕西西安・高一西安市铁一中学校考)如图，已知点G是“8C的重心，若PQ过△A8C的重

心G,且旃=£,~AC-b»AP=ma»AQ=nb(m>0,n>0)t试求〃7+2〃的最小值.

变式5.(2024.高一课时练习)己知G是△A80的重心，M是AB的中点，过点G作一条直线与4。边交于

点P、与B。边交于点Q,设04=必。月=反0尸="，鬲0。=〃・5,求人+」的值.

inn

变式6.(2024•全国•高一假期作业)已知向量万与B的夹角为120。，且|町=4,|/；|=2,求:

⑴品

(2)ici+b)-(a-2b).

考点六：平面向量数量积的运算

例16.（2024•湖北黄冈・高•校考阶段练习）如图，在底角为45、的等腰梯形48CO中，福=3枇，M,

N分别为CD,BC的中点.设A月=

（1）用力，/；表示所不，A/V;

⑵若同=3,求丽?•丽.

例17.（2024.四川遂宁•高•一射洪中学校考）已知向量同=1,M=2,己与方的夹角为早

⑴求五；

⑵求,+B）•值-25）.

例18.（2024•甘肃天水•高一天水市第一中学校考阶段练习）已如同=3,忖=4,且Z_LR+B），则向量。

在向量方上的投影数量为.

考点七：平面向量模的问题

例19.（2024.河南.高一校联考期末）向量入［满足同=1,（办今£=0,（2Z+^_L尻则

1*1=------

例20.（2024•江苏南通•校联考一模）已知向量力与向量B满足：口=1,W=2,且々与B的夹角为则

悔一母=.

例21.（2024•河南省直辖县级单位•高•济源市第四中学校考阶段练习）已知向量B满足

,+4=|万-6],7=2,忖=1,则卜+2方卜.

变式7.（2024.江苏连云港.高一校考阶段练习）已知向量d出的夹角为手，|口=6,出|=1,则

6

\3a+2b|=.

考点八：向量垂直（或夹角）问题

例22.（2024.安徽羌湖.高一安徽省无为襄安中学校考•）已知向量白与6的夹角为，且同=5

|同=2.向量”必与崩+8共线，

（1）求实数4的值；

⑵求向量2-坂与4+筋的夹角。.

例23.（2024•广东东莞•高一校考阶段练习）已知忖=2,忖=3,R+»H=8.

⑴求忖+小

（2）当左为何值时,坛M与"十涕垂直?

（3）求向量[与＞+/；的夹角的余弦值.

例24.（2024.辽宁锦州.高一渤海大学附属高级中学校考阶段练习）已知平面向量力与5满足/»=-2,向

量0是与向量5同向的单位向量，向量2在向量B上的投影向量为-2/

⑴若K2方与。一5垂直，求同的大小；

⑵若a与b的夹角为弓，求向量。与2,+36夹角的余弦值.

变式8.（2024.广东云浮•高一校考阶段练习）已知向量Z，G满足同=1,忖=2,且

⑴若R-肪）+求实数A的值；

⑵求Z与2Z+■的夹角.

》过关检测

一、单选题

1.（2024•江苏•高一校联考阶段练习）对于任意空间向量人3下列说法正确的是（）

A.若G//B且切丘，则Z〃[B.a^+c^=ab+ac

C.若a•b=a•c，且则B=cD.（a，）c=a®。c）

2.（2024.河南省直辖县级单位.高一校考阶段练习）设非零向量3，石满足卜+可=忖-4,则（）

A.同明B.albC.a//bD.同洲

3.（2024•河南省直辖县级单位•高一校考阶段练习）在边长为2的等边AABC中，丽•肥的值是（）

A.4B.-4C.2D.-2

4.（2024•河南省直辖县级单位•高一河南省济源第一中学校考阶段练习）在平面四边形ABCD中，下列表

达式化简结果与加相等的是（）

A.AC+CDB.AD+DC+CB

C.CA-CBD.CT+DA-DC

5.（2024•云南•高三云南师大附中校考阶段练习）已知向量2与5的夹角为口|=2炳=1,则向量3在方

上的投影向量为（）

1r一1-

A.bB.—bC.aD.-a

22

AC

6.（2024•北京朝阳•高三统考）已知平面内四个不同的点ABC,。满足丽=2瓦-2成，则=r=（）

BC

A.B.-C.2D.3

32

7.（2024.山东济南•高三山东省实验中学校考阶段练习）已知平面向量入方满足（Z+印=2,且归|=1,

|同=2,则k+5卜（）

A.75B.72C.2。D.1

8.（2024.天津和平•高一统考期末）已知平面向量口瓦团=2,出|=1,且日与万的夹角为争则K+2万卜

（）

A.12B.16C.2j3D.J10

二、多选题

9.（2024•四川成都•高二成都七中校考）下列说法正确的是（）

A.对任意向量型5,都有d

B.若。B=且。/0，则石=3

C.对任意向量吊瓦机都有伍•万”=不（5句

D.对任意向量万都有=

1（）.（2024•河北石家庄•高一校考）若向量,出满足冏=川=1,卜+万|=6,则（）

A.ab=\B.。与万的夹角为g

C.al（a-2b）D.。-坂在石上的投影向量为戈

II.（2024・四川遂宁•高一射洪中学校考阶段练习）下列说法正确的有（）

B.入户为非零实数，若笈=〃,则2与石共线

C.若。6=b弋，则a=c

D.若平面内有四个点A、8、C、D,则必有《+加=布+八）

12.（2024•黑龙江齐齐哈尔•高一齐齐哈尔中学校考）如图在“