函数和它的表示法-函数的图象（知识讲解）-八年级数学下册基础知识专项讲练（湘教版）

专题4.3函数和它的表示法-函数的图象（知识讲解）

【知识回顾】

变量、常量的概念：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的

量叫做常量.

函数的定义：一般地，在一个变化过程中.如果有两个变量X与y,并且对于x的每一个确

定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.

函数值：歹是x的函数，如果当x时y=〃，那么人叫做当自变量为。时的函数值.

【学习目标】

1.理解函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系，会判断•个点是否在函数的图象匕

明确交点坐标反映到函数上的含义.

2.初步理解函数的图象的概念，掌握用“描点法”画一个函数的图象的一般步骤，对已知

图象能读图、识图，从图象解释函数变化的关系.

【要点梳理】

要点一、函数的几种表达方式：

变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种：

（1）解析式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式.

（2）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法.

（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系.

要点诠释：函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变最之间的内在联

系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数

值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；

图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象

可以充当重要角色.

要点二、函数的图象

对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标

平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.

要点诠释：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的

取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应

的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.

【典型例题】

类型一、函数的三种表示方法

©>1.（2020・全国八年级课时练习）下面关于函数的三种表示方法叙述错误的是（）

A.用图象法表示函数关系，可以直观地看出因变量如何随着自变量而变化

B.用列表法表示函数关系，可以很清楚地看出自变量取的值与因变量的对应值

C.用公式法表示函数关系，可以方便地计算函数值

D.任何函数关系都可以用上述三种方法来表示

【答案】D

【分析】根据函数的表示方法的优缺点分析解答即可.

【详解】

A.用图象法表示函数关系，可以直观地看出因变量如何履着自变量而变化，此选项正确；

B.用列表法表示函数关系，可以很清楚地看出自变量取的值与因变量的对应值，此选项正确;

C.用公式法表示函数关系，可以方便地计算函数值，此选项正确；

D.并不是任何函数关系都可以用上述三种方法来表示，此选项错误.

故选：D.

【点拨】本撅考杳函数的表示方法，明确三种表示方法的特点是•解撅的关键.

举一反三：

【变式】（2020•全国七年级课时练习）下列说法中正确的是（）.

A.两个变量间的关系只能用关系式表示

B.图像不能直观地表示两个变量间的数量关系

C.图像可以直观表示出国变量随自变量的变化情况

D.以上说法都不对

【答案】C

【分析】

表示函数的方法有三种：解析法、列表法和图象法.

解•：A、两个变量间的关系只能用关系式表示，还能用列表法和图象法表示，故错误；

B、图象能直观的表示两人变量间的数量关系，故错误；

C、图像可以表示出因变最随自变量的变化情况，正确；

D、C选项正确，AB选项错误，故此选项说法错误；

故选：C.

【点拨】本题考查了函数的三种表示方法：解析法、列表法和图象法.要熟练掌握.

类型二、函数图象的识别

0>2.（2020•深圳市南III区笫二外国语学校（集团）七年级期中）2019年5月16日，笫

十五届文博会在深圳拉开帷幕，周末，小明骑共享单车从家里出发去分会馆参观，途中突然

发现钥匙不见J',于是原路折返，在刚才等红绿灯的路口找到了钥匙，便继续前往分会馆,

设小明从家里出发到分会场所用的时间为分钟），禽家的距离为y（米），且X与y的关

系示意图如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题：

（1）图中自变量是.因变量是.

（2）小明等待红绿灯花了分钟.

（3）小明的家距离分会馆米

（4）小明在时间段的骑行速度最快，最快速度是米/分钟.

时间（分钟）

【答案】（1）时间x；离家的距离y；（2）2；（3）1500；（4）12-13；240.

【分析】

（1）根据函数图象可以直接写出自变量和因变量；

（2）根据题意和函数图象可以得到小明等待红绿灯所用的时间；

（3）根据函数图象可以得到小明的家距离分会馆的路程；

（4）根据函数图象可以得到在哪个时间段内小明的速度最快，并求出此时小明的速度.

解：（1）由图可知，图中自变量是时间x,因变量是离家距离y,

故答案为时间x,离家距离y；

（2）由图可知，小明等待红绿灯花了：10-8=2（分钟），

故答案为2；

（3）由图可得，小明的家距离分会馆1500米，

故答案为1500；

（4）由图可知，

小明在12-13时间段内速度最快,此时的速度为:（1200-960）+1=240米/分，

故答案为12-13、240.

【点拨】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

举一反三：

【变式】（2018•山东济南n•七年级期末）如图①，直角梯形ABCD中，动点P从B点出发,

由B-C-D-A沿梯形的边运动，设点P运动的路程为x,AABP的面积为y,函数图象如

图②所示，则直角梯形ABCD的面积为.

【答案】26.

【分析】本题考查动点函数图象的问题，要根据图象判断出各边的边长.

解：动点P从8点出发，由8-C-Q-4沿梯形的边运动；当运动到线段CO上时，三角

形的面积的值开始固定.由图象可以看出，x为4时，面积开始不变，所以8C为4；

x为9时，面积不变结束，所以CO=9-4=5；

那么14-9=5,4B=CD+d心_BC?=5+,52—42=8

，直角梯形力&?。的面积为（5+8）X4=26.

2

【点拨】应根据题中所给的条件先判断出面积不变的开妗与结束的点，进而判断出相应的线

段的长度，再求解.

类型三、从函数图象中获取信息

©>3.（2020•沈阳市第一二六中学八年级期末）4、8两地相距150km,甲、乙两人先后

从力地出发向4地行驶，甲骑摩托车匀速行驶，乙开汽车且途中速度只改变一次，如图表

示的是甲、乙两人之间的距离S关于时间，的函数图象（点厂的实际意义是乙开汽车到达8

地），请根据图象解答下列问题：

(1)甲的速度;

(2)乙变速之前速度为,乙变速之后速度为，点E的坐标；

(3)当甲、乙两人相距10km时，直接写出/的值.

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【答案】(1)30km/h；(2)80kmzh,55km/h,(3.9,0)；(3)一。或3.56或4.3〃或一〃•

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【分析】

根据图形可知C点之前，只有甲出发了；C-D段，乙出发了但是还没有改变速度：D-E-F段

乙改变了速度，其中在E点乙追上了甲，F点乙到达目的地.由此

(1)根据AC段可计算出甲的速度；

(2)根据CD段可计算出乙改变速度之前的速度，D-E-F段乙改变速度并再用了2.5h到达

目的地可算出乙变速后的速度，根据E点乙追上了甲，可计算出E点的坐标；

(3)分①乙出发前，②乙出发后未追上甲之前，③乙超过甲、但是未到达目的地，④乙到

达目的地后四种情况即可得出t的值.

解：(1)由图可得，

甲的速度为：60+2=30km/h,

故答案为：3()km/h；

(2)设乙刚变速前的速度为akm/h,

30x2.5-35=(2.5-2)a,

解得，a=80,

设乙变速后的速度为bkm/h,

150-0.5x80=(4.5-2.5)b,

解得，力=55,

V35-(55-30)=1.4,

，点E的坐标为(3.9,0),

故答案为：80km/h,55km/h,(3.9,0)；

(3)①在乙出发前，若甲、乙两人相距10km,

②乙出发后未追上甲之前，甲、乙两人相距未km,

(55-30)(/-2.5)=35-10,解得，=3.5/?；

③乙超过甲，但是未到达目的地，甲、乙两人相距10km,

（55-30）0-3.9）=10,解得f=4.3〃；

④乙到达目的地，甲、乙两人相距10km,

1=140+30=134.

3

114

综上所述，t的值为鼻力或3.5〃或4.3/r或可"

114

故答案为：一〃或3.5分或4.3〃或一h.

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【点拨】本题考查通过函数图象获取信息.解答本题的关键是明确题意，结合图象找出所求

问题需要的条件，利用数形结合的思想解答.

举一反三：

【变式】（2018•山东济南市♦七年级期中）地铁•号线的列车匀速通过某隧道时，列车在隧道

内的长度V（米）与列车行驶时间x（秒）方间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：

①列车的长度为120米；

②列车的速度为30米/秒

③列车整体在隧道内的时间为25秒；

④隧道长度为750米.

其中正确的结论是（填正确结论的序号）.

N米

AB

150/-y------j\\c

0\30*r；秒

【答案】②③

【分析】

由图像5（30,150）,C（35,0）的纵坐标的含义可判断①；根据函数的图象即可确定在BC段,

所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒，可判断②；由6c段所对应的时间

LJQ段对应的时间相同，可判断③；由列车进入隧道到完全离开行驶时间为35s,结合列

车的长度可判断④；从而可得答案.

解.：由图像8（30,150）,0（35,0）的纵坐标的含义可得：列车的长度是150米，故①错误；

在BC段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒.故②正确;

由段所对应的时间与段对应的时间相同，

可得整个列车都在隧道内的时间是：35-5-5=25秒，故③正确；

隧道长是：35x30-150=1050-150=900故④错误.

故正确的是：②③.

故答案是：②③.

【点拨】本题主要考查了用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意

义是解题的关键.

类型四、动点问题的函数图象

©^4.（2021•北京东城区•九年级期末）如图1,在△力8C中，＞4C,。是边上一动

点，设B,D两点之间的距啕为％两点之间的距离为y,表示y与％的函数关系的图象如

图2所示.则线段4c的长为,线段的长为.

【答案】V132西

【分析】从图2的函数图象得知，RDr的最大值为7,即RC=7,同时AC=y-g,可由

图2中（1,旧）知，BD=1时，AD=jn，作AE_LBC于E,利用等腰三角形的性质以及勾

股定理即可求解.

解：由图2的函数图象可知，BD=x的最大值为7,

・・・BC=7,此时点C、D重合，对应AC=y=g,

再由图2中（1,g）知，BD=1时，AD=V13，

如图：作AE±BCTE,

VAC=AD=x^l3，BD=1,BC=7,

ADE=CE=1DC=1（BC-BD）=3,

,•AE=V/4D2—DE2=J（VT5）2-92=2，

在RtAABE中，ZAEB=90°,AE=2,BE=BD+DE=4,

••・AB=\AE2+B/?2=V22+42=2V5.

故答案为：VT5，2伤.

【点拨】本题主要考查了动点问题的函数图象，等腰三角形的性质，勾股定理的应用等知识,

正确理解D点运动到何处时BD长最大以及点（1,旧）的意义是关键，同时也考察了学生对

函数图象的观察能力.

举一反三：

【变式】（2019•山西省太原五育中学八年级月考）如图（1）,在中，ZJC5=90°,

D为斜边48的中点，动点P从B点出发，沿B-C-A运动，设S△6嵋=p，点P运动的路

程为x,若y与x之间的函数图象如图（2）所示，则48的长为

DB

图⑴

【答案】5

【分析】根据题意可以得到BC和AC的长，由NACB=90。，根据勾股定理可以求得AB的

长，本题得以解决.

解：由题意可知，当点尸从点8运动到点C时，面积达到最大，当运动到点力时，面积变

为0,由图②可知，BC4。=7—4=3,

*/NJC6=90c,

•••AB=yjBC2+AC2=742+32=5-

故答案为：5

【点拨】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答

问题.

【变式X2017•陕西九年级专题练习）如图1,在四边形力8CO中，ABUCD,ZADC=90°,

点尸从点4出发，以每秒1个单位长度