数学物理方法留数定理-实积分

你们好2第四章留数定理3学习要求与内容提要目的与要求：掌握留数的概念及计算方法。重点：难点：留数的计算与留数定理留数的计算与留数定理4一、留数引入设为的一个孤立奇点;内的罗朗级数:在.的某去心邻域邻域内包含的任一条正向简单闭曲线4.1留数定理ll001010)()()(azzazzazfkk++-++-+=----LLLLL+-++-+kkzzazza)()(00150(重要结论)0(基本柯西定理)LLL+-++-+=òò----CCkkzzzazzzad)(d)(1010LL+-++-++òòòzzzazzzazakCkCCd)(d)(d001012-p=ia的系数罗朗级数中负幂项101)(---zza6zzfiaCd)(211òp=-即定义

的一个孤立奇点,则沿如果记作内包含的任意一条简单闭曲线C的积分的值除后所得的数称为以.))(101的系数幂项---zza7二、利用留数求积分说明:2.留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求被积函数在C内各孤立奇点处的留数.1.留数定理在区域D内除有限个孤外处处解析,C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,那么立奇点函数内部处处解析；上及在CCzf)(.18证[证毕]两边同时除以且...如图92.留数的计算方法(1)如果为的可去奇点,如果为的一级极点,那么规则1(2)如果为的本性奇点,(3)如果为的极点,则有如下计算规则展开则需将成罗朗级数求1-a10如果为的级极点,规则2证那么+-++-=----2020)()()(zzazzazfmmLL+-++-+--)()(010101zzaazza101010)()()()(--+---++-+=-mmmmzzazzaazfzzLL+-+-++10100)()(mmzzazza11+(含有正幂的项)两边求阶导数,[证毕]得1)!1(--=am,)!1()]()[(ddlim10110---®-=-amzfzzzmmmzz10]),(Res[-=azzf所以12规则3

如果设及在都解析，证的一级零点,为的一级极点.为那么为的一级极点,

且有13解析且在因此其中在解析且为的一级极点,14三、在无穷远点的留数注意积分路线取顺时针方向说明记作1.定义设函数在圆环域内解析，C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，1]),(Res[--=¥azf1--=a15.......证由留数定义有:(绕原点的并将内部的正向简单闭曲线)包含在2.定理二如果函数在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那么在所有的奇点(包括点)的留数的总和必等于零.[证毕]16说明:由定理得(留数定理)计算积分计算无穷远点的留数.优点:使计算积分进一步得到简化.(避免了计算诸有限点处的留数)173.在无穷远点处留数的计算规则4说明:定理二和规则4提供了计算函数沿闭曲线积分的又一种方法:在很多情况下此法更为简单.18四、典型例题例1求在的留数.解19例2求在的留数.分析是的三级零点由规则2得计算较麻烦.20如果利用罗朗展开式求较方便:解21说明:如为m级极点，当m较大而导数又难以计算时,可直接展开罗朗级数求来计算留数.在实际计算中应灵活运用计算规则.22例3求在的留数.解是的四级极点.在内将展成罗朗级数:23例4计算积分C为正向圆周:解为一级极点,为二级极点,2425例5计算积分C为正向圆周:函数在的外部,除点外没有其他奇点.解26与以下解法作比较:被积函数有四个一级极点都在圆周的内部,所以由规则327可见,利用无穷远点的留数更简单.例6计算积分C为正向圆周:解除被积函数点外,其他奇点为28由于与1在C的内部,则所以294.2应用留数定理计算实变函数定积分

留数定理的主要应用之一：计算某些实变函数定积分原理：设法把实变函数定积分跟复变函数回路积分联系起来。

留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数。这就要利用解析延拓的概念。30如图，对于实积分，变量x定义在闭区间[a,b](线段l1)，此区间应是回路l=l1+l2的一部分。实积分要变为回路积分，则实函数必须解析延拓到复平面上包含回路的一个区域中，而实积分成为回路积分的一部分：左边可以利用留数定理，右边对l2

的积分在解析延拓允许的情况下，可以自由选择，通常选择l2

使积分最易完成。31一、形如的积分思想方法:封闭路线的积分.两个重要工作:1)积分区域的转化2)被积函数的转化把定积分化为一个复变函数沿某条32形如当历经变程时,的正方向绕行一周.z沿单位圆周33z的有理函数,且在单位圆周上分母不为零,满足留数定理的条件.包围在单位圆周内的诸孤立奇点.34例1计算积分解则3536例2计算解令37极点为:(在单位圆内)(在单位圆外)38例3解故积分有意义.394041因此42若有理函数R(x)的分母至少比分子高两次,并且分母在实轴上无孤立奇点.一般设分析可先讨论最后令即可.二、形如的积分432.积分区域的转化:取一条连接区间两端的按段光滑曲线,使与区间一起构成一条封闭曲线,并使R(z)在其内部除有限孤立奇点外处处解析.(此法常称为“围道积分法”)1.被积函数的转化:(当z在实轴上的区间内变动时,R(z)=R(x))可取f(z)=R(z).44xy..这里可补线(以原点为中心,R为半径的在上半平面的半圆周)与一起构成封闭曲线C,R(z)在C及其内部(除去有限孤立奇点）处处解析.取R适当大,使R(z)所有的在上半平面内的极点都包在这积分路线内.45根据留数定理得:当充分大时,总可使4647例4计算积分解在上半平面有二级极点一级极点4849xy..积分存在要求:R(x)是x的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次,并且R(z)在实轴上无孤立奇点.与曲线C,使R(z)所有的在上半平面内的极点包在这积分路线内.同前一型:补线一起构成封闭都三、形如

的积分（含约旦引理）50对于充分大的,且时,有51从而52由留数定理:53例5计算积分解在上半平面只有二级极点又54注意以上两型积分中被积函数中的R(x)在实轴上无孤立奇点.55四、形如的积分要求:f(z)是实轴上无奇点，在上半平面除了有限个孤立奇点bk外处处是解析的；在包括实轴的上半平面（0≤argz≤π）中，当时，f（z）一致趋于0，且p>0，则有56证：若f（x）为偶函数，则接下来，仿照上面所讨论的无穷积分那样，考虑函数沿围道的积分。

57所以而当时，f（z）在包含实轴的上半平面中一致趋于0，p>0，故由约旦引理有即58例6计算狄利克雷积分分析