高考数学理试题分类汇编圆锥曲线

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高考数学理试题分类汇

编圆锥曲线

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2019.10.26

中国•广州

2017年高考试题分类汇编之圆锥曲线（理数）解析

一、选择题....................................................2

二、滇空题....................................................5

三、大题......................................................7

一、选择题

【浙江卷】2.椭圆＜+4=1的离心率是

94

713Rx/5

33

【解析】。=耳三=李，选B.

33

【全国1卷（理）】10.己知”为抛物线G/=4》的焦点，过“作两条互相垂直的

直线4,h，直线△与C交于1、8两点,直线人与C交于。、£两点，贝U

|力夕H应|的最小值为（）

A.16B.14C.12D.10

批注川U1]:方法：知据胭意可判断当A与D,B.E

【解圻】设的倾斜角为。.作A&垂直准线，八&垂直x轴

关于x轴对称，即宜线DE的斜率为I,|AB+IDEI最

小,根据弦长公式计算即可.

|AF|.cos6+|GF|=|AKj（几何关系）方法二：设物两白线的帆斜角•利用焦点弦的弦长公

式分别表示出|AB|,DEI,整理求斛答案

易知\AKt\=\AF\（抛物线特性）

/.|4F-cos^+/>=|4F|

同理0F|=―-—,1\BF\=--—

11l-cos。11+COS。

■2P2P

又。E与心垂直，即。£的倾斜角为会6

2P2P

|QE|=—

cos*

sin2A”

而y=4*,即尸=2.

工叱同=2P（*+为）］sin?6+cos*416

>16.当人

sin2He。/0sin?^cos201sin?20

—sinLU

4

取等号

肛|4B|+|D£|最小俏:为■，故选A

【全国II卷（理）】9.若双曲线C：E-§=1（〃〉（），〃>0）的一条渐近线被圆

a'b'

（X-2）2+炉=4所截得的弦长为2,则C的离心率为（）

A.2B.GC.&D.当

【解析】取渐近线），=3,化成一般式尻-胡=0,圆心（2.0）到直线距离为

a

Ja2+3

得=4a29『=4,e=2.

・・・—，可得小3,即消

°，=4，故选A

a3

【天津卷】（5）已知双曲线2）的左焦点为F,离心率为△若

经过尸和P（0,4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为

()

A.二一工=|

44

【解*斤】由题意得a=b、&=-1nc=4,a=〃=2&=——=1»故选B,

-<?88

二、滇空题

【全国1卷（理）】15.已知双曲线C：4-4=1（a>0,於0）的右顶点为人以力

ZTb-

为圆心，6为半径做圆儿圆/与双曲线。的一条渐近线交于MN两点.若/

始年60°,则。的离心率为.

【解析】如图，

|04|=«,|AN|=|AM|=〃

AMAN=60°,・，・|州=争，\OP\=-|E4f=Ja「子工

【全国2卷（理）】16.已知〃是抛物线C:），=8x的焦点，M是。上一点，成/的

延长或式y轴于点N.若M为FN的口点,则卜7V|=.

【解析】）2=8*则"=4,焦点为F（2,0）,准线/:x=-2,

如图：M为F、N中点,

故易划线段BM为梯形A/MC中位线，

•；CN=2,AF=4>

，|M£|=3

又由定义|M£|=|MF|，

且M“=|NF|，

|Nf|=|W|+|MF|=6

【北京卷】（9）若双曲线.--£=1的离心率为则实数m.

m

【解析】.2^E=G=,〃=2

【江苏卷】8.在平面直角坐标系才如中，双曲线的右准线与它的两条渐

近线分别交于点匕。其焦点是£,£，则四边形APF?。的面积是.

【解听】右准线方程为。京=噜，渐近线为一冬，则哈m*,

不一加⑼，E（Vio.o）,则s=2Vi5x答=26.

【山东卷】14.在平面直角坐标系工作中，双曲线4―1=|（八06>0）的右支与焦点

为F的抛物线-=2px（p>0）交于AB两点,若|"|+|四=4|OF|,则该双曲线的渐近线

方程为.

三、大题

【全国I卷（理）】20.（12分）已知椭圆a£+£=1（於力0）,四点幺

a'b~

（1,1）,月（0,1）,月（-1,*）,月（1,*）中恰有三点在椭圆。上.

22

（1）求。的方程：

（2）设直线/不经过月点且与C相交于九夕两点.若直线月力与直线月8的斜率的

和为-1,证明：/过定点.

20.解：（1）根据椭圆对称性，必过6、P、

乂2横坐标为1,椭圆必不过『所以过鸟，巴，鸟三点

将6（0,I）,，-],日卜弋入椭圆方程得,

3>解得a)=4,b2=1

«*b2

••・椭圆C的方程为：二+F』

4

（2）①当斜率不存在时,设/:x="】，A（m,yA）,B（m,-yA）

mmm

得切=2,此时/过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足.

②当斜率存在时,设/：y=H+M“l）

阪，X），8k,%）

联立]：.二；）4=0'整理得（1+的/+83+4，-4=0

-&kb4b:-4

…=T7/t=\+4k2

则即.即二XT।.一I:电（村+力）-电+西（心:+3-曷

X]X,X[&

随：-弘-8处2+8妨

1+4E.=一|,又bw\=b=-2kT,此时存在人•使得

4b2-4A=FU,

I+4M

A>0成立.

*,•直线/的方程为y=kx-2k-\

当x=2时，y=-1

所以，过定点（2,-1）.

【全国II卷(理)】20.(12分)设。为坐标原点，动点必在椭圆C：+=1

上，过必做x轴的垂线，垂足为A；点尸满足而=0丽

(1)求点〃的轨迹方程：

(2)设点。在直线尸-3上，且而而=1.证明：过点/＞且垂直于面的直线/过C

的左亲

点、F.

.解：(1)设"》，y),易知N(x.0)

N"(O,y)又W=专"i)

•*.M(x,唬＞],又M在椭圆上.

・・.,+(1]=|,即f+«=2.

⑵设点Q(-3，%),P"yp),(ya工0),

由已如:OPPQ=(xP,»)(-3-».y0-»)=l，

bP(OQ-OP)=OPOQ-\oi^=\,

OPOQ=\O^+\=3,

XpxQ+ypyQ=-3AY+ypyQ=3.

设直线。。：户*x，

-3

因为直线/与左垂直.

.,3

••Ki=

)b

故直线，方程为y=工。-.)+»，

、Q

令y=0»得=3(x-xP)»

1

--­»>(/=x-^，

.1

,,■'=--»y<?+VP，

,•*»J0=3+3,vP,

K=-；(3+3.Yp)+Xp=-l，

若M=°，则-3“=3,xF=-i»=±l»

直线"方程为广0,直线/方程为x=-l，直线/过点(-1,0)，为椭圆C的左焦点.

【全国III卷（理）】20.（12分）己知抛物线C4=2人过点（2,0）的直线/

交C与4〃两点，圆也是以线段/步为直径的圆.

（1）证明：坐标原点。在圆J/上：

（2）设圆"过点产（4,-2）,求直线/与圆"的方程.

解：（1）显然，当直线斜率为。时，直线与抛物线交于一点，不符合期意.

设/:*=""+2,A（x,X）,8*2，力），

联立：F=2x得62切,-4=0,

（X=my+2

2

△=4m+16恒大于0,>'i+>'2=2/.i,yty2=-4.

/.OA1OB,即。在圆M上.

⑵若圆用过点P,则防粉，=。

化简得2加一〃-1=0解得切=或1

①当，〃=-；时，/：2x+."4=0圆心为。心城，

><'=24A=_r毛T与+2=：，

半径y即小［+信）

则圆A/:+（y+1尸=称

4216

②当m=1时，/：x-.v-2=0圆心为。.%,另），

."'产=[,•%=%+2=3，

半径r=|OQI=加+r

则圆M:（x_3）2+（y_|f=]0

【北京卷】（18）（14分）已知抛物线G4=2”过点尸（1,1）.过点（1]）作直线

7

1与抛物线。交于不同的两点现M过点M作x轴的垂线分别与直线GP、公，交于点

48其中。为原点.

（I）求抛物线。的方程，并求其焦点坐标和准线方程：

（II）求证：力为线段XV的中点.

（18）解：（I）把尸（1,1）代入六2口得六L・.C:六筋

2

，焦点坐标（,，0）,准线：x=--.

44

（II）设，：y=kx^-,AM）,B（x.y）,OP：y=x,ON：y=^-x,

2.r2

由题印力（公，汨），8（"垩）

x,

>>:+—）詈，…嗑

y=x

由而+即=1,>X\X-ir—r

k'4K

\-k

上式=23+—=2米1+（1—攵）•2.r,=23.•.力为线段BM中点.

2x」~

4Kxi

【江苏卷】17.（14分）如图，在平面直角坐标系x勿中，椭圆

E../A…）的左、右焦点分别为序&离心率吗，两准线之间的

距离为8.点P在椭圆£上，且位于第一象限，过点村作直线房的垂线人过点“

作直线PF1的垂线匕

（1）求椭圆£的标准方程:

（2）若直线人人的交点。在椭圆£上，求点〃的坐标.

17•解：⑴:椭圆£的离心率为".・汨①•・・.两准线之间的距离为8・・・

98②.联立①®得”2,-5故椭圆加标准方程弟+9

广一卫"+1)*=f

(2)设尸(知用)，则毛>0.为>0,由题意得，%,整理得，

门-3(1)P->0

%

•・•点Pg,%)在椭圆£上，，鸟+*=1，・・・1=仁婆，.••片=?y；=g，故点

4333yl/7

的坐标是邛苧.

【江苏卷】B.［选修4-2：矩阵与变换］(本小题满分10分)

已知矩阵走，庐.

(1)求AB\

(2)若曲线如《+£=1在矩阵力方对应的变换作用下得到另一曲线C.求G的方程.

82

B.解:(1)AB=.

(2)设P0,yJ是曲线G上任意一点：变换后对应的点为［；［=［；3］；［，

*=y

所以X=2y，,即।；，因为P(小x)在曲线G上，所以V+y2=8即曲线心的方

■

【山东卷】(21)(本小题满分13分)

在平面直角坐标系中，椭圆E：*+£=1(">8>0)的离心率为孝，焦距为2.

(I)求椭圆E的方程:

(H)如图，动直线/:尸心-母交椭圆E于A8两点，C是椭圆£上一点，直线

OC的斜率为1且g=当，M是线段OC延长线上一点，且附:|阴=2:3,的

半径切MC|,QS,O7■是的两条切线，切点分别为s.r.求/sor的最大值，并求取

得最大值时直线/的斜率.

⑵，解：⑴由题意知吒邛，”2,

所以a=42.b=I,

因此椭圆E的方程为J

(II)设A(x”yJ.B(*2，y2),

联立方程」2

得（4A,2+2尸-4Ax-1=0,

由题意知△>(),

14$+X,=29人,$居=——-~——-，

'-2jt；+l122（2勺2+1）

»I

由题意知他邛，

由此直线OC的方程为），啧X.

联立方程一

因此的二际7二层*

3&1+24

4

卜4k；gk；

令r=l+2A『,

则r>1果(0,1),

当且汉当;=3,即，=2时等号成立,此时…率

综上所述：Z5”的最大值为取得最大值时直线，的斜率为用=±4,

【天津卷】（19）（木小题满分14分）

设椭圆£+g=l（a＞）＞0）的左焦点为尸，右顶点为A,离心率为L已知A是抛物

crb-2

线y2=2PMp＞0）的焦点，F到抛物线的准线/的距离为;.

（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；

（II）设/上两点P,。关于x轴对称.直线八夕与椭圆相交于点8（B异于点

A）,直线4Q与x轴相交于点“若△AM的面积为手，求直线A尸的方程.

（19＞⑴解：设尸的坐标为9）•依题意