高考数学二轮复习 专题七 概率与统计 专题能力训练21 随机变量及其分布 理-人教版高三数学试题

专题能力训练21随机变量及其分布

能力突破训练

L甲射击命中目标的概率是2,乙命中目标的概率是玉丙命中目标的概率是现在三人同时射

击目标,则目标被击中的概率为（）

32

A-4B.大

47

C

-510

2.（浙江,8）已知随机变量f满足P（f产D=p„P（fR）i=\,2,若OS①g,则（）

A.£（3）<E[打），〃（△）50）

B.£（△）<E[仇，）>以《2）

C.£（3）》（口，〃（3）<Z?（<2）

D.£（—（兵），〃（△））〃（

3.一袋中有5个白球,3个红球，现从袋中往外取球（除颜色外其他完全相同），每次任取一个记

下颜色后放回，直到红球出现】（）次时停止,设停止时共取了才次球,则〃（412）等于（）

A.碱窗

B.C啕能

CC蹴¥

氏唱以窗

4.已知某批零件的长度误差（单位:毫米）服从正态分布A（0,3%则从中随机取一件,其长度误

差落在区间（3,6）内的概率为（）

（附：若随机变量，服从E态分布H则

-。"<〃+。）=68.27%,-2a<4+2。）N95.45%.）

A.4.56%B.13.59%

C.27.18%D.31.74%

5.如图所示,4〃两点5条连线并联,它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.

记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为％则A^8）-.

6.设离散型随机变量1的分布列为

若随机变量片"-2/,则P。%=.

7.已知随机变量X服从二项分布B5,P）.若M=30,M=20,则夕-.

8.A,B两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间（单位:天）记录如下：

A组：10,11,12,13,14,15,16

B组：12,13,15,16,17,14,a

假设所有病人的康复时间相互独立，从A,B两组随机各选1人,A组选出的人记为甲，B组选出

的人记为乙.

（1）求甲的康复时间不少于M天的概率；

（2）如果a25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；

（3）当a为何值时,A,B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）

9.（山东，理18）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体

方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理

暗示.通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有e名男

志愿者AbA2,A3,AI,A5,AeW4名女志愿者BbB2,B3,B）,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另

5人接受乙种心理暗示.

（1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含%但不包含&的概率.

(2)用I表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求乃的分布列与数学期望Ed).

10.某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定.小王到该

银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个

密码之一.小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试;否则继续

尝试,直至该银行卡被锁定.

(D求当天小王的该银行卡被锁定的概率；

(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X求X的分布列和数学期望.

11.若〃是一个三位正整数,且〃的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称〃为

“三位递增数”（如137,359,567等）.

在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只

能抽取一次.得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得

0分;若能被5整除，但不能被10整除,得T分;若能被10整除,得1分.

（1）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；

（2）若甲参加活动,求甲得分I的分布列和数学期望E[X}.

思维提升训练

12.

在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分（曲线C为正态分布*（0,1）的密

度曲线）的点的个数的估计值为（）

A.2386

B.2718

C.3414

I).4772

附:若才力（〃，d）,则尸（〃-。4冬〃+。）-0.6827,2（以一2。但〃+2。）20.9545.

13.在15个村庄中有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个村庄,用才表示这10个村庄中

交通不方便的村庄数,下列慨率中等于扁的是（）

A.P(42)B.尸(启2)

C.〃(筋=1)D.PQW4)

14.某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器

时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买则每

个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机

器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记¥表

示2台机器三年内共需更换的易损零件数,〃表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

（1）求I的分布列;

（2）若要求PgQ20.5,瑜定〃的最小值;

⑶以购买易损零件所需费用的均值为决策依据,在〃口9与n=20之中选其一,应选用哪个?

15.某家电产品受在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每件的利润（单位:百元）与该产

品首次出现故障的时间（单位:年）有关.某厂家生产甲、乙两种品牌，保修期均为2年.现从该

厂已售出的两种品牌家电中各随机抽取50件,统计数据如下：

品

甲乙

牌

首

次

出

现

故0<2<11<X2x)2oaw2

»早

时

间

.V

数

2345515

帝

每

件

1231.82.9

利

润

将频率视为概率,解答下列问题:

(1)从该厂生产的甲、乙品牌产品中随机各抽取一件,求其至少有一件首次出现故障发生在保

修期内的概率；

(2)若该厂生产的家电均能售出,记生产一件甲品牌家电的利润为品生产一件乙品牌家电的利

润为从分别求照工的分布列：

(3)该厂预计今后这两种品牌家电销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的家电.若

从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的家电?说明理由.

16.(江苏,23)已知一个口袋中有加个白球,〃个黑球(〃/,〃22),这些球除颜色外完全相同.

现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m+n的抽屉内，其中第k

次取出的球放入编号为左的抽屉(A=l,2,3,…,勿加).

]2

••••1"/.

(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率0；

⑵随机变量/表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,以心是：的数学期望，证

明：E3+n)(n-

参考答案

专题能力训练21随机变量及其分布

能力突破训练

1.A解析设甲命中目标为事件/I,乙命中目标为事件反丙命中目标为事件C,则击中目标表示

事件46。中至少有一个发生.7

K不京。)=P(A)•〃(R)・P(C)=[1-尸(4]•[1-尸(0]•[1-2(。]二

(14)x(1x(1-；)=；・•・・击中的概率P=\-PG荷©4

2.A解析"(和)印,£(乙).，

.：£(<i)<E{<2).

;〃(fI)小(19)，〃($2)=R(1-A),

「〃(fi)-D(f2)-(pi-Pi)(1~P\-pz)<0,故选A.

3.D解析由题意知第12次取到红球,前11次中恰有9次红球2次白球，因为每次取到红球的

3/3\9/5\23

概率为由所以以了二⑵二品同x回x铲

4.B解析由正态分布MO,*可知，$落在(3,6)内的概率为

P3-2。vfV〃+2(r)-PQi-<7<f</z+tr)

2

95.45%-68.27%

~--------=---------13.59%.

4

5,5解析由已知得，1的可能取值为7,8,9,10,则P(48)与〃(47)是对立事件，故

C犯；4

P(48)=1-尸(4=7)=L5,

6.0.5解析由分布列的性质，知0.2WIN).1。3加=1,则/胪0.3.由右2,即"-2/3,得六4或

故P(NN)二尸(JM或口))二产(AM)+P(六0)R.3刃.2<5.

1件(X)=即=30,1

7.§解析根据二项分布的均值、方差公式，得①5)二叩(1皿=20,解得夕行

8.解设事件4为“甲是A组的第/个人”，事件氐为“乙是B组的第/个人”，了=1,2,…,7.

由题意可知P(M=P®』，>=1,2,…，7.

(1)由题意知,事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人,或者第6

3

人,或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是〃(4U4U4)=尸(4)+P⑷巧.

(2)设事件。为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，由题意知,C=4/U4笈U45U45U

4氏U士UA7B2UAIIIAU4/UA〈R>.

因此

P9=P(AB)+P5B)+P(限卧+P(AB)+PUB)+P(AbB)+P也B)+P(A出)V(4属)/(4氐)工02(力

⑻二10尸(4)P(㈤

(3)a=U或a=18.

得5

9.解⑴记接受甲种心理暗示的志愿者中包含Ai但不包含B.的事件为M则以附不=诵.

5o1U

⑵由题意知《可取的值为：o,1,2,3,4,则

W-a--一.__1

P(X=^O■42,

㈣g

P<X=\)=rf

C1O21

C热10

KX=2)

~2r

反

〃(六3)=r21t

尸的)二42,

因此1的分布列为

X的数学期望是

E(X)4)XP(六0)+1Xp(X=1)+2XP(六2)*3X尸(/仁3)用XP(X=4)

51051

力刊X五#2X五+3X五网x豆之•

10.解⑴设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为4

5431

-X--

则P(力)542

(2)依题意得,才所有可能的取值是1,2,3.

、1,511、542

又户（六D%Pix也宅X亏=@〃（心3）7X5x1与所以才的分布列为

.1123

,1125

所以E(X)=\x4+2x%+3xw=].

U.解(1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,34位

⑵由题意知，全部“三位递增数”的个数为篇34,遁机变量才的取值为:0,-1,1，因此

/、《2、鬣1,、1211

〃（收））年=》/（六T）万二百P（X=1）=1F；-W=/.所以才的分布列为

10-11

2111

Z--：1；12

…2,、1114

则E[X}=0X丁（-1）Xx42=n0

思维提升训练

12.C解析因为曲线C为正态分布MO,1）的密度曲线,所以P（-l依1）-0.6827,由正杰分布

密度曲线的对称性知P（OGWl）R.34135,即图中阴影部分的面积为0.34135.由几何概型知点

0.34135

落入阴影部分的概率P=—i—=0.34135.因此，落入阴影部分的点的个数的估计值为

10000X0.34135^3414.故选C.

10k

c5c8

13.C解析X服从超几何分布P（X=k）=-^-,故k=4.

L15

14.解⑴由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为

8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.

从而〃（六16）4）.2X0.2-0.04;

2（1=17）=2X0.2X0.4=0.16;

-18）=2X0.2X0.2X）.4X0.4=0.24;

PC仁19）=2X0.2X0.2+2X0.4X0.2-0.24;

〃(1=20)=2X0.2XO.4M.2X0.2=0.2;

〃(*⑵)NXO.2XO.2=0.08;

P(*=22)-0.2X0.24).04.

所以彳的分布列为

16171819202122

/0.010.160.240.240.20.08().01

(2)由⑴知狄朕⑻=0.44,P(XS19)R.68,故n的最小值为19.

(3)记J，表示2台机器在购买易损零件上所需的费用1单位:元).

当/7=19时，

Hn-19X200X0.68X19X200巧00)X0.2N19X200+2X500)X0.08+(19X200+3X500

)X0.04=1040.

当/?=20时，

E[Y)=20X200X0.88+(20X200与00)X0.08+(20X200/2X500)X0.04力080.

可知当〃=19时所需费用的均值小于/7-20时所需费用的均值,故应选〃=19.

15.解⑴设“甲、乙品牌家电至少有一件首次出现故障发生在保修期内”为事件4则

454519

夕(4)=1须*弥=同・

(2)依题意得,”的分布列为

123

13()

2550in

%的分布列为

.11.82.9

19143

(3)由(2)得以才)=1X25#2X5Q+3xTo=_5O_N86［百

19

元)，£(后=1.8x元+2.9x而N79(百元).因为£(%))£(%),所以应生产甲品牌家电.

Qn-1

16.解(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率夕为〃与，=/白.

5+n

(2)随机变量才.的概率分布为

11111

1.•••

nn+1n+2km+n