第5章 汽车的操纵稳定性3

5.3.1线性二自由度汽车模型的运动微分方程5.3.2前轮角阶跃输入下汽车的稳态响应特性5.3.3前轮角阶跃输入下汽车瞬态响应的特性参数5.3线性二自由度汽车模型对前轮角阶跃输入的响应5.3.1线性二自由度汽车模型的运动微分方程

1.线性二自由度汽车模型的基本假设

线性二自由度汽车模型的基本假设包括：

1）忽略汽车的转向系，因此直接以前轮转角作为汽车系统的输入。

2）忽略汽车悬架系统，认为汽车车身只作平行于地面的运动，因此汽车的垂直位移、俯仰以及侧倾均为零。3）汽车内、外侧车轮的转向角以及侧偏角相等。4)汽车行驶的车速不变。

5）汽车的侧向加速度限定在0.4g以下，因此轮胎的侧偏特性可以简化为线性，且忽略左、右侧车轮由于载荷的变化引起的轮胎特性的改变以及轮胎回正力矩的作用。6）汽车运动时的驱动力不大，因此不考虑驱动力变化及地面侧向力对轮胎特性的影响。7）不考虑空气动力的作用。1.线性二自由度汽车模型的基本假设

根据上面假设，汽车被简化为具有线性二自由度的汽车模型。图5-9线性二自由度的汽车模型2.线性二自由度汽车模型的运动微分方程

设固定于汽车上的直角坐标系为xOy，汽车坐标系的原点O与汽车的质心C重合，Ox和Oy分别为汽车坐标系的纵轴和横轴，如图5-9所示。图5-9线性二自由度的汽车模型2.线性二自由度汽车模型的运动微分方程汽车前轮继续以δ转角转弯行驶，经Δt时间以后，在t+Δt时刻，汽车坐标系的纵轴和横轴的方向发生了变化，汽车坐标系中质心速度的大小与方向也发生了变化，如图5-10所示。图5-10t时和t+Δt时刻汽车的运动速度图5-9线性二自由度的汽车模型2.线性二自由度汽车模型的运动微分方程沿Ox轴的速度分量的变化为图5-10t时和t+Δt时刻汽车的运动速度考虑很小，取工和，并忽略其二阶微量，上式可改写为将上式除以Δt并取极限，并考虑汽车绕z轴的角速度（称汽车的横摆角速度），得汽车质心处的绝对加速度在汽车坐标系Ox轴上的分量为（5-2）同理，可以得到汽车质心处的绝对加速度沿Oy轴的分量为（5-3）2.线性二自由度汽车模型的运动微分方程根据图5-9中汽车受力，二自由度汽车受到的沿y轴方向的合力以及绕质心C的力矩分别为图5-10t时和t+Δt时刻汽车的运动速度（5-4）（5-5）式中，k1

、k2分别为汽车前、后车轮的侧偏刚度，α1

、α2分别为汽车前、后车轮的侧偏角。汽车前、后车轮的侧偏刚度由轮胎的结构、气压等有关。（5-6）（5-8）根据式（5-1），将上式（5-4）和式（5-5）改写为2.线性二自由度汽车模型的运动微分方程图5-10t时和t+Δt时刻汽车的运动速度汽车被简化为刚性悬架的两轮摩托车，前、后轴中点在Ox轴方向上的速度为u；根据理论力学中速度合成定理，前轴中点在Ox轴上的速度等于质心在Oy轴上的速度v（牵连速度）加上前轴中点相对质心转动的速度（相对速度），即前轴中点在Oy轴方向上的速度为；同理，后轴中点在Oy轴方向上的速度为；汽车质心处的侧偏角为β，根据正切关系及考虑β较小，取β＝v/u。ξ是汽车前轴中心的速度u1与汽车纵轴Ox之间的夹角，根据正切关系及考虑ξ较小，可表示为（5-8）2.线性二自由度汽车模型的运动微分方程侧偏角α的正负由右手螺旋定侧确定。根据图5-9，得前、后车轮的侧偏角为图5-9线性二自由度的汽车模型（5-9）（5-10）将上面两式代入式（6-6）和式（6-7），得（5-11）（5-12）2.线性二自由度汽车模型的运动微分方程根据Newton运动定律，线性二自由度汽车模型的运动微分方程可写为图5-9线性二自由度的汽车模型（5-13）（5-14）将上式进行整理后得二自由度汽车的运动微分方程为（5-15）（5-16）3.前轮角阶跃输入下汽车的横摆角速度方程及其解

（1）前轮角阶跃输入下汽车的横摆角速度方程由式（5-16）解得β后代入式（5-15），再求，考虑β＝v/u，，由式（5-15）得（5-17）式中，

称为固有圆频率，

；

称为阻尼比，

，k1、k2为负值，故

为正值；

，

。3.前轮角阶跃输入下汽车的横摆角速度方程及其解汽车前轮角阶跃输入时，前轮转角是阶跃函数，前轮转角的数学表达式为（5-18）故当t>0后，式（5-17）进一步简化为式（5-18）是前轮角阶跃输入下汽车的横摆角速度方程，也是二阶常系数非齐次微分方程，其通解等于它的一个特解与对应的齐次微分方程的通解之和。3.前轮角阶跃输入下汽车的横摆角速度方程及其解

（2）前轮角阶跃输入下汽车的横摆角速度方程的特解根据假设，汽车行驶的车速u不变，式（5-18）等号右边为常数，显然，其特解为（5-19）式中，不随时间变化，为稳态横摆角速度；，称为稳态横摆角速度增益，称为稳定性因数，单位为s2/m2

，是表征汽车稳态响应的一个重要因素。3.前轮角阶跃输入下汽车的横摆角速度方程及其解汽车转向时，稳定性因数K=0，称为中性转向；K>0，称为不足转向；K<0，称为过多转向。汽车中性转向和不足转向是稳定转向，车速高时汽车过多转向是不稳定转向。3.前轮角阶跃输入下汽车的横摆角速度方程及其解

（3）前轮角阶跃输入下汽车的横摆角速度方程的通解前轮角阶跃输入下汽车的横摆角速度方程的通解由式（5-18）的齐次微分方程解得。与式（5-18）对应的齐次微分方程为（5-20）进一步得齐次微分方程通解的特征方程：

根据高等数学中的齐次微分方程求解方法，令齐次微分方程的解为，代入式（5-20），得：（5-21）3.前轮角阶跃输入下汽车的横摆角速度方程及其解式（5-21）是以s为变量的一元二次方程，根据一元二次方程的解，得：根据的数值．特征方程的根为（一对共轭复根，）（两个不同实根）3.前轮角阶跃输入下汽车的横摆角速度方程及其解再根据、微分方程解的结构，得齐次方程的通解：得到式（5-22）要用到e复指数函数的欧拉公式，并取实部。（5-22）（5-23）（5-24）3.前轮角阶跃输入下汽车的横摆角速度方程及其解

（4）前轮角阶跃输入下汽车的横摆角速度方程的解式（5-18）的通解等于它的一个特解与对应的齐次微分方程的通解之和，也即前轮角阶跃输入下汽车的横摆角速度方程的解阻尼来自轮胎，与轮胎的刚度有关，轮胎的气压高，刚度大，侧向变形小，轮胎内部的橡胶相对运动小，阻尼小，使汽车具有小阻尼的瞬态影响，所以下面只讨论在角阶跃输入后

时的横摆角速度方程的解。（5-25）3.前轮角阶跃输入下汽车的横摆角速度方程及其解将式（5-19）和式（5-22）代入式（5-25），得前轮角阶跃输入下、时的汽车的横摆角速度方程的解运动的起始条件为：t=0时，，，。根据运动的起始条件，由式（5-26）等解得积分常数C，得

时的前轮角阶跃输入下汽车的横摆角速度（5-26）（5-28）（5-27）3.前轮角阶跃输入下汽车的横摆角速度方程及其解根据式（5-27）和式（5-28）绘得前轮角阶跃输入下汽车的横摆角速度瞬态响应曲线；绘得不同阻尼比的前轮角阶跃输入下汽车的横摆角速度瞬态响应曲线。阻尼大，最大的横摆角速度小，横摆角速度衰减的时间短，达到稳态横摆角速度的时间短，汽车的操纵稳定性好；阻尼小，则反之。图5-11前轮角阶跃输入下汽车的横摆角速度瞬态响应曲线图5-12不同阻尼比的前轮角阶跃输入下的横摆角速度瞬态响应曲线5.3.2前轮角阶跃输入下汽车的稳态响应特性

1.稳态横摆角速度增益的特性（1）稳态横摆角速度增益1）稳态横摆角速度增益的公式和曲线稳态横摆角速度增益与稳定性因数K有关，取不同的K值，可得不同的稳态横摆角速度增益。（5-29）根据式（5-19），得稳态横摆角速度增益图5-13汽车的稳态横摆角速度增益曲线5.3.2前轮角阶跃输入下汽车的稳态响应特性

2）稳定性因数K=0时的稳态横摆角速度增益当稳定性因数K=0时，式（5-29）的分母等于1，稳态横摆角速度增益＝u/L，即稳态横摆角速度增益与车速成正比关系，随车速线性增加，稳态横摆角速度增益曲线为一条斜直线，如图5-13所示，斜率为1/L，这种转向称为中性转向。图5-13汽车的稳态横摆角速度增益曲线由于稳态横摆角速度增益曲线为一条斜直线，因此，中性转向汽车的稳态横摆角速度增益不产生突变，相应的汽车的稳态横摆角速度不产生突变；又由于汽车的车速为有限值，相应的汽车的稳态横摆角速度增益为有限值，相应的汽车的稳态横摆角速度为有限值，因此，汽车中性转向是稳定转向，不产生侧翻。5.3.2前轮角阶跃输入下汽车的稳态响应特性

3）稳定性因数K>0时的稳态横摆角速度增益当稳定性因数K>0时，式（5-29）的分母大于1，稳态横摆角速度增益比中性转向时小。稳态横摆角速度增益曲线是低于中性转向的汽车稳态增益曲线，且随着汽车行驶速度的增加，曲线呈现向下的趋势，如图5-13所示，这种转向称为不足转向，不足转向的汽车的稳态横摆角速度增益比相同车速下中性转向汽车的稳态横摆角速度增益小，汽车转向更稳定，因此，不足转向是稳定转向。图5-13汽车的稳态横摆角速度增益曲线5.3.2前轮角阶跃输入下汽车的稳态响应特性从图5-13中也可以看出，在不足转向特性下横摆加速度增益有一个最大值，即特征车速uch。对式（5-29）求极值，可以得到特征车速为图5-13汽车的稳态横摆角速度增益曲线（5-30）将式（5-30）代入式（5-29），得与特征车速相应的稳态横摆角速度增益为（5-31）5.3.2前轮角阶跃输入下汽车的稳态响应特性

4）稳定性因数K<0时的稳态横摆角速度增益当稳定性因数K<0时，汽车过多转向，式（5-29）的分母小于1，稳态横摆角速度增益比中性转向时大。稳态横摆角速度增益曲线是高于中性转向的汽车稳态增益曲线，且随着汽车行驶速度的增加，曲线呈现向上的趋势，如图5-13所示。图5-13汽车的稳态横摆角速度增益曲线根据式（5-29），当分母时，稳态横摆角速度增益趋于无穷大。由

，得稳态横摆角速度增益趋于无穷大的临界车速（5-32）5.3.2前轮角阶跃输入下汽车的稳态响应特性

4）稳定性因数K<0时的稳态横摆角速度增益图5-13汽车的稳态横摆角速度增益曲线当汽车行驶速度为ucr=时，稳态横摆角速度增益趋于无穷大，如图5-13所示，图中ucr的虚线为稳态横摆角速度增益曲线的渐近线，ucr为临界车速。临界车速与稳定性因数K有关，临界车速越小，渐近线越向左移，汽车越不稳定。5.3.2前轮角阶跃输入下汽车的稳态响应特性过多转向的汽车当行驶车速达到临界车速ucr时将失去稳定性。因为在临界车速附近时，横摆角速度增益趋于无穷大，只要极其微小的前轮转角，便会产生极大的横摆角速度，汽车的离心力极大，汽车将发生侧滑或侧翻而失稳；或当车速一定时，汽车的转向半径极小，汽车发生急转导致侧滑或者翻车事故。一般来说，由于过多转向的汽车容易失去稳定性，故汽车都应具有适度的不足转向特性，这一特点要用于汽车设计。图5-13汽车的稳态横摆角速度增益曲线5.3.2前轮角阶跃输入下汽车的稳态响应特性图5-13汽车的稳态横摆角速度增益曲线

5）前轮角阶跃输入下汽车响应的稳定条件前轮角阶跃输入下汽车响应的稳定条件是稳定性因数K≥0，汽车中性转向或不足转向；另稳定性因数K<0时，汽车小于临界车速转向，仍是稳定转向，为保证稳定性因数K<0时汽车稳定转向，汽车的车速在一定的安全系数下小于临界车速。5.3.2前轮角阶跃输入下汽车的稳态响应特性

（2）一定的前轮转角下的稳态横摆角速度的特性一定的前轮转角下汽车的稳态横摆角速度见（5-19）。根据式（5-19），在一定的前轮转角下，汽车的稳态横摆角速度随稳定性因数K和行驶速度的变化而改变。当K=0且前轮转角一定时，车速增大，稳态横摆角速度成正比的线性增大。图5-14汽车的稳态横摆角速度与车速的关系曲线当K>0且前轮转角一定时，车速增大，稳态横摆角速度也先增大再减小。当K<0且前轮转角一定时，车速增大，稳态横摆角速度增大，在临界车速附近时，稳态横摆角速度趋于无穷大。5.3.2前轮角阶跃输入下汽车的稳态响应特性

2.转向半径的特性（1）转向半径比的特性当汽车以较低的速度作曲线运动时，汽车的侧向加速度接近于零，侧偏力很小，相应的侧偏角很小，令R0C=L/，R0C随变化，由于汽车的速度较低，根据式（5-29），可近似取（5-33）（5-34）进一步得汽车的转向半径比5.3.2前轮角阶跃输入下汽车的稳态响应特性图5-15转向半径比与行驶车速的平方之间的关系曲线根据式（5-34），得汽车的转向半径比与行驶车速的平方之间的关系曲线。

当稳定性因数K=0时，，汽车呈现中性转向的特性，汽车的转向半径比不随车速变化，转向半径始终为R0C。

当K>0时，，汽车呈现出不足转向的特性，汽车的转向半径比将随着车速的增大而增大，且转向半径大于中性转向时的半径R0C。

当K<0时，，汽车呈现为过多转向的特性，汽车的转向半径比将随着车速的增大而减小，且转向半径小于中性转向时的半径R0C。5.3.2前轮角阶跃输入下汽车的稳态响应特性

（2）一定的前轮转角下的转向半径的特性当车轮的转角为定值时，，这种工况下的转向半径R0=R0C=L/，R0是定值，由式（5-33）得（5-35）根据式（5-35），得汽车在一定的前轮转角下的转向半径之比与行驶车速的关系曲线如图5-16所示；在极坐标下汽车在定转向半径R0的圆内外转动如图5-17所示。图5-16汽车在一定的前轮转角下的转向半径之比与行驶车速的关系曲线图5-17汽车在定转向半径R0的圆内外转动汽车绕圆行驶5.3.2前轮角阶跃输入下汽车的稳态响应特性当稳定性因数K=0时，，汽车呈现中性转向的特性，汽车的转向半径不随车速变化，汽车绕转向半径R0的圆行驶，汽车转向是稳定的。

当K>0时，，汽车呈现出不足转向的特性，汽车的转向半径将随着车速的增大而增大，且转向半径大于中性转向时的半径R0，汽车趋向直线行驶，汽车转向是稳定的。

当K<0时，，汽车呈现为过多转向的特性，汽车的转向半径将随着车速的增大而减小，且转向半径小于中性转向时的半径R0，汽车趋向圆心行驶，会出现汽车急转后侧翻，汽车转向是不稳定的。图5-16汽车在一定的前轮转角下的转向半径之比与行驶车速的关系曲线图5-17汽车在定转向半径R0的圆内外转动轨迹曲线汽车绕圆行驶5.3.2前轮角阶跃输入下汽车的稳态响应特性

3.前、后轮侧偏角绝对值之差（α1一α2）根据式（5-19）下方的参数，稳定性因数为（5-36）将式（5-36）右边的分子和分母均乘以侧向加速度，并考虑，再根据图5-9和考虑δ较小，，得，，于是有（5-37）5.3.2前轮角阶跃输入下汽车的稳态响应特性再根据图5-9和式（5-1），考虑轮胎的侧偏角是负的，将和取绝对值，得，，再根据式（5-37）得（5-38）根据式（5-37），得前、后轮侧偏角绝对值之差与侧向加速度的关系曲线如图5-18所示。当稳定性因数K=0时，汽车中性转向，；当稳定性因数K>0时，汽车不足转向，；当稳定性因数K>0时，汽车过多转向，。图5-18前、后轮侧偏角绝对值之差与侧向加速度的关系曲线5.3.2前轮角阶跃输入下汽车的稳态响应特性

4.静态储备系数SM静态储备系数(StaticMargin,SM)与中性转向点有关。中性转向点是使汽车前、后轮产生相同的侧偏角的侧向力在汽车纵轴上的作用点，如图5-19中的cn点。根据中性转向点的定义，当侧向力作用于中性转向点的位置时，汽车的前、后轮将产生相同的侧偏角，即；前、后车轮上的侧偏力分别为和

；汽车的中性转向点cn到前、后轴的距离分别为a′和b′，根据力矩平衡的原理，可得到中性转向点到前轴的距离为（5-39）图5-19汽车的中性转向点5.3.2前轮角阶跃输入下汽车的稳态响应特性静态储备系数SM为汽车的中性转向点至汽车前轴的距离a′和汽车质心至前轴的距离a之差（a′-a)与汽车的轴距L的比值，即当SM=0时，中性转向点与汽车的质心相重合，因此在质心位置上作用的侧向力将使汽车前、后车轮上的侧偏角相等，即前、后轮侧偏角之差为0，故使汽车具有中性转向的特性。（5-40）图5-19汽车的中性转向点当SM>0时，汽车的质心处于汽车的中性转向点之前，在质心位置上作用的侧向力将引起汽车前轴上的侧偏角α1的绝对值大于后轴上的侧偏角α2的绝对值，将使汽车具有不足转向的特性。5.3.2前轮角阶跃输入下汽车的稳态响应特性当SM<0时，汽车的质心处于汽车的中性转向点之后，在质心位置上作用的侧向力将引起汽车前轴上的侧偏角α1的绝对值小于后轴上的侧偏角α2的绝对值，将使汽车具有过多转向的特性。图5-19汽车的中性转向点5.3.2前轮角阶跃输入下汽车的稳态响应特性

5.影响前轮角阶跃输入汽车的稳态响应特性的主要因素（1）影响前轮角阶跃输入汽车的稳态响应特性的主要因素及其分析

根据汽车的稳态横摆角速度增益、一定的前轮转角下的横摆角速度、一定的前轮转角下的转向半径、一定前轮转角下的转向半径比、前后轮侧偏角绝对值之差和静态储备系数的计算公式分别见式（5-29）、式（5-19）、式（5-33）、式（5-34）、式（5-38）和式（5-40），得影响汽车的稳态响应特性的主要的因素有：稳定性因数K、车速u、前轮的转角δ、轴距L、侧向加速度、质心的位置、汽车质量m、前轮胎的侧偏刚度k1和后轮胎的侧偏刚度k2，这些因数直接或间接影响汽车的稳态响应特性，或其他因素影响这些因数，再间接影响汽车的稳态响应特性。线性二自由度汽车模型的基本假设及取等，使前轮角阶跃输入下汽车的稳态响应特性分析产生理论误差，也是影响前轮角阶跃输入汽车的稳态响应特性的主要因素。5.3.2前轮角阶跃输入下汽车的稳态响应特性

（2）轮胎气压对汽车稳态响应特性的影响

轮胎气压影响轮胎的侧偏刚度，再间接影响汽车的稳态响应特性。前轮胎气压增大时，前轮胎的侧偏刚度k1增大，前轮胎的侧偏角α1的绝对值减小，根据式（5-38），稳定性因数K减小，不足转向减小，汽车的操纵稳定性减小；反之，前轮胎气压减小时，汽车的操纵稳定性提高。同理，后轮胎气压减小时，后轮胎的侧偏刚度k2减小，后轮胎的侧偏角α2的绝对值增大，根据式（5-38），稳定性因数K减小，不足转向减小，汽车的操纵稳定性减小；反之，后轮胎气压增大时，汽车的操纵稳定性提高。轮胎气压不足轮胎气压正常跑车轮胎的侧偏角5.3.2前轮角阶跃输入下汽车的稳态响应特性

（3）质心位置对汽车稳态响应特性的影响

质心后移，汽车质心所受离心力后移，使前轮所受到的侧偏力FY1减小，相应的前轮胎的侧偏角α1的绝对值减小；后轮所受到的侧偏力FY2增大，相应的后轮胎的侧偏角α2的绝对值增大，根据式（5-38），稳定性因数K减小，不足转向减小，汽车的操纵稳定性减小；反之，质心前移，稳定性因数K增大，不足转向增大，汽车的操纵稳定性增大。在汽车使用中，轿车的后备箱重物超重、客车后面乘客过多、渣土车超载等均会使质心后移，稳定性因数K减小，不足转向减小，汽车的操纵稳定性减小；极限情况下将使得K<0，汽车稳态响应特性变为过多转向特性，使汽车的操纵稳定性变坏，这也是一些超载汽车经常发生车祸的直接原因之一。智能货车，没有驾驶室系统，驾驶室改为货箱，汽车质心前移，质心高度也降低，稳定性因数K增大，不足转向增大，汽车的操纵稳定性增大。智能汽车渣土车超载渣土车侧翻5.3.2前轮角阶跃输入下汽车的稳态响应特性

（4）汽车速度对汽车稳态响应特性的影响汽车速度u很低时，