江苏省句容市、丹阳市达标名校2026届中考数学最后冲刺模拟试卷含解析

江苏省句容市、丹阳市达标名校2026届中考数学最后冲刺模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．如图，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)、B(4，2)、C(4，4)．若反比例函数y＝在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是()A．1≤k≤4 B．2≤k≤8 C．2≤k≤16 D．8≤k≤162．抢微信红包成为节日期间人们最喜欢的活动之一．对某单位50名员工在春节期间所抢的红包金额进行统计，并绘制成了统计图．根据如图提供的信息，红包金额的众数和中位数分别是（）A．20，20 B．30，20 C．30，30 D．20，303．下列图案中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．4．如图分别是某班全体学生上学时乘车、步行、骑车人数的分布直方图和扇形统计图(两图都不完整),下列结论错误的是()A．该班总人数为50 B．步行人数为30C．乘车人数是骑车人数的2.5倍 D．骑车人数占20%5．的整数部分是()A．3 B．5 C．9 D．66．已知x=1是方程x2+mx+n=0的一个根，则代数式m2+2mn+n2的值为（）A．–1B．2C．1D．–27．如果与互补，与互余，则与的关系是（）A． B．C． D．以上都不对8．关于x的方程12x=kA．0或129．如图,在中，,以边的中点为圆心,作半圆与相切，点分别是边和半圆上的动点,连接,则长的最大值与最小值的和是（）A． B． C． D．10．将一根圆柱形的空心钢管任意放置，它的主视图不可能是（）A． B． C． D．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，且△AOB是正三角形，则∠ACB的度数是。12．已知，那么__．13．若式子有意义，则x的取值范围是_____________．14．△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA＝_▲．15．如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心．大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限内交于点p(a，b)，则a与b的数量关系是________．16．在矩形ABCD中，AB=4，BC=9，点E是AD边上一动点，将边AB沿BE折叠，点A的对应点为A′，若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1：3，则AE的长为_____．17．如图，直线m∥n，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，则∠1=度．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为同族点．下图中的P，Q两点即为同族点．(1)已知点A的坐标为(﹣3，1)，①在点R(0，4)，S(2，2)，T(2，﹣3)中，为点A的同族点的是；②若点B在x轴上，且A，B两点为同族点，则点B的坐标为；(2)直线l：y=x﹣3，与x轴交于点C，与y轴交于点D，①M为线段CD上一点，若在直线x=n上存在点N，使得M，N两点为同族点，求n的取值范围；②M为直线l上的一个动点，若以(m，0)为圆心，为半径的圆上存在点N，使得M，N两点为同族点，直接写出m的取值范围．19．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F为AD上两点，AE=EF=FD，连接BE、CF并延长，交于点G，GB=GC．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（1）若△GEF的面积为1．①求四边形BCFE的面积；②四边形ABCD的面积为．20．（8分）如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数与(x＞0，0＜m＜n)的图象上，对角线BD//y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为1．当m=1，n=20时．①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．21．（10分）如图，已知矩形OABC的顶点A、C分别在x轴的正半轴上与y轴的负半轴上，二次函数的图像经过点B和点C．（1）求点A的坐标；（2）结合函数的图象，求当y<0时，x的取值范围．22．（10分）如图是一副扑克牌中的三张牌，将它们正面向下洗均匀，甲同学从中随机抽取一张牌后放回，乙同学再从中随机抽取一张牌，用树状图（或列表）的方法，求抽出的两张牌中，牌面上的数字都是偶数的概率．23．（12分）关于x的一元二次方程x2＋（m－1）x－（2m＋3）＝1．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）写出一个m的值，并求出此时方程的根．24．（14分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CE^AB于E，CD平分ÐECB，交过点B的射线于D，交AB于F，且BC=BD．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AE=9，CE=12，求BF的长．

参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、C【解析】试题解析：由于△ABC是直角三角形，所以当反比例函数经过点A时k最小，进过点C时k最大，据此可得出结论．∵△ABC是直角三角形，∴当反比例函数经过点A时k最小，经过点C时k最大，∴k最小=1×2=2，k最大=4×4=1，∴2≤k≤1．故选C．2、C【解析】

根据众数和中位数的定义，出现次数最多的那个数就是众数，把一组数据按照大小顺序排列，中间那个数或中间两个数的平均数叫中位数．【详解】捐款30元的人数为20人，最多，则众数为30，中间两个数分别为30和30，则中位数是30，故选C．【点睛】本题考查了条形统计图、众数和中位数，这是基础知识要熟练掌握．3、B【解析】

根据轴对称图形的定义，逐一进行判断.【详解】A、C是中心对称图形，但不是轴对称图形；B是轴对称图形；D不是对称图形.故选B.【点睛】本题考查的是轴对称图形的定义.4、B【解析】

根据乘车人数是25人，而乘车人数所占的比例是50%，即可求得总人数，然后根据百分比的含义即可求得步行的人数，以及骑车人数所占的比例．【详解】A、总人数是：25÷50%=50（人），故A正确；B、步行的人数是：50×30%=15（人），故B错误；C、乘车人数是骑车人数倍数是：50%÷20%=2.5，故C正确；D、骑车人数所占的比例是：1-50%-30%=20%，故D正确．由于该题选择错误的，故选B．【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．5、C【解析】解：∵=﹣1，=﹣…=﹣+，∴原式=﹣1+﹣+…﹣+=﹣1+10=1．故选C．6、C【解析】

把x=1代入x2+mx+n=0，可得m+n=-1，然后根据完全平方公式把m2+2mn+n2变形后代入计算即可.【详解】把x=1代入x2+mx+n=0，代入1+m+n=0，∴m+n=-1，∴m2+2mn+n2=(m+n)2=1.故选C.【点睛】本题考查了方程的根和整体代入法求代数式的值，能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的根.7、C【解析】

根据∠1与∠2互补，∠2与∠1互余，先把∠1、∠1都用∠2来表示，再进行运算．【详解】∵∠1+∠2=180°∴∠1=180°-∠2又∵∠2+∠1=90°∴∠1=90°-∠2∴∠1-∠1=90°，即∠1=90°+∠1．故选C．【点睛】此题主要记住互为余角的两个角的和为90°，互为补角的两个角的和为180度．8、A【解析】方程两边同乘2x(x+3)，得x+3=2kx，（2k-1）x=3，∵方程无解，∴当整式方程无解时，2k-1=0，k=12当分式方程无解时，①x=0时，k无解，②x=-3时，k=0，∴k=0或12故选A.9、C【解析】

如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1-OQ1，求出OP1，如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2最大值=5+3=8，由此不难解决问题．【详解】解：如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1-OQ1，∵AB=10，AC=8，BC=6，∴AB2=AC2+BC2，∴∠C=10°，∵∠OP1B=10°，∴OP1∥AC∵AO=OB，\∴P1C=P1B，∴OP1=AC=4，∴P1Q1最小值为OP1-OQ1=1，如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长，P2Q2最大值=5+3=8，∴PQ长的最大值与最小值的和是1．故选：C．【点睛】本题考查切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到点PQ取得最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型．10、A【解析】试题解析：∵一根圆柱形的空心钢管任意放置，∴不管钢管怎么放置，它的三视图始终是，，，主视图是它们中一个，∴主视图不可能是．故选A.二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、30°【解析】试题分析：圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半.∵△AOB是正三角形∴∠AOB=60°∴∠ACB=30°.考点：圆周角定理点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握圆周角定理，即可完成.12、【解析】

根据比例的性质，设x＝5a，则y＝2a，代入原式即可求解.【详解】解：∵，∴设x＝5a，则y＝2a，那么．故答案为：．【点睛】本题主要考查了比例的性质，根据比例式用同一个未知数得出的值进而求解是解题关键．13、x<【解析】由题意得：1﹣2x＞0，解得：，故答案为．14、【解析】

在直角△ABD中利用勾股定理求得AD的长，然后利用正弦的定义求解．【详解】在直角△ABD中，BD=1，AB=2，则AD===，则sinA===.故答案是：.15、a+b=1．【解析】试题分析：根据作图可知，OP为第二象限角平分线，所以P点的横纵坐标互为相反数，故a+b=1.考点：1角平分线；2平面直角坐标系.16、或【解析】

由,,得,所以.再以①和②两种情况分类讨论即可得出答案.【详解】因为翻折,所以，,过作,交AD于F,交BC于G,根据题意，,.若点在矩形ABCD的内部时，如图则GF=AB=4,由可知.又..又....若则,..则...若则,..则...故答案或.【点睛】本题主要考查了翻折问题和相似三角形判定，灵活运用是关键错因分析：难题，失分原因有3点：（1）不能灵活运用矩形和折叠与动点问题叠的性质；（2）没有分情况讨论，由于点A′A′到矩形较长两对边的距离之比为1:3，需要分A′M:A′N=1:3，A′M:A′N=1:3和A′M:A′N=3:1，A′M:A′N=3:1这两种情况；（3）不能根据相似三角形对应边成比例求出三角形的边长.17、1．【解析】试题分析：∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=1°，∵m∥n，∴∠1=1°；故答案为1．考点：等腰直角三角形；平行线的性质．三、解答题（共7小题，满分69分）18、（1）①R，S;②（，0）或（4，0）；（2）①;②m≤或m≥1．【解析】

（1）∵点A的坐标为(−2,1)，∴2+1=4，点R(0,4),S(2,2),T(2,−2)中，0+4=4，2+2=4，2+2=5，∴点A的同族点的是R，S；故答案为R，S；②∵点B在x轴上，∴点B的纵坐标为0，设B(x,0)，则|x|=4，∴x=±4，∴B(−4,0)或(4,0)；故答案为(−4,0)或(4,0)；（2）①由题意，直线与x轴交于C（2，0），与y轴交于D（0，）．点M在线段CD上，设其坐标为（x，y），则有：，，且．点M到x轴的距离为，点M到y轴的距离为，则．∴点M的同族点N满足横纵坐标的绝对值之和为2．即点N在右图中所示的正方形CDEF上．∵点E的坐标为（，0），点N在直线上，∴．②如图,设P(m,0)为圆心,为半径的圆与直线y=x−2相切，∴PC=2，∴OP=1，观察图形可知,当m≥1时,若以(m,0)为圆心,为半径的圆上存在点N，使得M，N两点为同族点，再根据对称性可知，m≤也满足条件，∴满足条件的m的范围：m≤或m≥119、（1）证明见解析；（1）①16；②14；【解析】

（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AB=DC，AB∥CD于是得到BE=CF，根据全等三角形的性质得到∠A=∠D，根据平行线的性质得到∠A+∠D=180°，由矩形的判定定理即可得到结论；（1）①根据相似三角形的性质得到，求得△GBC的面积为18，于是得到四边形BCFE的面积为16；②根据四边形BCFE的面积为16，列方程得到BC•AB=14，即可得到结论．【详解】（1）证明：∵GB=GC，∴∠GBC=∠GCB，在平行四边形ABCD中，∵AD∥BC，AB=DC，AB∥CD，∴GB-GE=GC-GF，∴BE=CF，在△ABE与△DCF中，，∴△ABE≌△DCF，∴∠A=∠D，∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，∴∠A=∠D=90°，∴四边形ABCD是矩形；（1）①∵EF∥BC，∴△GFE∽△GBC，∵EF=AD，∴EF=BC，∴，∵△GEF的面积为1，∴△GBC的面积为18，∴四边形BCFE的面积为16，；②∵四边形BCFE的面积为16，∴（EF+BC）•AB=×BC•AB=16，∴BC•AB=14，∴四边形ABCD的面积为14，故答案为：14．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，图形面积的计算，全等三角形的判定和性质，证得△GFE∽△GBC是解题的关键．20、（1）①；②四边形是菱形，理由见解析；（2）四边形能是正方形，理由见解析，m+n=32.【解析】

（1）①先确定出点A，B坐标，再利用待定系数法即可得出结论；

②先确定出点D坐标，进而确定出点P坐标，进而求出PA，PC，即可得出结论；

（2）先确定出B（1，），D（1，），进而求出点P的坐标，再求出A，C坐标，最后用AC=BD，即可得出结论．【详解】（1）①如图1，，反比例函数为，当时，，，当时，，，，设直线的解析式为，，，直线的解析式为；②四边形是菱形，理由如下：如图2，由①知，，轴，，点是线段的中点，，当时，由得，，由得，，，，，，四边形为平行四边形，，四边形是菱形；（2）四边形能是正方形，理由：当四边形是正方形，记，的交点为，,当时，，，，，，，，，，.【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，正方形的性质，判断出四边形ABCD是平行四边形是解本题的关键．21、（1）；（2）【解析】

（1）当时，求出点C的坐标，根据四边形为矩形，得出点B的坐标，进而求出点A即可；（2）先求出抛物线图象与x轴的两个交点，结合图象即可得出．【详解】解：（1）当时，函数的值为-2，∴点的坐标为∵四边形为矩形，解方程，得．∴点的坐标为．∴点的坐标为．（2）解方程，得．由图象可知，当时，的取值范围是．【点睛】本题考查了二次函数与几何问题，以及二次函数与不等式问题，解题的关键是灵活运用几何知识，并熟悉二次函数的图象与性质．22、【解析】

画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次抽取的牌上的数字都是偶数的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两次抽取的牌上的数字都是偶数的结果数为2，所以两次抽取的牌上的数字都是偶数的概率＝＝．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状