安徽滁州海亮学校等2025-2026学年高一3月份学生能力评价数学检测试卷 附答案

/2026高一3月份学生能力评价数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上目各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A.0 B. C. D.【正确答案】D【详解】．2.已知向量，若，则实数（）A. B. C.6 D.【正确答案】D【分析】根据共线向量的坐标公式求解即可．【详解】由，得，解得，故选：．3.在中，，则外接圆的面积为（）A. B. C. D.【正确答案】D【详解】设外接圆半径为，则，则外接圆的面积为.4.已知力作用于同一质点，使之由点移动到点，则力的合力对质点所做的功为（）A.2 B. C.4 D.【正确答案】A【分析】用坐标表示合力，再结合向量数量积坐标运算求解即可.【详解】依题意，，所以合力对质点所做的功为.5.若向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】利用数量积来计算投影向量即可.【详解】因为，，由可得：，以向量在向量上的投影向量为．故选：C．6.已知钝角的三边长分别为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】D【详解】由为钝角的三边长，得，解得，所以实数的取值范围是.7.已知为单位向量，若，且，则的最小值为（）A. B.2 C.3 D.6【正确答案】C【分析】不妨设，，根据求出之间的关系，再根据数量积的坐标公式结合二次函数的性质即可得解.【详解】不妨设，因为，则可设，又，则，所以，所以或，当时，则，当且仅当时取等号，所以的最小值为；当时，则，当且仅当时取等号，所以的最小值为，综上所述，的最小值为.8.在中，内角所对的边分别为，若，则的最小值为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】通过正弦定理表示，并使用二倍角公式进行化简，令换元后转化为函数最值求解.【详解】由及，得，且.由正弦定理可得，因为，所以令，则，所以，当，即时，等号成立.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在下列各组向量中，不能作为基底的是（）A. B.C. D.【正确答案】BCD【分析】根据基底的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于A，不共线，可以作为基底；对于B，方向相反，共线，不能作为基底；对于C，，共线，不能作基底；对于D，，则方向相同，共线，不能作为基底.故选：BCD10.已知非零向量的夹角为，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，且，则C.若，则D.若，且，则【正确答案】BCD【分析】根据平面向量的夹角公式即可判断A；根据平面向量共线定理即可判断B；根据平面向量数量积的运算律即可判断CD.【详解】对于A，若，则，所以或，故A错误；对于B，由为非零向量及可知，所以，所以，故B正确：对于C，若，则，得，所以，又为非零向量所以，故C正确；对于D，若，则，得，即，又不共线，所以，故D正确.11.已知的内角所对的边分别为，则下列结论正确的是（）A.B.若，则满足条件的有且只有一个C.若，且是整数，则D.若是的最小内角，则面积的取值范围是【正确答案】ACD【分析】利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可判断A；利用正弦定理即可判断B；根据大边对大角得出的大小关系及范围，再根据三角形内角和定理结合三角函数即可判断C；先求出的范围，再利用正弦定理求出边，再根据三角形的面积公式结合三角函数的性质即可判断D.【详解】对于A，由及正弦定理，可得，所以，因为，所以，A正确；对于B，因为，所以满足条件的有两个，B错误；对于C，因，所以，由，得，所以，则，又是整数，若，符合题意；若，则，不合题意；随着取更大的整数，的值逐渐减小，不合题意，所以，C正确；对于D，因为是的最小内角，则，则，当时，；当时，由正弦定理，得，所以，因，所以，所以，综上，面积的取值范围是，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.与垂直的单位向量的坐标为________.【正确答案】或【分析】设与垂直的单位向量的坐标为，根据题意可得，解得答案即可.【详解】设与垂直的单位向量的坐标为，可得，解得或，故或13.设的内角的对边分别为，若，点在边上，为的角平分线，则______.【正确答案】【分析】先利用余弦定理求出边，再根据结合三角形的面积公式即可得解.【详解】因为，由余弦定理知，即，解得或（舍去），因为为的角平分线，所以，即，解得.14.已知正八边形的边长为2，点为正八边形的中心，点是正八边形内一动点（含边界），则的最大值是______.【正确答案】##【分析】先通过向量的分配律将表达式合并为，再结合正八边形的性质与向量数量积的几何意义，将最大值问题转化为求投影长度的最大值即可.【详解】如图，取边的中点，连接和，设与交于点，则由正八边形的性质易得为的中点，则，当点在边上时，在上的投影向量为，此时取得最大值，因为正八边形的边长为2，，所以，又因为，所以，又因为，所以，又，所以，所以的最大值为.利用正八边形的对称性，将转化为共线的，把数量积的最大值问题转化为在上的投影最大值，是解决本题的关键.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量.（1）求；（2）当为何值时，与共线？【正确答案】（1）4（2）.【小问1详解】由，得，解得.所以.【小问2详解】，，因为与共线，所以，解得.16.已知的内角所对的边分别为．（1）若，，，求；（2）若，且的面积为，求的最小值．【正确答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用平方关系求出，然后由正弦定理即可得解；（2）已知结合余弦定理可得，由面积公式可得，然后由基本不等式可得的最小值.【小问1详解】因为，且，所以，由正弦定理，得．【小问2详解】因为，所以，又，所以，因为的面积为，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值是．17.如图，某公园有一块等腰梯形形状的空地，其中长为200m，长为50m.该公园拟在空地中间用栅栏围一块三角形区域种植花卉，其中分别在边上，且.（1）证明：的长为定值；（2）求周长的最小值.【正确答案】（1）证明见解析（2）m.【分析】（1）利用正弦定理分别求出，即可得出结论；（2）在中，利用余弦定理结合基本不等式求出的最小值即可得解.【小问1详解】因为四边形为等腰梯形，则，在中，，则，由正弦定理可得，则，同理可得，又，所以，即长为定值；【小问2详解】在中，，由余弦定理可得，所以，当且仅当时，等号成立，所以周长的最小值为.18.如图，在中，，，分别是边上的点，与交于点，且，.（1）若，.（i）求的值；（ii）求的值；（2）若存在实数，使得，求的取值范围.【正确答案】（1）（i）；（ii）（2）【分析】（1）（i）利用基底表示出，结合向量数量积定义和运算律求解即可；（ii）利用基底表示出，根据三点共线可求得结果；（2）利用基底表示出，结合向量数量积定义和运算律可将转化为关于的函数的形式，采用分离常数法可求得结果.【小问1详解】（i），，，.（ii），.设，则，三点共线，，解得：，即.【小问2详解】，，，，，，，，，，即的取值范围为.19.已知是锐角三角形，内角的对边分别为，且.（1）求；（2）求的取值范围；（3）若，求边上的中线的取值范围.【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理及三角恒等变换化简即可得解；（2）根据三角形内角和定理及三角恒等变换化简，再结合三角函数的性质即可得解；