福建泉州市剑影实验学校2025-2026学年高一第二学期第一次月考数学检测试卷 附答案

/剑影实验学校2025-2026学年第二学期第一次月考高一数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1.已知向量，则等于（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据平面向量的坐标运算和向量的减法即可求解.【详解】由题意.故选：A2.已知向量，若，则等于（）A. B.1 C.4 D.【正确答案】B【分析】利用两个垂直向量的数量积为零，再结合向量数量积的坐标运算法则计算即可得出答案．【详解】由，可得，所以由，解得．故选：B.3.向量满足，向量与的夹角为，则（）A.0 B.8C. D.【正确答案】A【分析】应用平面向量的数量积定义及运算律计算求解.【详解】因为，向量与的夹角为，则.故选：A.4.如图，在四边形中，，，设，，则等于（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据平面向量的线性运算，结合图形可得.【详解】因为，所以.故选：C.5.在中，已知，则（）A.3 B. C. D.1【正确答案】A【分析】利用余弦定理直接计算求解即可.【详解】在中，由余弦定理可得，所以，即，解得或（舍去），故选：A6.记平面向量，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据平面向量线性运算和数量积的坐标表示公式，结合投影向量的定义进行求解即可.【详解】由题意可得，故向量在向量方向上的投影向量的坐标为，故选：C7.是平面内不共线的两个向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（）A.3 B.－3C.－2 D.2【正确答案】D【分析】先由向量的加法求出，再利用向量共线的充要条件列方程组求解即可.【详解】由已知，由A，B，D三点共线，故存在实数λ，使，即，即解得.故选：D8.在中，为AC边上的动点，若AC边足够长，则的最小值为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】先由题设结合余弦定理求出，接着将所求进行转化得到，再构造，过作，垂足为，过作，垂足为，数形结合即可分析求解.【详解】因为，所以，则，由余弦定理，，又，所以，则.如图，设，过作，垂足为，则，过作，垂足为，则.故选：C二、多选题：共3题，每题6分，共18分．（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分．）9.下列命题中正确有（）A.平行向量就是共线向量B.方向相反的向量就是相反向量C.与同向，且，则D.两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件【正确答案】AD【分析】根据平行向量和相等相反向量的定义，逐一判断即可.【详解】对于A选项，平行向量就是共线向量，A对；对于B选项，相反向量就是方向相反且长度相等的向量，B错；对于C选项，任何两个向量都不能比较大小，C错；对于D选项，“两个向量平行”推不出“这两个向量相等”，另一方面，“两个向量相等”推出“这两个向量平行”，所以，两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，D对.故选：AD．10.下列命题中正确的是（）A.若，是单位向量，则B.若，则存在唯一的实数，使得C.若向量，，则在方向上投影数量是D.若向量和，满足，，则【正确答案】BD【分析】根据单位向量定义即可求解A，根据共线定理即可求解B，根据投影的计算公式即可求解C，根据模长公式即可求解D.【详解】对于A,单位向量是模长为1的向量，无法确定，的方向，故A错误，对于B，由共线定理可知B正确，对于C，在方向上投影的数量是,故C错误；由可得，故，，故D正确.11.的内角的对边分别为，，，已知，，则（）A. B.C.为锐角三角形 D.的最大值为【正确答案】AB【分析】根据余弦定理、商关系、二倍角公式和基本不等式计算分别判断各个选项；【详解】对于A，因为，结合余弦定理推论可得，，化简得，解得（舍）或，A正确；对于B，因为，所以，又，所以，B正确；对于C，是钝角，C错误；对于D，解得，根据余弦定理可得，代入得利用基本不等式，当且仅当时取等号；所以，D错误；故选：AB.三、填空题：共3小题，满分15分，每小题5分．12.已知，，，则与的夹角为_____．【正确答案】【详解】因，，，则，又因，故.即与的夹角为.13.记的内角的对边分别为，若，则___________．【正确答案】【分析】借助正、余弦定理计算即可得.【详解】由正弦定理可得，则，即.故答案为.14.在平行四边形中，，是的中点，是上靠近的三等分点，交于点，若，则___________.【正确答案】或【分析】设，利用三点共线，分别表示出和，根据建立关于的方程组，求出的值，即得，结合，运用数量积的运算律化简得，记，，将其化成，求解即得答案.【详解】如图，设，记，，则，，是上靠近的三等分点，则，由图知，三点共线，故存在，使得，又是的中点，则，由图知，三点共线，故存在，使得，因为，所以得，解得，故，又，由可得，展开得，即，也即，设，则，解得或故或.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明或演算步骤．15.已知平面向量.（1）若，求向量的坐标；（2）若，求的值；（3）若向量，若与共线，求的值.【正确答案】（1）（2）（3）18【分析】（1）利用得出的值，再利用向量坐标的线性运算即可；（2）利用向量平行的坐标运算得出的值，再利用求模公式即可；（3）先计算和的坐标，再利用向量平行的坐标运算得出的值，即可求得.【小问1详解】因为，所以，解得，故，则.小问2详解】因为，所以，则，则.【小问3详解】，，若与共线，则，解得，即，故.16.在中，角，，的对应边分别为a，b，c，，且.（1）求边的长；（2）求角大小及的面积.【正确答案】（1）5（2），【分析】（1）根据正弦定理即可求解，（2）根据余弦定理求解角度，即可由面积公式求解.【小问1详解】由正弦定理，得【小问2详解】由余弦定理，所以17.如图，在菱形中，分别是的中点，记.（1）用表示向量；（2）若，求的值.【正确答案】（1）；（2）2.【分析】（1）根据给定条件，利用给定的基底，结合几何图形求解.（2）利用数量积的运算律列式求解.【小问1详解】依题意，，则，，则，所以.【小问2详解】由（1）知，，由，得，即，由菱形，得，则，即，整理得，因此，所以.18.在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，．（1）求角的大小；（2）求的取值范围；（3）设是的重心，求的最小值．【正确答案】（1）（2）（3）．【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再由余弦定理即可求得角；（2）利用正弦定理与和角公式求得，结合锐角三角形求得，利用正切函数的性质即可求得边的取值范围；（3）利用三角形的重心性质和余弦定理，借助于二次函数的性质即可求得答案.【小问1详解】由和正弦定理，可得，去分母得，即，由余弦定理，可得．又，所以．【小问2详解】由正弦定理，可得．因为三角形为锐角三角形，所以，解得．则，则，故．【小问3详解】设的中点为，因是的重心，则，由余弦定理，，故当时，取得最小值，此时的最小值为19.如图，延长的边至点，边至点，边至点，使得线段、、的长分别为、、的倍，我们将称为的“变换三角形”.（1）当时，若，，，求的长；（2）若是边长为的等边三角形，点为其“变换三角形”中线段上的动点，求的最大值；（3）证明：当变化时，的“变换三角形”的重心始终为同一点.【正确答案】（1）（2）（3）证明见解析【分析】（1）分析可知，可求出的值，结合题意得出、的长，然后利用余弦定理可求出的长；（2）设，则，利用平面向量的线性运算、平面向量数量积的运算性质结合二次函数的基本性质可求出的最大值；（3）记的重心为点，可得出，利用平面向量的线性运