福建厦门海沧实验中学2025-2026学年第二学期高一数学3月阶段性检测试题 附答案

/厦门海沧实验中学2025-2026学年第二学期高一年段数学科3月阶段性检测试卷本试卷共4页，共19道小题，满分150分，考试用时120分钟.一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知复数，，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】利用复数的加法法则可得出复数的值.【详解】因为复数，，则.2.下列各组向量中，可以作为基底的是（）A. B.C. D.【正确答案】D【详解】选项A:,,,共线,不能作为基底.选项B:,,,共线,不能作为基底.选项C:是零向量,零向量与任意向量共线,不能作为基底.选项D:,,,不共线,可以作为基底.3.已知点，，则与向量同方向的单位向量为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】计算得到，再计算得到答案.【详解】，，则，与向量同方向的单位向量为.故选.本题考查了单位向量，意在考查学生的计算能力.4.在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（）A. B. C.4 D.8【正确答案】A【分析】先余弦定理可得，再由同角三角函数关系式可得，从而可求三角形的面积.【详解】由，，，由余弦定理得，又因为，所以，所以.故选：A5.若平面向量，两两夹角相等，且，则（）A.3 B.9 C.3或9 D.3或【正确答案】C【分析】利用平方展开原式，结合向量的模分别求解两两夹角为和时的值即可.【详解】当两两夹角为时，，可得：所以.当两两夹角为时，，可得：，所以，故或.6.如图所示，为测量一建筑物高度，在地面上选取两点，从两点测得建筑物顶端的仰角分别为，，且，两点间的距离为60m，则该建筑物的高度为（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】先由三角函数恒等变换中的和差公式求出，在中使用正弦定理，可得，进而可求建筑物的高度为.【详解】在中，，，，，由正弦定理，得，所以建筑物的高度为．故选：A．7.已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（）．A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心【正确答案】B【分析】由题可得，可得点在的角平分线上，同理点在的角平分线上，可得为的内心.【详解】因为，，，所以点在的角平分线上.同理可得：点在的角平分线上.所以点为的内心.故选：B8.设向量，满足，对任意，恒成立，则的最小值为（）A.2 B. C.4 D.3【正确答案】A【分析】对两边同平方化简得，再利用判别式法即可得到，最后展开计算，利用二次函数性质即可求出最小值.【详解】设，，，两边同平方得，化简得，上式对任意恒成立，，即，则，则，，则的最小值为2.故选：A.二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.设复数的共轭复数为为虚数单位，则下列命题正确的是（）A.若复数，则在复平面内对应的点在第四象限B.复数的模C.若，则或D.若复数是纯虚数，则【正确答案】ABD【分析】结合共轭复数的定义和复数的几何意义可以判断A；结合复数的模可以判断B和C；结合纯虚数的定义建立关于的方程，求解可以判断D.【详解】对于选项A，由，可得，在复平面内对应点为在第四象限，故正确；对于选项B，，故正确；对于选项C，表示所有满足（设）的复数，有无数个，例如的模也为1，并非只有，故错误；对于选项D，令实部，解得或；虚部，即，故，故正确.10.已知向量，则下列结论正确的有（

）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【正确答案】ABC【分析】根据题意，利用向量的坐标运算法则，结合垂直和平行的坐标表示，以及向量模的坐标运算公式，逐项分析判断，即可求解.【详解】因为向量，对于A，由，因为，即，可得，解得，所以A正确；对于B，若，可得，解得，所以B正确；对于C，若，可得，可得，解得，所以C正确；对于D，若，可得，解得，所以D错误.故选：ABC.11.下列说法正确的是（）A.已知，则的最小值为6B.在中，若，则为钝角三角形C.若是的重心，则D.若与的夹角为，则在方向上的投影向量为【正确答案】ACD【分析】A选项根据数量积的定义计算，B选项，由数量积判断出的外角为钝角，进一步判断三角形形状，C选项根据重心的向量表达式求解，D选项，根据投影向量公式求解.【详解】对A，因为，当反向共线时等号成立，故A正确；对B，由可知的外角为钝角，所以为锐角，故不能判断为钝角三角形，故B错误；对C，由是的重心，可知，所以，故C正确；对D，因为与的夹角为，所以在方向上的投影向量为，故D正确.故选：ACD三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.若，则________【正确答案】【分析】根据向量的线性运算法则计算可得.【详解】∵，∴，∴，∴.故答案为.13.已知向量满足，则在方向上投影向量的坐标为________．.【正确答案】【分析】根据投影向量公式计算求解.【详解】，在方向上投影向量的坐标为．14.在锐角中，角、、的对边分别为、、，若，则的取值范围是______．【正确答案】【分析】利用正弦定理，诱导公式及和差化积公式得到，从而A=2B，求出，根据锐角三角形得到的范围，从而求出的范围.【详解】由正弦定理得：，由二倍角公式得：，，由和差化积公式可得：，即，因为为锐角三角形，所以，，所以，所以或（舍去），即A=2B，，由正弦定理可得：，由题意得：，解得：，，解得：又综上：,所以，则的取值范围是故三角形中求解边长取值范围问题，通常找到边与某个角的关系，利用角的范围求解边的取值范围.四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知复数（）．（1）若的实部与的模相等，求a的值；（2）若复数+在复平面上的对应点在第四象限，求a的取值范围．【正确答案】（1）或4（2）【分析】（1）根据题意列出方程求解即可；（2）根据复数的运算得出+的坐标，再根据复数的几何意义列出不等式求解即可．【小问1详解】因为的实部与的模相等，所以，化简为，解得或4．【小问2详解】复数在复平面上的对应点为在第四象限，所以，故的取值范围为．16.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是、、．（1）求顶点D坐标；（2）求与所成夹角的余弦值．（3）求平行四边形ABCD的面积；【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根据向量的坐标表示，计算，可得结果；（2）用坐标表示，然后根据平面向量的夹角公式计算即可；（3）根据向量的数量积求出，进而求出，再利用平行四边形的面积公式求解.【小问1详解】设顶点D的坐标为；，，又，所以，即，解得；所以顶点的坐标为；【小问2详解】由，所以，所以；小问3详解】，所以，所以，所以.17.在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，．（1）证明：；（2）记边AB和BC上的高分别为和，若，判断的形状．【正确答案】（1）证明见解析；（2）直角三角形.【分析】（1）利用正弦定理计算即可；（2）利用正弦定理及（1）的结论证明即可.【小问1详解】因为，由正弦定理得，，整理可得，，又，于是，即，因为，所以，所以或（舍去），所以；【小问2详解】根据等面积法可知，即，由，可得，又由及正弦定理可得，，解得，由于，所以，所以，所以是直角三角形.18.如图所示，一艘海轮在海面上的C处发现两座小岛A，B，测得小岛A在C的北偏东15°的方向上，小岛B在C的北偏东60°的方向上，海轮从C处向正东方向航行100海里后到达D处，测得小岛A在D的北偏西45°的方向上，小岛B在D的北偏东30°的方向上．（1）求C处与小岛A之间的距离；（2）求A，B两座小岛之间的距离．【正确答案】（1）（海里）（2）海里【分析】（1）在中利用正弦定理计算可得；（2）在中利用余弦定理求出，再在中利用余弦定理求出；【小问1详解】解：由题可知在中：，，所以．由正弦定理可得：所以（海里）．【小问2详解】解：由题可知在中：，所以．所以（海里）．由余弦定理可得：，所以（海里）．由题可知在中：，由余弦定理可得：所以（海里）．所以A，B两座小岛之间的距离为海里．19.如图所示，在中，在线段BC上，满足，是线段的中点．（1）延长交于点Q（图1），求的值；（2）过点的直线与边，分别交于点E，F（图2），设，．（i）求证为定值；（ii）设面积为，的面积为，求的最小值．【正确答案】（1）（2）（i）证明见解析；（ii）.【分析】（1）根据题意，将作为基底表示，由三点共线可知，的系数之和为1，即可求出的值；（2）（i）根据题意，将，作为基底表示，由三点共线可知，，的系数之和为1，即可求出为