福建省龙岩市连城县第一中学2025-2026学年高二下学期3月数学检测试卷 附答案

/连城一中2025-2026学年下期高二年级月考1数学试卷满分150分考试时间120分钟一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1.下面求导正确的是（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】利用基本初等函数的求导公式逐项求解作答.【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.故选：C.2.已知，，且，则（）A.1 B.2 C.3 D.【正确答案】B【分析】由向量垂直的坐标表示列出式子直接得出答案.【详解】，，且，，解得：，故选：B.3.设函数的定义域为，若曲线在处的切线方程为，则（）A. B. C.6 D.14【正确答案】D【分析】利用导数的几何意义可求解.【详解】因为曲线在处的切线方程为，所以，，所以．故选：D.4.函数的图像如图所示，则（）A. B.C. D.的正负不确定【正确答案】B【分析】由导数的几何意义求解即可.【详解】由题中图像可知，函数在上单调递减，故在上有．故．故选：B5.在正方体中，若，E为线段上一点，且，则（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】利用给定的基底，利用空间向量线性运算求得答案.【详解】在正方体中，，由，得.故选：D6.一束光线自点出发，被平面反射到达点被吸收，那么光线所经过的距离是（

）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】求出点关于平面对称点，的长度即是光线所经过的距离.【详解】由题意得，点关于平面的对称点为，则.故选：D.7.定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】构造辅助函数，利用导数判断其单调性，再利用为奇函数求出的值，从而将原不等式转化为关于的不等式进行求解.【详解】设，则，因为，所以，所以为定义在上的减函数，因为为奇函数，所以，，，，即，即，故．故选：C.8.对任意，不等式恒成立，则正数的最大值为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】将所求不等式变形为，构造函数，利用导数分析该函数的单调性，可得出，参变分离得出，利用导数求出函数的最小值，可得出关于实数的最大值.【详解】对任意的，不等式恒成立，则，可得，，令，其中，则，所以，函数在上为增函数，由可得，则，故对任意的，，令，其中，则，由可得，由可得，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，，故，解得，即正实数的最大值为.故选：A.二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.下列命题中，是真命题的为（）A.若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同B.若空间向量满足，则C.若空间向量满足，则D.在正方体中，必有【正确答案】CD【分析】根据给定条件，利用空间向量的相关概念逐项判断即得.【详解】当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个相等的向量起点、终点不一定相同，A错误；模相等的两个向量的方向是任意的，即模相等的两个向量的方向不一定相同，也不一定相反，B错误；由相等向量的传递性，知若，则，C正确；在正方体中，四边形是矩形，向量与的方向相同，模也相等，即，D正确，故选：CD10.关于函数，下列说法正确的是（）A.它的极大值为，极小值为B.当时，它的最大值为，最小值为C.它的单调递减区间为D.它在点处的切线方程为【正确答案】ACD【分析】求导判断函数单调性，进一步可判断函数极值以及它在闭区间上的最值情况即可判断ABC，由导数的几何意义可判断D.【详解】函数，．由，得或，此时函数单调递增；由，得，此时函数单调递减，C正确；当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，A正确；当时，单调递增，它的最大值为，最小值为，B错误；，，它在点处的切线方程为，D正确．故选：ACD.11.若，则（）A. B. C. D.【正确答案】AC【分析】利用给定条件结合基本不等式判断A，C；利用构造函数，求导，利用单调性进行判断B，D.【详解】对于A项，因，，且，则有，当且仅当时取“=”，A正确；对于B项，因，，且，则,得，则B错误；对于C项，因，，且，则，得，，设，，得，得函数在上单调递增，得，得，即，得，故C正确；对于D项，，令，得，得函数在上单调递增，得，得，即，故D项错误.三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12.已知函数的导函数为，若，则________.【正确答案】5【分析】根据导数的定义直接求解.【详解】.故513.已知，，，三点不共线，为平面外任意一点．若．且，，，四点共面，则实数_____．【正确答案】【分析】根据空间向量基本定理判断向量共面，可得解.详解】由题知，即又，，，四点共面，所以，解得.故答案为.14.已知函数.若对，都有恒成立，则的取值范围为______.【正确答案】【分析】对求导，分析单调性，求出的最大值，使得，进而可得的取值范围．【详解】由题意知，当时，.，①当时，恒成立，即在上单调递减，所以恒成立，所以.②当时，由，得到，由，得到，所以区间上单调递减，在区间上单调递增.当，即时，在区间上单调递增，所以，（舍去），当，即时，在上单调递减，，所以，当，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，所以，得到，所以，综上，的取值范围为．故．四、解答题(本题共5小题，共77分)15.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最大值与最小值．【正确答案】（1）单调递增区间是：和，单调减区间是：；（2）最小值为，最大值为.【分析】（1）求导由，，可求单调区间；（2）由（1）结合单调性即可求解；【小问1详解】由，可得：，，由，可得：或；由，可得：；所以函数的单调递增区间是：和，单调减区间是：；【小问2详解】由（1）知：函数在区间上的单调性为：单调递减，单调递增，所以最小值为，又，所以最大值为.所以函数在区间上的最小值为，最大值为.16.如图在棱长为1的正方体中，，，分别是，，的中点．（1）求证：；（2）求与所成角的余弦值；（3）求的长．【正确答案】（1）证明见详解（2）（3）【分析】（1）利用勾股定理证明垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量求两直线的夹角余弦值；（3）根据空间坐标系中两点距离公式求解.【小问1详解】因正方体的棱长为1，所以，而是线段的中点，因此.由勾股定理得，，，因是线段的中点，所以.在直角三角形中，是其斜边上的中线，故.由勾股定理得，.因此，，故是直角三角形，其中，故.【小问2详解】以点为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.则，，，.，.设直线与所成角，则【小问3详解】17设函数，．（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）求函数的单调区间．【正确答案】（1）（2）答案见解析【分析】（1）由可求出的值，再利用导数的几何意义可求出所求切线的方程；（2）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间.【小问1详解】因为，则，解得，故，所以，所以，此时，曲线在处的切线方程为，即.【小问2详解】因为，则，当时，则，即函数的单调递减区间为，没有单调递增区间；当时，由可得，由可得.此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间；当时，函数单调递减区间为，单调递增区间为.18.二十大报告中提出：全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展.小王大学毕业后决定利用所学专业回乡自主创业，生产某农副产品.经过市场调研，生产该产品需投入年固定成本4万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.已知在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，.每件产品售价8元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完.（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本）（2）年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？【正确答案】（1）（2）当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.【分析】（1）分和讨论计算即可；（2）当时，利用导数求出其最值，时，利用基本不等式求出其最值，比较大小即可.【小问1详解】由题意，当时，，当时，.所以.【小问2详解】当时，，令，解得.当，，当，；则在上单调递增，在上单调递减，所以当时，当时，，当且仅当，即时取等号.综上，当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.19.已知函数.（1）若，，求实数a的取值集合；（2）设，（i）对任意正整数n，证明：函数有唯一的零点（记零点为）；（ii）证明.【正确答案】（1）（2）证明见解析【分析】（1）求导，根据函数的单调性求解函数的最值，即可得解.（2）（i）根据导数，结合分类讨论，可得的单调性，即可求解零点，（ii）先构造函数由导数证明不等式,进而利用该不等式以及，结合对数的运算性质即可求解.【小问1详解】由可得，记，则，当时，此时在上单调递增，当时，此时在上单调递减，故当时，取到最大值，且最大值为，