广东汕头市潮阳区2025-2026学年高一上学期期末质检数学检测试卷 附答案

/2025-2026学年度第一学期教学质量监测高一数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应答题区域内；写在本试卷上无效.第I卷选择题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】利用集合的交集定义求解即得.【详解】由题意，.故选：B.2.已知幂函数的图象过点，则的值为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】利用幂函数的定义运算即可得解.【详解】解：由题意设，是常数，∵函数图象过点，即，∴解得，则.∴.故选：A.3.已知角的始边为x轴的非负半轴，终边经过点，则的值为（）A. B.1 C. D.【正确答案】C【分析】根据根据三角函数定义计算即可．【详解】因为角的始边为x轴的非负半轴，终边经过点，所以.故选：C.4.已知扇形的半径为4cm，面积为8cm2，则扇形圆心角的弧度数为（）A.1 B.2C.3 D.4【正确答案】A【分析】直接根据扇形的面积公式为，然后代入数据解得即可【详解】扇形的面积公式为：（为扇形圆心角的弧度数）则有：解得：故答案选：5.函数的定义域为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据根式，分式以及对数的性质即可列不等式求解.【详解】的定义域满足，解得且，故定义域为，故选：D6.设，，，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】找中间量0和1进行比较可得结果.【详解】，，，所以.故选：A.本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题.7.命题“，使”是假命题必要不充分条件是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】先根据命题为假命题求出的范围，再根据选项和必要不充分条件的判断确定答案.【详解】∵“，使”是假命题，即“，”是真命题，∴，∴.即命题“，使”是假命题等价于，设有集合，命题：，命题的必要不充分条件为命题：，则命题，而不能，∴集合是集合的真子集，选项B中集合满足要求.∴选项B正确.8.已知函数的定义域为，都有，函数，且为奇函数，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】根据函数为奇函数，得到，然后结合题意，根据函数的单调性求解；【详解】解析：因为为奇函数，所以，即，所以，所以，所以等价于又因为，都有所以函数在上单调递减，所以，解得，所以不等式的解集为.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设函数，则下列结论正确的是（）A.的最小正周期为 B.的图象关于直线对称C.的一个零点为 D.的最大值为2【正确答案】ABD【详解】对于选项A：函数最小正周期为，故A正确；对于选项BD：因为为最大值，可知的图象关于直线对称，故B正确，D正确；对于选项C：因，所以不为的零点，故C错误.10.已知关于的不等式的解集为，则（）A.B.不等式的解集为C.D.不等式的解集为【正确答案】BD【分析】一元二次不等式的解的端点即为对应的一元二次方程的解，再根据开口确定的正负.【详解】因为的解集为，所以，解得，所以A错误；对于B：将代入可得，解得，B正确；对于C：不等式的解集为，所以时，C错误；对于D：将代入可得，即，解得，D正确，故选：BD11.已知函数，，则下列结论正确的是（）A.函数的零点为B.若有四个零点，则的取值范围为C.不等式的解集为D.若方程的所有实根之和为4，则实数的取值范围是.【正确答案】BCD【分析】根据零点定义计算判断A，根据分段函数图象数形结合判断B，分，两种情况计算不等式判断C，分类讨论函数零点判断D.【详解】A．因为，所以，所以函数的零点为，所以A错误；B．函数，，若有四个零点，则与有四个交点，由的图象知，B正确；C.，当，所以，当，，即得，所以，所以C正确；D．令，的对称轴为，则实根的个数即为函数与函数图象交点个数，当时，函数与函数的图象有1个交点，且交点横坐标大于1，即，函数与函数有2个交点，且2个交点关于对称，则方程有两根，且两根和为2，不符合题意；当时，函数与函数图象有2个交点，，时，可得或，时，，可得，，，即函数与函数的图象有5个交点，则方程有5个根，且5个根的和为5，不符合题意；当时，函数与函数的图象有2个交点，即函数与函数的图象有2个交点，分别为，即，或，，当时，函数与函数无交点，不符合题意；当时，函数与函数有4个交点，且关于对称，所以4个交点横坐标之和为4，则方程有4个根，且4个根之和为4，符合题意，综上，实数的取值范围是，D正确.第II卷非选择题三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知是奇函数，且当时，，则＝________【正确答案】【详解】因为是奇函数，且当时，，所以.13.已知正数x、y满足，则的最小值是___________【正确答案】18【详解】试题分析：考点：均值不等式求最值14.已知函数，若对于任意的实数，均存在以为三边边长的三角形，则的取值范围是____________.【正确答案】【分析】题目条件可转化为，然后分四种情况讨论，分别求出的最值，即可解出的范围【详解】因为对于任意的实数，均存在以为三边边长的三角形，所以对于任意的实数，都有所以有当时在上单调递减，在上单调递增，易得当且时当且时①当且即时，满足②当且即时所以，得所以③当且即时，满足④当且即时所以，得所以综上：的取值范围是故本题考查的是函数的恒成立问题，把题目条件等价转化是解题的关键.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.计算下列式子的值(请务必书写必要的计算步骤)（1）（2）【正确答案】（1）（2）【详解】（1）原式=（2）原式16.（1）已知为第二象限角且，求，及的值；（2）若，求的值【正确答案】（1），，；（2）【分析】（1）应用同角三角函数关系结合角的象限角判断正负，再应用诱导公式计算求解；（2）应用同角三角函数关系结合角的范围计算求解.【详解】（1）∵∴，∵为第二象限角，∴，故，得到；（2）由题意得，，，又，则，且,则，，故.17.已知定义在上的函数为奇函数．（1）求a的值；（2）用定义证明：为增函数（3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．【正确答案】（1）（2）证明见解析（3）【分析】（1）由奇偶性有求参数值，注意验证即可；（2）根据函数单调性的定义，应用作差法比较大小判断单调性；（3）利用指对数函数的性质及换元法确定的值域，再将问题化为值域的包含关系求参数范围.【小问1详解】是奇函数，，即，解得经检验时函数为奇函数，；【小问2详解】，任取，，则，由，∴，故是增函数.【小问3详解】由（2）得在单调递增，当时，，当时，，∴在上的值域为，又，，设，则，，当时，，当时，，因此函数在上的值域，由对任意的，总存在，使得成立，得，于是，解得，所以实数的取值范围是.18.环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速.经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：）的下列数据：01040600132544007200为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：（1）当时.请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）现有一辆同型号汽车从地驶到地，前一段是50km的国道，后一段是100km的高速路.若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度的关系为，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？【正确答案】（1）选择模型，其解析式为（2）在国道上行驶速度为，在高速路上的行驶速度为，最少为【分析】（1）根据特值代入验证和函数的单调性，结合表格即可判断；（2）根据国道路段和高速路段所用时间列式，利用函数单调性分别求出最小值再相加即得.【小问1详解】对于,因不合题意，舍去；对于为递减函数，这与表格中不符，舍去；故选择.根据提供的数据，有解得所以当时，.【小问2详解】国道路段长为50km，所用时间为，所耗电量为，因为，当时，；高速路段长为100km，所用时间为，所耗电量为下证函数在单调递减.任取，且，,,故,即,,故在单调递减,，此时，,故当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，该车从地到地的总耗电量最少，最少为.19.已知函数的定义域均为．定义：①若不存在实数，使得，则称与关于“维交换”；②若存在个互不相同的实数，使得，则称与关于“维交换”；（1）分析函数与关于“维交换”中的值，并说明理由；（2）设函数与关于“维交换”，求的取值范围；（3）设，若与关于“3维交换”，求实数的值．【正确答案】（1），理由见解析（2）（3）【分析】（1）与关于是“0维交换”，由新定义进行验证；（2）由题意可知，方程有两个互不相同的实数根，随后通过换元构造一元二次方程，将问题转为一元二次方程的根的个数问题.（3）由题意知，令，即在上有三个零点，显然是的零点，时不符合题意，所以，再就分类讨论后可求的值.【小问1详解】函数与关于为0维交换,即,理由如下:由题意可得,,.令,即,展开整理得.其判别式,因此方程无实数解,即不存在实数使得.根据定义,与关于为0维交换,故.【小问2详解】依题意,方程有两个互不相同的实数根.因为,,所以方程有两个不同的实数根.令,且函数在实数域上为单调函数,方程可化为.该关于的一元二次方程需有两个不相等的正实数根.所以判别式,且两根之和,解得.因此实数的取值范围是.【小问3详解】令，依题意，函数在R上有3个零点，若，则，此时仅有两个零点、，不合题意，舍；又，即是函数的零点，在有两个不同的零点.当时，若，则，，即函数在时无零点，若，则在上单调递增，，时，，故函数在上只有1个零点，不符合题意，因此，此时，当时，，对称轴，故当即时，在有一个零点，此时时，，，，故在上有一个零点，而时，，对称轴，，故此时恒