湖北省十堰市丹江口市第二中学2025-2026学年高二下学期3月月考数学检测试卷 附答案

/丹江二中2025-2026学年高二下学期3月月考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.现有来自荆州、荆门、襄阳、宜昌四市的4名学生，从四市的七所重点中学中，各自选择一所学校参观学习，则不同的安排参观学习方式共有（）A.种 B.种C.种 D.种【正确答案】A【分析】根据分步乘法原理求解即可.【详解】由题可知，每名同学都有7种选法，故不同的选择方式有种，经检验只有A选项符合.故选：A.2.下列求导错误的是（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】根据基本初等函数的导数公式，复合函数的导数公式以及导数的四则运算法则即可求出．【详解】，A正确；，B正确；，C错误；，D正确．3.若，则m的值为（）A.5 B.3 C.6 D.7【正确答案】A【分析】根据排列的计算公式，整理化简即可求得结果.【详解】根据题意，若，则有m（m﹣1）（m﹣2）（m﹣3）（m﹣4）=2×m（m﹣1）（m﹣2），即（m﹣3）（m﹣4）=2，解可得：m=5故A本题考查排列数的计算，只需按照排列的定义计算即可，属基础题.4.已知函数，则（）A.－12 B.12 C.－26 D.26【正确答案】A【分析】求导代入可得，进而求得即可【详解】，故，解得，故，故故选：A5.已知函数在x=1处取得极大值，则m的值为（）A.1 B.3 C.1或3 D.2或【正确答案】B【分析】求导，令，即可得求导m值，分别代入导函数检验，当时，在x=1处取得极小值，故舍去，当时，在处取得极大值，即可得答案.【详解】由题意得：，因为在x=1处取得极大值，所以，解得或，当时，，令，解得或，当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以在处取得极小值，不符合题意，故舍去，当时，，令，解得或，当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以在处取得极大值，故满足题意综上.故选：B易错点为，通过，解得或，需代回导函数检验，x=1处为极大值点还是极小值点，方可得答案.6.若直线与曲线相切，则实数（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】设出切点，利用导数的几何意义建立方程求解即可.【详解】设切点为，由可得，则，所以，解得，即..故选：D.7.已知函数，则的大致图象为（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】利用导数判定单调性结合特殊区间即可得出选项.【详解】，令，所以在和上单调递增，又当时，，.故选：C8.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（，，，，）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有（）A.2520种 B.3360种 C.3570种 D.4410种【正确答案】D【分析】利用分类加法计数原理，分步乘法计数原理解决.详解】分4步进行分析：①对于区域，有7种颜色可选；②对于区域，与区域相邻，有6种颜色可选；③对于区域，与、区域相邻，有5种颜色可选；④对于区域、若与颜色相同，区域有5种颜色可选，若与颜色不相同，区域有4种颜色可选，区域有4种颜色可选，则区域、有种选择.综上所述，不同的涂色方案有种.故选：D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知函数在上是单调函数，则实数的值可以是（）A. B. C. D.2【正确答案】ABC【分析】由题意得在上恒成立，由判别式小于等于0求出参数即可.【详解】因为为二次函数，开口向下，必存在负值，由题意得在上恒成立，则，解得.故选：ABC.10.现有3个编号为1，2，3的盒子和3个编号为1，2，3的小球，要求把3个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（）A.没有空盒子的方法共有6种B.所有的放法共有21种C.恰有1个盒子不放球的方法共有9种D.没有空盒子且小球均不放入自己编号的盒子的方法有2种【正确答案】AD【分析】根据排列组合知识，结合每个选项的具体情况，即可求得答案.【详解】对于A，没有空盒子即相当于3个编号为1，2，3的小球分别放入3个编号为1，2，3的盒子中的全排列，故方法共有种，A正确；对于B，所有的放法，即每个球都有3种放法，故共有（种）放法，B错误；对于C，恰有1个盒子不放球，即有2个球放入一个盒子中，另一个球放入另一个盒子中，那么先3个盒子选一个作为空盒，在把3个球选出2个绑在一起，在排列，共有（种）放法，C错误；对于D，没有空盒子且小球均不放入自己编号的盒子，则只有以下2种情况：即1号球放入2号盒子，2号球放入3号盒子，3号球放入1号盒子；1号球放入3号盒子，3号球放入2号盒子，2号球放入1号盒子，D正确，故选：AD11.设，函数，则下列说法正确的有（）A.当时，函数为增函数 B.点为函数图象的对称中心C.存在a，使得函数有且仅有一个极值点 D.函数至少有一个零点【正确答案】BD【分析】根据可判断B，利用导函数的性质与图象，结合零点存在性定理可判断ACD.【详解】由题意，，，因为对，有，所以点为函数图象的对称中心，故B正确；函数的导函数，，①当时，恒成立，此时函数是上的减函数，则函数没有极值点，又，，所以由零点存在性定理可知，此时函数有一个零点；②当时，，则方程有唯一解，当时，，当时，，所以函数是上的减函数，则函数没有极值点，又，，所以由零点存在性定理可知，此时函数有一个零点；③当时，由，得，即，因为，所以方程有两个不相等的根，不妨设，，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，此时，函数有两个极值点，又时，，时，，所以由零点存在性定理可知，此时函数至少有一个零点；综上所述，当时，函数为减函数，故A错误，当时，函数没有极值点，且有一个零点，当时，函数有两个极值点，且至少有一个零点，故C错误，D正确；故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则______．【正确答案】【分析】由复合函数求导法则求出导函数，即可求解.【详解】令，则，因此

，所以

.13.甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有______种.【正确答案】【分析】由排列组合中的捆绑法和插空法计算.【详解】利用捆绑法可得，丙和丁相邻的排法有种，然后将乙、戊和丙、丁4人进行排列，排法有种，因甲不站在两端，且乙、戊和丙、丁排完会形成2个空位，利用插空法排列甲，排法有种，所以不同的排列方法有种.故14.已知函数，若，则的最小值为__________，若在上为单调函数，则的取值范围为__________．【正确答案】①.1②.【详解】当时，函数，则，令，解得，因此当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增；因此在处取得极小值，也是最小值，即；易知函数，当时，，再由二次函数单调性可得，若在上为单调函数，则需满足或即可；解得或，因此的取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数，其图象在点处的切线方程为．（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间上的最值．【正确答案】（1）（2）最大值为20，最小值为0【分析】（1）先求出，得出；再根据题目条件列出方程组，解出即可解答.（2）先利用导数判断函数的单调性，得出极小值和极大值；在计算端点处的函数值，，与极大值和极小值进行比较即可解答.【小问1详解】由可得.所以在点处切线的斜率为，因为在点处切线方程为，所以切线的斜率为0，且，所以，即，解得，所以．【小问2详解】由（1）知，则.令得或3，易知上在单调递增，在上在单调递减，在上在单调递增.所以在处，取得极大值，在处取得极小值.又因为，，所以在上的最大值为20，最小值为0．16.一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单.（1）3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？（2）前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？【正确答案】（1）14400（2）37440【分析】（1）特殊元素优先考虑，先排好有条件限制的首尾两个位置，再全排，再利用分步计数原理即可得出结果.（2）利用“正难则反”，先全排，再去掉不符合条件的排法数即可求出结果.【小问1详解】先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有种排法，故共有不同排法(种).【小问2详解】先不考虑排列要求，有种排法，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有(种).17.已知函数.（1）求的极值；（2）若函数在定义域内有三个零点，求实数a的取值范围.【正确答案】（1）极大值为，极小值为；（2）.【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数可分析函数的单调性，进而可求函数的极值；（2）“函数，在定义域内有三个零点”可以转化为“方程有两个非零实根”.构造函数，对其求导，然后结合导数及函数的性质可求.【详解】解：由题意可知函数的定义域为R.（1）因为.所以，由，得，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，因此，当时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为.（2）因为，所以为一个零点.所以“函数，在定义域内有三个零点”可以转化为“方程有两个非零实根”.令，则，所以，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；当时，有最小值，时，，时，.若方程有两个非零实根，则，即.若，方程只有一个非零实根，所以.综上，.本题考查函数极值的求解，利用导数研究函数零点的个数，考查化归转化思想和数学运算能力，是中档题.18.已知函数（1）当时，求曲线在点处切线方程；（2）讨论的单调性.【正确答案】（1）（2）答案见解析【分析】（1）根据导数的几何意义可求出结果；（2）求出导函数后，分类讨论，得到导函数的符号，从而可得结果.【小问1详解】当时，，则，所以曲线在点处的切线方程：,即【小问2详解】的定义域为，由题意得，①当时，，函数在上单调递增；②当时，由得，由得，所以函数在上单调递增，在上单调递减.综上所述：当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.19.已知函数，其中．（1）当时，求函数的单调区间；（2）①若恒成立，求的最小值；②证明：，其中【正确答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为（2）①1；②证明见解析【