核心素养视域下小数乘小数的算理理解与算法探究-青岛版五年级数学上册导学案

核心素养视域下小数乘小数的算理理解与算法探究——青岛版五年级数学上册导学案

一、教学背景深度剖析

  （一）教材体系解构与定位

  小数乘法的教学在整个小学数学数与代数领域中占据着承上启下的关键位置。在青岛版教材的编排体系中，本课时是学生在掌握了“小数乘整数”的算理与算法之后，对数运算认知的又一次重要扩展和深化。它不仅是整数乘法、小数乘整数等知识的自然延伸，更是未来学习小数除法、分数乘除法以及解决更复杂实际问题的重要基石。教材通常通过创设贴近学生生活实际的情境（如计算房间面积、购买商品总价等），引出小数乘小数的计算需求。其编排逻辑的核心在于，引导学生将“未知”转化为“已知”，即利用积的变化规律和小数点移动的规律，将小数乘法转化为整数乘法进行计算，从而理解算理，掌握算法。本课时的学习，标志着学生对乘法运算意义的理解从离散量（整数）扩展到连续量（小数），是培养学生数感、运算能力和推理意识的关键节点。

  （二）学情精准诊断与前瞻

  五年级的学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们的认知前提是：已经熟练掌握了整数乘法的计算方法，理解了乘法的意义；初步学习了小数乘整数，能够运用转化的思想，将小数乘整数转化为整数乘法来计算，并对积的小数点定位有初步感知（因数中有几位小数，积就有几位小数）。然而，学生的思维潜在障碍点也清晰可见：第一，从“小数乘整数”到“小数乘小数”，因数的类型发生了变化，学生可能会机械迁移“看因数小数位数”的结论，但对“为什么两个因数的小数位数之和等于积的小数位数”这一核心算理理解不深，容易停留在机械记忆规则层面。第二，在确定积的小数点位置时，特别是当乘得的积的末尾有“0”需要化简，或积的小数位数不够需要用“0”补足时，学生极易出错。第三，面对实际问题时，如何根据乘法的意义理解“一个数乘小于1的小数，积比原数小”这一反直觉现象，对学生来说是一个认知冲突点，需要引导其进行深度思考。因此，教学设计的重心必须从“如何算”向“为什么这样算”倾斜，着力于算理的直观化、可视化呈现与推理过程的逻辑化建构。

  （三）核心素养培育指向

  本课教学旨在通过小数乘小数的学习，系统性培育学生的数学核心素养：

  1.数感与量感：在具体情境中感受小数乘法的现实意义，能估计计算结果的大致范围，判断积与因数的大小关系，增强对运算结果合理性的直觉判断能力。

  2.运算能力：不仅要求算法正确、熟练，更强调理解算理依据，能根据算理选择合理的运算策略，并具备检查、验算的意识和初步能力。

  3.推理意识：经历将未知的小数乘小数转化为已知的整数乘法的过程，体会转化思想。通过观察、比较、归纳，自主发现因数与积的小数位数之间的关系，并能用数学语言（如积的变化规律）进行合乎逻辑的阐述。

  4.几何直观与模型意识：借助面积模型、线段图等直观手段，将抽象的算理具体化、形象化，帮助学生建立小数乘法与图形面积的关联，构建“小数乘法”的直观数学模型。

二、教学目标确立

  （一）知识与技能

  1.结合具体情境，理解小数乘小数的意义，掌握小数乘小数的基本计算方法。

  2.能正确计算小数乘小数，理解并掌握确定积的小数点位置的方法，能正确处理积的末尾“0”和位数不够需补“0”的情况。

  3.能运用小数乘法解决简单的实际问题。

  （二）过程与方法

  1.经历探索小数乘小数计算方法的过程，通过独立思考、小组合作、全班交流等活动，体验转化、迁移、归纳等数学思想方法。

  2.学会利用图形（如长方形面积图）来表征和解释小数乘法的算理，发展几何直观能力。

  3.在解决问题的过程中，培养估算意识和初步的推理、概括能力。

  （三）情感态度与价值观

  1.在探索算法和算理的过程中，体验数学思考的条理性和严谨性，感受数学知识之间的内在联系。

  2.通过解决实际问题，体会数学与生活的密切联系，增强学习数学的兴趣和信心。

  3.养成认真计算、仔细检查的良好学习习惯。

三、教学重难点研判

  （一）教学重点

  探索并掌握小数乘小数的计算方法，理解算理（特别是积的小数位数确定的原理）。

  （二）教学难点

  1.理解小数乘小数的算理，尤其是如何利用积的变化规律来解释为什么因数中一共有几位小数，积就有几位小数。

  2.积的小数位数不够时用“0”补足，以及点小数点后积末尾有“0”的化简处理。

四、教学准备

  （一）教师准备

  1.多媒体课件：包含情境动画、动态面积模型演示、探究任务卡、分层练习题等。

  2.教具：可拼接的方格纸（或磁性方格板）、可移动的小数点卡片。

  3.板书设计预案。

  （二）学生准备

  1.复习小数乘整数的计算方法及积的变化规律。

  2.准备练习本、直尺。

五、教学实施过程

  （一）创设情境，问题驱动——于真实需求中孕伏新知（预计时间：8分钟）

  1.情境呈现：

  课件出示：小明家正在装修新房，他的房间是一个长方形。已知房间长是3.6米，宽是2.4米。问题一：根据这些信息，你能提出什么数学问题？问题二：如何计算这个房间地面的面积？

  2.学生活动：

  （1）自主提出问题。（预设：房间的面积是多少平方米？周长是多少米？）

  （2）聚焦面积计算问题，列出算式：3.6×2.4。

  3.教师引导与核心对话：

  师：“这个乘法算式和我们之前学过的乘法有什么不同？”

  生：“之前学过整数乘整数、小数乘整数，现在是两个因数都是小数。”

  师：“是的，这就是我们今天要深入研究的新课题——小数乘小数。（可指向板书课题）那么，3.6×2.4究竟等于多少呢？你能先估一估吗？”

  生1：“把3.6看成4，2.4看成2，4×2=8，面积比8平方米小。”

  生2：“把3.6看成3，2.4看成2，3×2=6，面积比6平方米大。所以面积在6到8平方米之间。”

  师：“估得很有道理！精确的结果到底是多少？这需要我们进行精确计算。小数乘小数该怎么计算呢？它的道理又是什么？”

  【设计意图】从现实装修情境引入，使数学问题源于生活实际，激发学生探究兴趣。引导学生自主提问并聚焦核心问题，培养问题意识。鼓励估算，既激活了学生的数感，也为后续检验计算结果的合理性埋下伏笔，同时自然引出核心探究问题。

  （二）多维探究，深度建构——在直观与推理中明晰算理（预计时间：22分钟）

  本环节是突破重难点的核心阶段，采用“独立尝试—直观验证—合作探究—抽象归纳”的路径。

  1.活动一：独立尝试，暴露原认知。

    任务：请尝试用自己的方法计算3.6×2.4，并把你的思考过程记录下来。

    学生独立探索，教师巡视，收集有代表性的做法（可能的做法：①根据意义用加法算；②凭感觉点小数点；③转化为整数乘法但算理不清；④正确计算等）。

  2.活动二：几何直观，搭建算理“脚手架”。

    （1）教师引导：“我们知道长方形的面积=长×宽。3.6米和2.4米不好直接测量，但我们能不能用一种更直观的方式来表示这个乘法呢？”出示画有方格（每个小正方形代表0.1米×0.1米，即0.01平方米）的长方形图。

    （2）动态演示与师生共析：

    师：“长3.6米，在图上可以看作是多少个小格的长度？”（引导学生理解：1米有10个0.1米，所以3.6米是36个0.1米，在图上就是36小格的长。）

    师：“同样，宽2.4米是24个小格的宽。现在，这个长方形里面包含有多少个代表0.01平方米的小方格呢？”

    课件动态展示将大长方形分割成以“小格”为单位的网格过程。引导学生用不同的方法计算总格数。

    方法A：先算整个大长方形的面积（以米为单位）：3×2=6（平方米），再算剩下的部分……此方法稍复杂。

    方法B（核心）：直接计算总格数。因为长有36格，宽有24格，所以总共有36×24=864（个）小格。

    师：“这864个小格，每个面积是0.01平方米，那么房间总面积是多少平方米？”

    生：“864个0.01是8.64，所以面积是8.64平方米。”

    教师板书关键转换：3.6×2.4→（3.6是36个0.1）×（2.4是24个0.1）→36×24×(0.1×0.1)=864×0.01=8.64。

    追问：“0.1×0.1是什么意思？为什么等于0.01？”

    引导学生理解：因为每个小格是边长0.1米的正方形，其面积就是0.1×0.1=0.01平方米。

  3.活动三：算法提炼，沟通算理与算法。

    （1）小组合作：对照直观图和计算过程，讨论“小数乘小数的竖式计算方法是怎么得来的？积的小数点位置如何确定？”

    （2）全班交流与抽象归纳：

    组1汇报：“我们先把3.6和2.4都看成是以‘0.1’为单位的数，3.6是36个0.1，2.4是24个0.1，算36×24就是算一共有多少个（0.1×0.1），也就是多少个0.01。”

    师：（板书竖式）所以，在竖式计算时，我们实际上是把3.6（）了10倍变成36，把2.4（）了10倍变成24。两个因数分别乘10，积就乘了（10×10=100）。为了让积不变，我们必须把864（）100倍，也就是除以100，所以小数点要向左移动两位，得到8.64。

    引导学生完整表述过程，并板书思维链：

    3.6×2.4

    →（×10）（×10）//两个因数分别转化为整数

     36×24=864

    →（÷100）//根据积的变化规律，还原原来的积

     8.64

    （3）归纳关系：

    师：“观察原来的两个因数3.6和2.4，它们各有几位小数？积8.64有几位小数？你发现了什么关系？”

    生：“因数中一共有两位小数，积也有两位小数。”

    师：“是不是巧合呢？我们再结合刚才的转化过程想一想：因为每个因数乘10，相当于小数点右移一位。两个因数各移一位，一共移了两位。为了‘还原’成原来的积，我们需要把整数乘法的积的小数点向左移回两位。向左移动两位，不就是让积拥有两位小数吗？”

    引导学生得出结论：小数乘小数，先按整数乘法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。

  4.活动四：难点突破，处理特殊积。

    出示探究题：计算0.15×0.06。

    （1）学生独立用竖式计算。

    （2）暴露难点：按整数算得15×6=90。因数中共有四位小数，但从90的右边起数四位，位数不够。

    （3）讨论解决方案：“位数不够怎么办？”引导学生思考：90可以看作90.0，数位不够时，在前面用“0”补足。所以要在90前面添0，再点小数点，得到0.0090，根据小数的性质化简为0.009。

    （4）对比辨析：再计算1.5×0.06，积是0.090，化简为0.09。强调先确定小数位数（三位），再在90前补一个0，得到0.090，化简。

    【设计意图】此环节是本课精华所在。通过“独立尝试”尊重学生起点，暴露差异。借助“面积模型”将抽象的算理可视化、具象化，为学生理解“转化为整数”和“确定小数位数”提供了强有力的直观支撑。在直观操作基础上，引导学生进行数学化的表述和推理，从“怎么算”上升到“为什么这样算”，完成从直观到抽象的思维飞跃。针对“积的位数不够”这一难点，设置专项探究，让学生在实践中发现问题、解决问题，深化对算法步骤的理解。

  （三）分层巩固，灵活应用——于变式练习中内化能力（预计时间：12分钟）

  练习设计遵循“基础—变式—综合”的层次，兼顾技能巩固与思维发展。

  1.基础夯实层：算法直接应用。

    （1）根据第一栏的积，写出其他各栏的积。（利用积的变化规律进行推理）

    （2）给下面各题的积点上小数点。（专项训练小数点的定位，包括位数够和不够需补0的情况）

    （3）竖式计算：2.7×1.8，0.32×0.45，0.17×0.03。

  2.变式辨析层：深化理解与判断。

    （1）火眼金睛：判断下面各题积的小数位数是否正确，错的改正。

      ①1.25×0.8=10.0（）②0.24×0.05=0.012（）

    （2）比较大小，不计算，在○里填上“>”、“<”或“=”。

      ①3.2×1.01○3.2②3.2×0.99○3.2

      ③0.85×1.2○0.85④1×0.87○0.87

      引导学生发现规律：一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大；乘小于1的数，积比原来的数小。此规律是对乘法意义的深度理解，能有效培养数感。

  3.综合应用层：解决实际问题。

    （1）课本情境延伸：如果每平方米地板的价格是85.5元，铺小明这个房间的地板一共需要多少钱？

    （2）拓展问题：一支铅笔0.8元，一块橡皮的价钱是铅笔的1.5倍。买一支铅笔和一块橡皮共需多少钱？

    要求学生先分析数量关系，再列式计算，并鼓励用不同方法解题。

  【设计意图】分层练习满足了不同层次学生的学习需求。基础题确保全体学生掌握算法；变式题通过辨析和比较，加深对算理和积的特点的理解，防止机械套用；综合应用题将数学引向生活，培养学生分析问题、解决问题的能力，体现数学的应用价值。

  （四）回顾反思，体系贯通——在总结梳理中升华认知（预计时间：5分钟）

  1.知识梳理：引导学生共同回顾本节课的探索历程。

    师：“今天我们学习了什么？我们是怎样学会的？计算小数乘小数的关键是什么？”

    引导学生从“探究过程（情境—问题—探究—验证）”、“计算方法（转化整数—算出积—点小数点—处理特殊0）”和“核心思想（转化、数形结合）”等方面进行梳理。

  2.方法提炼：

    （1）计算法则：一算（按整数乘法算），二看（看因数中一共有几位小数），三点（从积的右边起数出几位点上小数点），四化简（化简小数末尾的0）。

    （2）思想方法：遇到新问题，可以想办法把它转化成已经学过的旧知识来解决。

  3.困惑与收获分享：鼓励学生提出还存在的疑问，或分享学习心得。

  4.拓展延伸：

    师：“小数乘小数的知识在生活中还有哪些广泛应用？如果乘数不是两位小数，而是三位、四位小数呢？计算方法还一样吗？请同学们课后思考并尝试计算0.125×0.08。”

  【设计意图】系统的回顾与反思，帮助学生将零散的知识点串联成网，形成结构化认知。强调学习过程和思想方法，促进学生学习策略的元认知发展。设置延伸问题，将探究兴趣延续到课后，实现学习的可持续发展。

  （五）分层作业，个性发展（预计时间：课后）

  1.必做题：完成教材课后练习中相关的基础题和应用题。

  2.选做题：

    （1）探究题：计算2.47×3.8和0.046×0.18，总结当积的末尾有0或位数不够时，你的处理步骤。

    （2）实践题：测量你家书桌面的长和宽（单位：米），计算它的面积和周长。如果给桌面铺一块玻璃，每平方米玻璃单价为120元，需要花费多少元？

  3.阅读与思考：阅读数学读物或上网查找资料，了解古代人是如何计算小数乘法的。

六、板书设计（预案）

  板书力求体现教学逻辑、知识重点和思维过程，做到简洁、清晰、结构化。

  核心素养视域下：小数乘小数

  （算理理解与算法探究）

  问题：3.6×2.4=？

  估算：6<面积<8

  探究与发现：

  1.几何直观（面积模型）：

    长3.6米→36个0.1

    宽2.4米→24个0.1

    面积=(36×24)个(0.1×0.1)=864×0.01=8.64（平方米）

  2.算法推导（转化思想）：

      3.6    ×    2.4       （两位小数）

      ×10     ×10

       ↓       ↓

      36    ×    24   = 864

                   ÷100（10×10）

                    ↓

                   8.64   （两位小数）

  3.计算法则：

    一算：按整数乘法算出积。

    二看：看因数中一共有几位小数。

    三点：从积的右边起数出几位，点上小数点。

    四处理：位数不够，前面补0；末尾有0，化简。

  4.规律发现：

    一个数（0除外）×比1大的数→积>原数

    一个数（0除外）×比1小的数→积<原数

七、教学反思与特色说明

  （一）反思要点

  1.算理直观化是否到位？面积模型的运用是否真正帮助学生跨越了从“算法”到“算理”的理解鸿沟？教学中是否给予了学生足够的操作、观