二次函数-初中-数学-教学设计

二次函数芦璐西安滨河学校教学目标部分预习资源将本章内容阅读五遍。全章串讲参考资源一、二次函数的定义(1)定义:一般地,若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的形式,则称y是x的二次函数.(2)满足条件:①常数a≠0;②自变量x的最高次数为2;③等号的右边是整式.(3)二次函数的几种不同表示形式:①y=ax(a≠0,b=0,c=0).②y=ax+c(a≠0,b=0,c≠0).③y=ax+bx(a≠0,b≠0,c=0).④一般式:y=ax+bx+c(a≠0,b≠0,c≠0).二、二次函数的图象与性质1.图象:二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象是抛物线,是轴对称图形.2.性质:函数解析式a决定开口方向和大小对称轴顶点坐标决定抛物线的位置增减性y=ax当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下.当|a|相等时,抛物线的开口大小、形状相同y轴(0,0)①当a>0时,在对称轴左侧,y随x的增大而减小;在对称轴右侧,y随x的增大而增大.②当a<0时,在对称轴左侧,y随x的增大而增大;在对称轴右侧,y随x的增大而减小y=ax+ky轴(0,k)y=a(x-h)直线x=h(h,0)y=a(x-h)+k直线x=h(h,k)y=ax+bx+c直线x=--,3.二次函数图象的平移规律:4.二次函数的图象与a,b,c符号的关系:(1)a决定开口方向及开口大小.(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置:当ab>0时,对称轴在y轴左侧;当b=0时,对称轴为y轴;当ab<0时,对称轴在y轴右侧.(3)c的大小决定抛物线与y轴交点的位置:当c>0时,抛物线交y轴于正半轴;当c=0时,抛物线过原点;当c<0时,抛物线交y轴于负半轴.三、确定二次函数的表达式1.利用二元一次方程组确定二次函数的表达式.①当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y=ax²+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)②当已知抛物线的顶点或对称轴时，通常设为顶点式(a≠0)③当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通则其函数表达式可以表示(a≠0）学科(2)利用二元一次方程组求二次函数表达式的步骤和方法:待定系数法→代入法→组成方程组→解方程组求出待定系数→确定二次函数表达式.2.利用三元一次方程组确定二次函数的表达式利用三元一次方程组求二次函数表达式的步骤和方法:利用待定系数法y=ax+bx+c三元一次方程组a,b,c的值二次函数的表达式.四、二次函数的应用1.类型:(1)最大面积问题;(2)最大利润问题.二次函数的最值（x取值范围是全体实数）最小值：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），a＞0时，当x=时，y有最小值为最大值：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），a＜0时，当x=时，y有最大值为★若二次函数中自变量x的取值范围是（为常数）当在自变量x的取值范围内时，则当时，y最值=当不在自变量x的取值范围内时，函数的最值即为和时的函数值，且较大值为函数的最大值，较小值为函数的最小值.2.运用二次函数解决实际问题的思路:(1)理解问题.(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系.(3)用数学的方式表示它们之间的关系.(4)利用二次函数求解.(5)检验结果的合理性.五、二次函数与一元二次方程的关系1.二次函数与一元二次方程之间的关系:(1)二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点.（1）当b²-4ac＞0时，二次函数的图象与x轴有两个交点；（2）当b²-4ac=0时，二次函数的图象与x轴只有一个交点.（3）当b²-4ac＜0时，二次函数的图象与x轴没有交点(2)与此相对应,一元二次方程ax+bx+c=0的根也有三种情况:有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根.(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方ax+bx+c=0的根.2.利用二次函数图象求一元二次方程的近似根.利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤:先画出函数y=ax2+bx+c的图像确定抛物线与x轴的交点分别在哪两个相邻的整数之间列表，在（2）中两个整数之间取值再利用计算器依次对x的值进行探索,当得到的y值最接近于0时,所对应的x的值即为方程的一个近似根,再利用同样的方法确定另一个近似根.六、数学思想方法的应用数学思想是数学知识中的精髓,是联系数学中各类知识的纽带,是数学解题的灵魂,是数学知识的重要组成部分.本章主要的数学思想有函数思想、数形结合思想、平移思想、分类讨论思想等,主要方法有待定系数法和配方法.2、概念模型试题知识点一：二次函数的定义例1：已知函数y=(m+m)x+mx+4为二次函数,则m的取值范围是 ()m≠0 B.m≠-1C.m≠0,且m≠-1 D.m=-1【解析】由y=(m+m)x2+mx+4为二次函数,得m+m≠0,解得m≠0且m≠-1.故选C.例2：已知函数y=(m-1)+3x,当m=______时,它是二次函数.

【解析】∵y=(m-1)+3x是二次函数,∴m+1=2,∴m=-1或m=1(舍去,此时m-1=0).故填-1.知识点二：二次函数的图像与性质例1：在下列二次函数中,其图象的对称轴为直线x=-2的是 ()A.y=(x+2) B.y=2x-2C.y=-2x-2 D.y=2(x-2)【解析】y=(x+2)的图象的对称轴为直线x=-2,A正确;y=2x-2的图象的对称轴为直线x=0,B错误;y=-2x-2的图象的对称轴为直线x=0,C错误;y=2(x-2)的图象的对称轴为直线x=2,D错误.故A.例2：二次函数y=x-2x+3的图象的顶点坐标为________

【解析】∵y=x-2x+3=(x-1)+2,∴抛物线的顶点坐标为(1,2).故填(1,2).例3：如图所示,在同一坐标系中,一次函数y=-mx+n与二次函数y=x+m的图象可能是 ()A.

B.

C.

D.

【解析】A,由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知n<0,故A错误;B,由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知m>0,由直线可知-m>0,二者矛盾,故B错误;C,由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知m<0,由直线可知-m<0,二者矛盾,故C错误;D,由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知m<0,由直线可知-m>0,正确.故选D.例4：已知函数y=(x﹣m)(x﹣n)(其中m＜n)的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是()B

CD．【解析】根据二次函数图象判断出m＜﹣1，n=1，然后求出m+n＜0，再根据一次函数与反比例函数图象的性质判断即可．由图可知，m＜﹣1，n=1，所以，m+n＜0，所以，一次函数y=mx+n经过第二四象限，且与y轴相交于点(0，1)，反比例函数y=的图象位于第二四象限，纵观各选项，只有C选项图形符合．故选C．例5：已知二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴是直线x=-1,下列结论:①abc<0;②2a+b=0;③a-b+c>0;④4a-2b+c<0.其中正确的是 ()①② B.只有①C.③④ D.①④【解析】∵抛物线的开口向上,∴a>0.∵-<0,∴b>0,∵抛物线与y轴交于负半轴,∴c<0,∴abc<0,①正确;∵对称轴为直线x=-1,∴-=-1,即2a-b=0,②错误;∵当x=-1时,y<0,∴a-b+c<0,③错误;∵当x=-2时,y<0,∴4a-2b+c<0,④正确.故选D.例6：二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：:①4ac﹣b＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（）A．

4个

B．3个

C

2个

D．1个【解析】

∵抛物线和x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；∵对称轴是直线x=﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，∴4a+c＞2b，∴②错误；∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0，∴2a+2b+2c＜0，∵b=2a，∴3b+2c＜0，∴③正确；∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴y=a﹣b+c的值最大，即把x=m（m≠﹣1）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，∴am2+bm+b＜a，即m（am+b）+b＜a，∴④正确；即正确的有3个，如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1．①b2＞4ac；

②4a﹣2b+c＜0；③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5；④若（﹣2，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2．上述4个判断中，正确的是（）

①②

B．①④

C．①③④

D．②③④【解析】

解：①∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故①正确；

②x=﹣2时，y=4a﹣2b+c，而题中条件不能判断此时y的正负，即4a﹣2b+c可能大于0，可能等于0，也可能小于0，故②错误；③如果设ax2+bx+c=0的两根为α、β（α＜β），那么根据图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜α或x＞β，故③错误；④∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，∴x=﹣2与x=4时的函数值相等，∵4＜5，∴当抛物线开口向上时，在对称轴的右边，y随x的增大而增大，∴y1＜y2，故④正确．知识点三：确定二次函数表达式:例1：一抛物线和另一抛物线的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是（-2，1），则该抛物线的解析式为___________【解析】设抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k，由条件可以得出a=-2，再将定点坐标代入解析式就可以求出结论故答案为：y=-2（x+2）+1例2：将抛物线y＝－5x2先向左平移5个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式是:____【解析】利用二次函数的平移规律，“左加右减，上加下减”可得y＝－5(x＋5)2－3

．例3：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，EG⊥AF，FH⊥CE，垂足分别为G，H，设AG=x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）B.C.D.【解析】设正方形的边长为a，易证四边形AFCE是平行四边形，所以四边形EHFG是矩形，由锐角三角函数可知，从而可用x表示出EG，从而可求出y与x之间的关系式；解：设正方形的边长为2a，∴BC=2a，BE=a，

∵E、F分别是AB、CD的中点，∴AE=CF，∵AE∥CF，

∴四边形AFCE是平行四边形，∴AF∥CE，

∵EG⊥AF，FH⊥CE，

∴四边形EHFG是矩形，∵∠AEG+∠BEC=∠BCE+∠BEC=90°，

∴∠AEG=∠BCE，∴tan∠AEG=tan∠BCE，∴

∴EG=2x，

∴由勾股定理可知：

∴CE=5x，易证：△AEG≌△CFH，

∴AG=CH，∴EH=EC-CH=4x，∴y=EG•EH=8x，故选：C知识点四：二次函数的应用例1：某工厂一种产品的年产量是20件,如果每一年都比上一年的产量增加x倍,两年后产品的产量y与x的函数关系式是 ()A.y=20(1-x)B.y=20+2xC.y=20(1+x)D.y=20+20x+20x【解析】∵某工厂一种产品的年产量是20件,每一年都比上一年的产量增加x倍,∴一年后产品有20(1+x)件,∴两年后产品的产量y与x的函数关系式是y=20(1+x).故选C.例2：如图所示,李大爷要借助院墙围成一个矩形菜园ABCD,用篱笆围成的另外三边总长为24m,设BC的长为xm,矩形的面积为ym,则y与x之间的函数表达式为___.

【解析】由题意得y=(24-x)x=-x+12x.故填y=-x+12x.例3：某体育用品店购进一批单价为40元的球服,如果按单价60元销售,那么一个月内可售出240套,根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高5元,销售量相应减少20套.设销售单价为x(x≥60)元,销售量为y套.(1)求出y与x的函数关系式;(2)当销售单价为多少元时,月销售额为14000元?(3)当销售单价为多少元时,才能在一个月内获得最大利润?最大利润是多少?【解析】(1)由销售单价为x元得到销售减少量,用240减去销售减少量得到y与x的函数关系式.(2)直接用销售单价乘以销售量等于14000,列方程求得销售单价.(3)设一个月内获得的利润为w元,根据题意得w=(x-40)(-4x+480),然后利用配方法求最值.解:(1)销售单价为x元,则销售量减少×20套,,故销售量为y=240-×20=-4x+480(x≥60).(2)根据题意可得x(-4x+480)=14000,解得x1=70,x2=50(不合题意,舍去),故当销售单价为70元时,月销售额为14000元.(3)设一个月内获得的利润为w元,根据题意得w=(x-40)(-4x+480)=-4x2+640x-19200=-4(x-80)+6400.当x=80时,w有最大值,为6400.故当销售单价为80元时,才能在一个月内获得最大利润,最大利润是6400元.x/元253040…y/件252010…例4：某产品每件成本价为20元,试销阶段产品的日销售量y(件)与每件产品的销售价x(元)之间的关系如下表:(1)若日销售量y(件)是每件产品的销售价x(元)的一次函数,求日销售量y(件)与每件产品的销售价x(元)之间的函数关系式;(2)要使日销售利润W(元)最大,每件产品的销售价x(元)应定为多少?此时每日销售利润是多少?【解析】(1)可设日销售量y(件)与每件产品的销售价x(元)的一次函数关系式为y=kx+b(k≠0),根据表格中的数据,求出k,b的值,从而确定y与x之间的函数关系式.(2)由于日销售利润W等于日销售量y与每件产品的利润(x-20)的积,故W与x之间的函数关系是一个二次函数关系,故可根据二次函数知识求最值.解:(1)设y与x之间的一次函数关系式为y=kx+b(k≠0).当x=25时,y=25,当x=30时,y=20,即函数关系式为y=-x+50.(2)W=(x-20)(-x+50)=-x2+70x-1000=-(x-35)+225.故当销售价为每件35元时,日销售利润最大,最大利润是225元.例5：如图所示,顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A,B两点,且点A在x轴上,点B的横坐标为2,连接AM,BM.(1)求抛物线的函数解析式;(2)判断△ABM的形状,并说明理由;(3)把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点.若将(1)中抛物线平移,使其顶点为(m,2m),当m满足什么条件时,平移后的抛物线总有不动点?【解析】(1)由条件可分别求得A,B的坐标,设出抛物线的解析式,利用待定系数法可求得抛物线解析式.(2)结合(1)中A,B的坐标,根据勾股定理可分别求得AB,AM,BM,可得到AB2+AM2=BM2,可判定△ABM为直角三角形.(3)由条件可写出平移后的抛物线的解析式,与y=x联立,可得到关于x的一元二次方程,根据根的判别式可求得m的取值范围.解:(1)∵点A为直线y=x+1与x轴的交点,∴A(-1,0).又点B的横坐标为2,代入y=x+1可求得y=3,∴B(2,3).∵抛物线的顶点在y轴上,∴可设抛物线的解析式为y=ax2+c,把A,B两点的坐标分别代入可得解得∴抛物线的解析式为y=x-1.(2)△ABM为直角三角形.理由如下:由(1)中抛物线的解析式为y=x-1可知点M的坐标为(0,-1),∴AM=,AB===3,BM==2,∴AM+AB=2+18=20=BM,∴△ABM为直角三角形.(3)当抛物线y=x-1平移后顶点坐标为(m,2m)时,其解析式为y=(x-m)+2m,即y=x-2mx+m+2m,与y=x联立,可得消去y整理可得x-(2m+1)x+m2+2m=0,∵平移后的抛物线总有不动点,∴方程x-(2m+1)x+m+2m=0总有实数根,∴Δ≥0,即(2m+1)-4(m+2m)≥0,解得m≤,即当m≤时,平移后的抛物线总有不动点.例6：如图所示,对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax+bx+c(a≠0)与x轴相交于A,B两点,其中A点的坐标为(-3,0).(1)求B点的坐标;(2)已知a=1,C为抛物线与y轴的交点.①若P点在抛物线上,且S△POC=4S△BOC,求点P的坐标;②设Q点是线段AC上的动点,作QD⊥x轴交抛物线于D点,求线段QD长度的最大值.【解析】(1)已知抛物线y=ax+bx+c的对称轴为直线x=-1,交x轴于A,B两点,其中A点的坐标为(-3,0),根据二次函数图象的对称性,即可求得B点的坐标.①当a=1时,先由对称轴为直线x=-1,求出b的值,再将B(1,0)代入,求出二次函数的解析式为y=x+2x-3,得到C点的坐标,然后设P点坐标为(x,x+2x-3),根据S△POC=4S△BOC列出关于x的方程,解方程求出x的值,进而得到P点的坐标.②先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=-x-3,再设Q点坐标为(x,-x-3),则D点坐标为(x,x+2x-3),然后用含x的代数式表示QD,根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值.解:(1)∵对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax+bx+c(a≠0)与x轴相交于A,B两点,∴A,B两点关于直线x=-1对称,∵点A的坐标为(-3,0),∴点B的坐标为(1,0).(2)①当a=1时,∵抛物线y=x+bx+c的对称轴为直线x=-1,∴-=-1,解得b=2.将B(1,0)代入y=x+2x+c,得1+2+c=0,解得c=-3,则二次函数的解析式为y=x+2x-3,∴抛物线与y轴的交点C的坐标为(0,-3),OC=3.设P点坐标为(x,x+2x-3),∵S△POC=4S△BOC,∴×3×|x|=4××3×1,∴|x|=4,x=±4.当x=4时,x+2x-3=