22春“数学与应用数学”专业《常微分方程》在线作业一答案参考5

22春“数学与应用数学”专业《常微分方程》在线作业答案参考1.函数y=6x-5-sin(e^x)的一个原函数是6x-cos(e^x)。()

A.正确

B.错误

参考答案：B

2.有限多个函数的线性组合的不定积分等于他们不定积分的线性组合。()

A.正确

B.错误

参考答案：A

3.设函数f(x)=x(x-1)(x-3)，则f'(0)=()

A.0

B.1

C.3

D.2

参考答案：C

4.据理回答：(1)何种函数具有“任意下和等于任意上和”的性质?(2)何种连续函数具有“所有下和(

据理回答：(1)何种函数具有“任意下和等于任意上和”的性质?(2)何种连续函数具有“所有下和(或上和)都相等”的性质?(3)对于可积函数，若“所有下和(或上和)都相等”，是否仍有(2)的结论?

正确答案：

5.设函数f(x)在(a，b)内可导，且f&39;(x)=2，则f(x)在(a，b)内()。

A.单调增加

B.单调减少

C.是常数

D.不能确定单调性

参考答案：A

6.当x→1时，与1-x2，指出题中的无穷小量是同阶无穷小量、等价无穷小量还是高阶无穷小量?

当x→1时，与1-x2，指出题中的无穷小量是同阶无穷小量、等价无穷小量还是高阶无穷小量?

当x→1时，与1-x^2是同阶无穷小

7.一枚硬币前后掷两次所出现可能结果的全部所组成的集合，可表示为()

A.{正面，反面}

B.{(正面，正面)、(反面，反面)}

C.{(正面，反面)、(反面，正面)}

D.{(正面，正面)、(反面，正面)、(正面，反面)、(反面，反面)}

参考答案：D

8.设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0是实系数多项式，n≥2，且某个ak=0(1≤k≤n-1)，及当i≠k时，ai≠0。证明：若f(x)有n个

设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0是实系数多项式，n≥2，且某个ak=0(1≤k≤n-1)，及当i≠k时，ai≠0。证明：若f(x)有n个相异的实根，则ak-1·ak+1＜0

证法1

由罗尔定理可知，在可导函数的两个零点之间，其导数在某点为零,因此，如果f(k-1)(x)有n-k+1个相异的零点，则f(k)(x)有n-k个零点，且f(k)(x)的零点位于f(k-1)(x)的每两个相邻零点之间

由于f(x)=anxn+…+a1x+a0，则

f(k-1)(x)=C0+C1x+C2x2+…+Cn-k+1xn-k+1其中C0=(k11)!ak-1,C1=k！ak=0,

假设ak-1,ak+1同号，不妨设ak-1＞0，ak+1＞0，则f(k-1)(x)在点x=0的左方某邻域内单调减少；在点x=0的右方某邻域内单调增加,而f(k)(0)=0，可知f(k-1)(0)=C0＞0为f(k-1)(x)的极小值

若f(k)(x)无其他零点，则对任意x≠0，应有f(k-1)(x)＞f(k-1)(0)=C0＞0，因此f(k-1)(x)也没有零点，矛盾

若x0是f(k)(x)与x=0相邻的零点，则在x=0与x0之间有f(k-1)(x)≥C0＞0，这与f(k-1)(x)在0与x0为端点的区间内存在零点矛盾

从而可知ak-1·ak+1＜0

证法2

由于

f(k-1)(x)=C0+C1x+C2x2+…+Cn-k+1xn-k+1其中C0=(k-1)!ak-1≠0,C1=k！ak=0，

f(k-1)(x)有n-k+1个互异的零点，设为x1＜x2＜…＜xn-k+1，

由于C0≠0，可见

x1·x2·…·xn-k+1≠0则多项式

ψ(x)=Cn-k+1+Cn-kx+…+C2xn-k-1+C1xn-k+C0xn-k+1有互异的零点由罗尔定理可知

有不相等的二实根但C1=0，因此

即

ak-1·ak+1＜0由前面几题可以发现，讨论方程根的存在性，常常利用函数的单调性、函数的极值、闭区间上连续函数的介值定理、罗尔定理以及综合运用上述性质

9.设f(x)，g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0，f"(x)≥0，g"(x)≥0,证明：对任何a∈[0，1]有

设f(x)，g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0，f"(x)≥0，g"(x)≥0,证明：对任何a∈[0，1]有

证法1设

则F(x)在[0，1]上可导，并且

F'(x)=g(x)f'(x)-f'(x)g(1)=f'(x)[g(x)-g(1)]

由于x∈[0，1]时，f'(x)≥0，g'(x)≥0，表明g(x)在[0，1]上广义单调增加，所以F'(x)≤0，即F(x)在[0，1]上广义单调减少

注意到

而故F(1)=0

因此，x∈[0，1]时，F(x)≥0,由此可得对任何a∈[0，1]，有

证法2

因为所以

又由于x∈[0，1]时，f'(x)≥0，所以f(x)在[0，1]上广义单调增加，则有f(x)≥f(a)，对于任意x∈[a，1]

又由题设，当x∈[0，1]时，有g'(x)≥0，所以

f(x)g'(x)≥f(a)g'(x)，x∈[a,1]于是

从而

注

在证法2中，证明“”时用到了f(x)的单增性和积分性质,在这一步骤中，可以用积分中值定理，具体证明如下：

由积分中值定理知，存在ξ∈[a，1]，使

一般来说，有关定积分的等式或不等式的证明，可将某一积分上限换成x，从而将问题转化为一个有关函数的等式或不等式问题，再通过研究该函数的性态来达到证明的目的，如果用该思路来证明本问题，可考查考生对定积分变上限函数的导数的理解和计算以及利用导数判断函数单调性的掌握，另外，通过对不等式左边的两个被积函数形式的考察，可以想到用定积分的分部积分法来变形，所以本题一般可用以下两种方法证明

10.如果函数g(x)在点x0处或f(u)在点u0处(其中u0=g(x0))不可导，那么复合函数f[g(x)]在x0处是否一定不可导？

如果函数g(x)在点x0处或f(u)在点u0处(其中u0=g(x0))不可导，那么复合函数f[g(x)]在x0处是否一定不可导？

不一定．复合函数求导法则中关于函数g，f的条件是保证复合函数可导的充分条件，而不是必要条件，因此，函数g或f的可导性不满足时，复合函数仍有可能是可导的．

例如：(1)g(x)=|x|在x=0处不可导，f(u)=u2在u=g(0)=0处可导，而f(g(x))=(|x|)2=x2在x=0处可导．

(2)g(x)=x2在x=0处可导，f(u)=|u|在u=g(0)=0处不可导，而f(g(x))=|x2|=x2在x=0处可导.

(3)g(x)=x+|x|在x=0处不可导，f(u)=u-|u|在u=g(0)=0处也不可导，而f(g(x))=x+|x|-|x+|x||在x=0处可导．

11.若函数f(x)在(a，b)内存在原函数，则原函数有()。

A.一个

B.两个

C.无穷多个

D.其他选项都选

参考答案：C

12.设y1=3，y2=3+x2，y3=3+x2+ex都是方程(x2-2x)y-(x2-2)y+(2x-2)y=6x-6的解，则方程的通解为________

设y1=3，y2=3+x2，y3=3+x2+ex都是方程(x2-2x)y-(x2-2)y+(2x-2)y=6x-6的解，则方程的通解为________．

正确答案：y=C1ex+C2e2+3．

y=C1ex+C2e2+3．

13.甲从2，4，6，8，10中任取一数，乙从1，3，5，7，9中任取一数，求甲取得的数大于乙取得的数的概率

甲从2，4，6，8，10中任取一数，乙从1，3，5，7，9中任取一数，求甲取得的数大于乙取得的数的概率

甲从2，4，6，8，10中任取一数，乙从1，3，5，7，9中任取一数各有5种取法，因此共有25种取法，即样本空间含基本事件总数为25；下求A={甲取得数大于乙取得数}含基本事件数，当甲取10时，乙只能取1，3，5，7，9共5种取法；甲取8时，乙只能取1，3，5，7共4种取法，同理当甲取2，4，6时，乙分别只有1，2，3种取法，故A含基本事件数为：1+2+3+4+5=15，因此

14.就p，q的各种情况说明二次曲面z＝x2＋py2＋qz2的类型．

就p，q的各种情况说明二次曲面z＝x2＋py2＋qz2的类型．

正确答案：(1)p＝q＝0时z＝x2是抛物柱面；\r\n(2)q＝0p≠0时若p＞0z＝x2＋py2是椭圆抛物面若p＜0z＝x2＋py2是双曲抛物面；\r\n

(1)p＝q＝0时,z＝x2,是抛物柱面；(2)q＝0,p≠0时,若p＞0,z＝x2＋py2是椭圆抛物面,若p＜0,z＝x2＋py2是双曲抛物面；

15.设c＝｜a｜b＋｜b｜a，且a，b，c都为非零向量，证明：c平分a与b的夹角．

设c＝｜a｜b＋｜b｜a，且a，b，c都为非零向量，证明：c平分a与b的夹角．

正确答案：×

a×c＝｜a｜(a×b)＋｜b｜(a×a)＝｜a｜(a×b)b×c＝｜a｜(b×b)＋｜b｜(b×a)＝｜b｜(b×a)

16.设f(x)具有一阶连续导数，F(x)=f(x)(1＋|sinx|)，则f(0)=0是F&39;(0)存在的()．(A)必要但非充分的条件(

设f(x)具有一阶连续导数，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，则f(0)=0是F'(0)存在的(

)．

(A)

必要但非充分的条件

(B)

充分但非必要的条件。

(C)

充分必要条件

(D)

既非充分也非必要条件

17.设f(x，y)在点(x0，y0)处有f&39;x(x0，y0)=0，f&39;y(x0，y0)=0，则f(x，y)在(x0，y0)点处全微分是零．()

设f(x，y)在点(x0，y0)处有f'x(x0，y0)=0，f'y(x0，y0)=0，则f(x，y)在(x0，y0)点处全微分是零．(

)

参考答案：错误

错误

18.设f″(x)存在，求下列函数y的二阶导数：

设f″(x)存在，求下列函数y的二阶导数：

$

19.设随机变量，求函数y=1-3X的数学期望与方差．

设随机变量