2026年内蒙古中考数学模拟试卷试题及答案详解（精校打印）

第1页（共1页）2026年内蒙古中考数学模拟试卷（4月份）一、单选题（共8小题，，每小题3分，共24分）1．（3分）下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是（）A．北京﹣4.6℃ B．上海5.8℃ C．天津﹣3.2℃ D．重庆8.1℃2．（3分）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）下列计算中，正确的是（）A．a8÷a4＝a2 B．（3a）2＝6a2 C．（a2）3＝a6 D．3a+2b＝5ab4．（3分）如图，AB∥CD，若∠1＝65°，∠2＝120°，则∠3的度数为（）A．45° B．55° C．60° D．65°5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心为点O．若点A（﹣3，1）的对应点为A'（﹣6，2），则点B（﹣2，4）的对应点B'的坐标为（）A．（﹣8，4） B．（8，﹣4） C．（﹣4，8） D．（4，﹣8）6．（3分）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量y（g）与电解的水的质量x（g）满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，y与x之间的函数关系式为（）水的质量x/g4.59183645氢气的质量y/g0.51245A．y=9x B．y＝9x C．y=17．（3分）如图，⊙O是边长为43的等边三角形ABC的外接圆，点D是BC的中点，连接BD，CD．以点D为圆心，BD的长为半径在⊙OA．8π3 B．4π C．16π3 8．（3分）反比例函数y=4x的图象上有P（t，y1），Q（t+4，yA．当t＜﹣4时，y2＜y1＜0 B．当﹣4＜t＜0时，y2＜y1＜0 C．当﹣4＜t＜0时，0＜y1＜y2 D．当t＞0时，0＜y1＜y2二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）9．（3分）从拼音“zhongkao”中随机抽取一个字母，抽中字母o的概率为．10．（3分）若关于x的方程12x2−x+c=0有两个相等的实数根，则11．（3分）“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色．”王勃笔下的滕王阁是我国四大名楼之一，位于江西省南昌市赣江江畔，在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量滕王阁AB的高度．具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面87m的C处，测得滕王阁顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为70°，则测得滕王阁的高度是m（参考数据：tan70°≈3）．12．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长BC至点G，连接DG，∠CDG=14∠AOB，点E为DG的中点，连接OE交CD于点F，若AO＝6EF，DE=23，则DF三、解答题（共6个题，共64分）13．（10分）计算：（1）(−2)（2）a+2a14．（7分）某中学要求学生全员参与社团活动，为了有序开展好此项工作，学校对学生最喜欢的社团类别进行了调查，设置了文化艺术类、科技创新类、社会实践类、兴趣爱好类（以下分别用A，B，C、D表示）四大类，对部分学生进行了抽样调查（每名学生只能选择一个类别），并将调查情况绘制如下两幅不完整的统计图．请根据以上信息，解答下列问题：（1）本次参加抽样调查的学生有，扇形统计图中A部分圆心角的度数为；（2）将条形统计图补充完整；（3）甲、乙两位同学对B，C、D三种类别的喜欢程度都差不多，这两位同学决定在这三种类别中随机选择一类，请用列表或画树状图的方法，求这两位同学选到同一类别的概率．15．（10分）《哪吒之魔童闹海》成为中国电影史上首部票房破百亿的影片，影片中各种角色的周边商品也随之火爆．某网店上架了哪吒、敖丙两种玩偶．若购买3个哪吒玩偶和2个敖丙玩偶共花费140元，且购买一个哪吒玩偶比购买一个敖丙玩偶多花5元．（1）购买一个哪吒玩偶、一个敖丙玩偶各需多少元？（2）若某商店计划购买哪吒和敖丙的玩偶共50个，总费用不超过1400元，则最多可以买多少个哪吒玩偶？16．（12分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，P是BA延长线上的一点，连接AC，∠PCA＝∠B．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若sinB=12，求证：AC＝（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．17．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C，且CO＝BO，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为D，对称轴与线段BC交于点E，求线段DE的长度；（3）若P是第一象限抛物线上的动点，过点P作PH∥y轴，交直线BC于点H，求PH的最大值．18．（13分）在∠AOB中，点C是∠AOB的平分线上一点，过点C作CD⊥OB，垂足为点D，过点D作DE⊥OA，垂足为点E，直线DE，OC交于点F，过点C作CG⊥DE，垂足为点G．（1）观察猜想如图1，当∠AOB为锐角时，用等式表示线段CG，OE，OD的数量关系：；（2）类比探究如图2，当∠AOB为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明；（3）拓展应用当0°＜∠AOB＜90°时，若GFEF=1，请求出ODCD

2026年内蒙古中考数学模拟试卷（4月份）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案ADCBCCCA一、单选题（共8小题，，每小题3分，共24分）1．（3分）下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是（）A．北京﹣4.6℃ B．上海5.8℃ C．天津﹣3.2℃ D．重庆8.1℃【分析】根据﹣4.6℃＜﹣3.2℃＜5.8℃＜8.1℃，即可得出结果．【解答】解：∵﹣4.6℃＜﹣3.2℃＜5.8℃＜8.1℃，∴气温最低的是北京﹣4.6℃，故选：A．【点评】本题考查的是有理数大小比较，正负数，熟练掌握上述知识点是解题的关键．2．（3分）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称及轴对称图形的定义解答即可．【解答】解：A、图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；B、图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；C、图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；D、图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意，故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形及中心对称图形的定义，熟知一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．3．（3分）下列计算中，正确的是（）A．a8÷a4＝a2 B．（3a）2＝6a2 C．（a2）3＝a6 D．3a+2b＝5ab【分析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项法则；对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、a8÷a4＝a4，故此选项不符合题意；B、（3a）2＝9a2，故此选项不符合题意；C、（a2）3＝a6，故此选项符合题意；D、3a与2b不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查合并同类项、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．4．（3分）如图，AB∥CD，若∠1＝65°，∠2＝120°，则∠3的度数为（）A．45° B．55° C．60° D．65°【分析】根据“两直线平行，同位角相等”求出∠ACD＝65°，再根据三角形外角性质求解即可．【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝65°，∴∠ACD＝∠1＝65°，∵∠2＝∠ACD+∠3，∠2＝120°，∴120°＝65°+∠3，∴∠3＝120°﹣65°＝55°，故选：B．【点评】此题考查了平行线的性质和三角形的外角性质，熟记平行线的性质是解题的关键．5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心为点O．若点A（﹣3，1）的对应点为A'（﹣6，2），则点B（﹣2，4）的对应点B'的坐标为（）A．（﹣8，4） B．（8，﹣4） C．（﹣4，8） D．（4，﹣8）【分析】根据点A、A'的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解．【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，点A（﹣3，1）的对应点为A′（﹣6，2），∴△A′B′C′与△ABC的位似比为2，∴点B（﹣2，4）的对应点B′的坐标为（﹣2×2，4×2），即（﹣4，8），故选：C．【点评】本题考查了位似变换，掌握位似变换的性质是解题的关键．6．（3分）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量y（g）与电解的水的质量x（g）满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，y与x之间的函数关系式为（）水的质量x/g4.59183645氢气的质量y/g0.51245A．y=9x B．y＝9x C．y=1【分析】由表格数据可得y是x的正比例函数，进而即可求解．【解答】解：由表格数据可得：xy∴y是x的正比例函数，∴y=1故选：C．【点评】本题考查了求函数关系式，由表格数据判断出函数关系是解题的关键．7．（3分）如图，⊙O是边长为43的等边三角形ABC的外接圆，点D是BC的中点，连接BD，CD．以点D为圆心，BD的长为半径在⊙OA．8π3 B．4π C．16π3 【分析】由题知阴影部分为扇形BDC的面积，求出半径DB的长度和圆心角∠BDC的度数即可求解．【解答】解：如图，连接OD、OB、OC，OD交BC于点H．∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∠BDC＝120°，∵D是弧BC中点，∴OD⊥BC，BH＝CH=12BC＝23，∠∴OB=BH∵OB＝OD，∠BOD＝60°，∴△BOD为等边三角形，∴BD＝OB＝4，∴S=120⋅π⋅故选：C．【点评】本题主要考查了三角形的外接圆、等边三角形的判定和性质、垂径定理、以及扇形面积公式，熟练掌握相关知识点是解题关键．8．（3分）反比例函数y=4x的图象上有P（t，y1），Q（t+4，yA．当t＜﹣4时，y2＜y1＜0 B．当﹣4＜t＜0时，y2＜y1＜0 C．当﹣4＜t＜0时，0＜y1＜y2 D．当t＞0时，0＜y1＜y2【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：∵反比例函数y=4x中，∴此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，A、当t＜﹣4时，t+4＜0，∵t＜t+4，∴y2＜y1＜0，正确，符合题意；B、当﹣4＜t＜0时，点P（t，y1）在第三象限，点Q（t+4，y2）在第一象限，∴y1＜0，y2＞0，∴y1＜0＜y2，原结论错误，不符合题意；C、由B知，当﹣4＜t＜0时，y1＜0＜y2，原结论错误，不符合题意；D、当t＞0时，t+4＞0，∴P（t，y1），Q（t+4，y2）在第一象限，∵t＜t+4，∴y1＞y2＞0，原结论错误，不符合题意．故选：A．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）9．（3分）从拼音“zhongkao”中随机抽取一个字母，抽中字母o的概率为14【分析】直接由概率公式求解即可．【解答】解：从拼音“zhongkao”的8个字母中随机抽取一个字母，抽中字母o的概率为28故答案为：14【点评】此题考查了概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比，熟记概率公式是解题的关键．10．（3分）若关于x的方程12x2−x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为【分析】根据一元二次方程根的判别式即可解决问题．【解答】解：因为关于x的方程12所以Δ＝（﹣1）2﹣4×1解得c=1故答案为：12【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．11．（3分）“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色．”王勃笔下的滕王阁是我国四大名楼之一，位于江西省南昌市赣江江畔，在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量滕王阁AB的高度．具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面87m的C处，测得滕王阁顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为70°，则测得滕王阁的高度是58m（参考数据：tan70°≈3）．【分析】作AE⊥CD于点E，证明四边形ABDE是矩形，在Rt△BDC中，求出BD＝AE＝29m，在Rt△AEC中，求出AE＝CE＝29m，即可求出结论．【解答】解：作AE⊥CD于点E，由题意得：BD⊥AB，BD⊥CD，∴∠AEC＝∠AED＝∠BDE＝∠ABD＝90°，∴四边形ABDE是矩形，∴BD＝AE，DE＝AB，在Rt△BDC中，∠BCD＝90°﹣70°＝20°，CD＝87m，∴∠CBD＝90°﹣20°＝70°，∴tan∠CBD=tan70°=87∴BD≈29m，∴AE＝BD＝29m，在Rt△AEC中，∠ACE＝90°﹣45°＝45°，∴∠CAE＝∠ACE＝90°﹣45°＝45°，∴AE＝CE＝29m，∴DE＝CD﹣CE＝87﹣29＝58m，∴AB＝DE＝58m，即测得滕王阁的高度是58m．故答案为：58．【点评】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，涉及锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值．熟练掌握俯角的概念、直角三角形中边角关系（正切函数）并能灵活运用是解题的关键．12．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长BC至点G，连接DG，∠CDG=14∠AOB，点E为DG的中点，连接OE交CD于点F，若AO＝6EF，DE=23，则DF的长为【分析】连接CE，设EF＝x，证△DOE∽△CEG，得出成比例线段，求出EF，即可．【解答】解：在DF上截取DH＝HE，∴∠FHE＝2∠FDE，设FE＝x，HD＝y，∵DE＝23，∴DF=12−在Rt△HEF中，y2＝（12−x2−y）2+∴y＝6112−∴sin∠FHE=x∵∠AOB＝4∠FDE，∴∠COD＝4∠FDE，∵O是BD的中点，E是DG的中点，∴OE是△BDG的中位线，∴F是CD的中点，∵OC＝OD，∴∠DOF＝2∠FDE＝∠FHE，∴x6∴x＝1，∴DF=11解法2：设∠CDG＝α，∵∠AOB＝4∠CDG＝4α，∵O是BD的中点，E时DG的中点，∴OE∥BG，∵四边形ABCD是矩形，∴OE⊥C，∴∠DOE＝2α，∴∠ODF＝90°﹣2α，∴∠ODE＝90°﹣α，∵∠DEF＝∠G＝90°﹣α，∴∠ODE＝∠OED，∴△OED是等腰三角形，设EF＝m，则OD＝6m，OF＝5m，在Rt△OFD中，DF=11m在Rt△DEF中，11m2+m2＝12，解得m＝1，∴DF=11故答案为：11．【点评】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造相似三角形是关键．三、解答题（共6个题，共64分）13．（10分）计算：（1）(−2)（2）a+2a【分析】（1）根据实数运算的运算法则进行计算；（2）根据分式混合运算的运算法则进行计算．【解答】解：（1）原式＝2+1﹣1+9＝11；（2）原式==1【点评】本题考查了实数的运算和分式的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算．14．（7分）某中学要求学生全员参与社团活动，为了有序开展好此项工作，学校对学生最喜欢的社团类别进行了调查，设置了文化艺术类、科技创新类、社会实践类、兴趣爱好类（以下分别用A，B，C、D表示）四大类，对部分学生进行了抽样调查（每名学生只能选择一个类别），并将调查情况绘制如下两幅不完整的统计图．请根据以上信息，解答下列问题：（1）本次参加抽样调查的学生有600人，扇形统计图中A部分圆心角的度数为108°；（2）将条形统计图补充完整；（3）甲、乙两位同学对B，C、D三种类别的喜欢程度都差不多，这两位同学决定在这三种类别中随机选择一类，请用列表或画树状图的方法，求这两位同学选到同一类别的概率．【分析】（1）用条形统计图中B的人数除以扇形统计图中B的百分比可得本次参加抽样调查的学生人数；用360°乘以A的人数所占的百分比，即可得出答案．（2）求出C类型人数，补全条形统计图即可．（3）列表可得出所有等可能的结果数以及这两位同学选到同一类别的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）本次参加抽样调查的学生有60÷10%＝600（人）．扇形统计图中A部分圆心角的度数为360°×180故答案为：600人；108°．（2）C类型人数为600﹣（180+60+240）＝120（人）．补全条形统计图如图所示．（3）列表如下：BCDB（B，B）（B，C）（B，D）C（C，B）（C，C）（C，D）D（D，B）（D，C）（D，D）共有9种等可能的结果，其中这两位同学选到同一类别的结果有3种，∴这两位同学选到同一类别的概率为39【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、概率公式，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、概率公式是解答本题的关键．15．（10分）《哪吒之魔童闹海》成为中国电影史上首部票房破百亿的影片，影片中各种角色的周边商品也随之火爆．某网店上架了哪吒、敖丙两种玩偶．若购买3个哪吒玩偶和2个敖丙玩偶共花费140元，且购买一个哪吒玩偶比购买一个敖丙玩偶多花5元．（1）购买一个哪吒玩偶、一个敖丙玩偶各需多少元？（2）若某商店计划购买哪吒和敖丙的玩偶共50个，总费用不超过1400元，则最多可以买多少个哪吒玩偶？【分析】（1）设购买一个哪吒玩偶需要x元，一个敖丙玩偶需要y元，根据题意列二元一次方程组求解即可；（2）设购买哪吒玩偶m个，则购买敖丙玩偶（50﹣m）个，根据题意列出不等式求解即可．【解答】解：（1）设购买一个哪吒玩偶需要x元，一个敖丙玩偶需要y元，由题意得3x+2y=140x−y=5解得x=30y=25即购买一个哪吒玩偶需要30元，一个敖丙玩偶需要25元，答：购买一个哪吒玩偶需要30元，一个敖丙玩偶需要25元；（2）设购买哪吒玩偶m个，则购买敖丙玩偶（50﹣m）个，由题意列一元一次不等式得，30m+25（50﹣m）≤1400，解得m≤30，∴m最大为30，答：最多可以买30个哪吒玩偶．【点评】此题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，根据题意正确列出不等式和方程组是关键．16．（12分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，P是BA延长线上的一点，连接AC，∠PCA＝∠B．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若sinB=12，求证：AC＝（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OC．证明OC⊥PC即可证明PC是⊙O的切线；（2）根据sinB=12，得到∠B＝30°，利用圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定即可证明AC＝（3）根据S阴影【解答】（1）证明：AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，如图，连接OC．∴∠ACB＝90°，OB＝OC，∴∠BCO+∠OCA＝90°，∠B＝∠BCO，∵∠PCA＝∠B，∴∠PCA＝∠BCO，∴∠PCA+∠OCA＝90°，即∠OCP＝90°，∴OC⊥PC，又∵OC为圆的半径，∴PC是⊙O的切线；（2）证明：∵sinB=1∴∠B＝30°，∴∠PCA＝∠B＝30°．由（1）知，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝60°，∴∠P＝∠CAB﹣∠PCA＝30°，∴∠PCA＝∠P，∴AC＝AP；（3）解：由（2）知，∠P＝∠PCA＝∠B＝30°，∴∠COP＝∠B+∠BCO＝∠B+∠B＝60°，∵⊙O的半径为2，∴OC＝2，在Rt△OCP中，∠P＝30°，∴PC＝23．∴S阴影＝S△OCP﹣S扇形AOC=12×2×23−60360×【点评】本题属于圆的综合题，主要考查了切线的判定，特殊角的三角函数的应用，圆周角定理，等腰三角形的判定，扇形的面积公式，熟练掌握性质和公式是解题的关键．17．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C，且CO＝BO，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为D，对称轴与线段BC交于点E，求线段DE的长度；（3）若P是第一象限抛物线上的动点，过点P作PH∥y轴，交直线BC于点H，求PH的最大值．【分析】（1）根据题意可求得点C，B的坐标，将A，B坐标代入抛物线解析式求出a，b的值，即可得到抛物线解析式；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点C，B的坐标代入求得k，b的值，即可求得直线BC的解析式，再求DE即可；（3）设P（t，﹣t2+2t+3），则H（t，﹣t+3），则PH＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t＝﹣（t−32）2【解答】解：（1）在抛物线y＝ax2+bx+3中，令x＝0，得y＝3，∴C（0，3），∴CO＝3，∵CO＝BO，∴BO＝3，∴B（3，0），∵A（﹣1，0），∴a−b+3=09a+3b+3=0解得：a=−1b=2∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，∵B（3，0），C（0，3），∴3k+b=0b=3解得：k=−1b=3∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，∵抛物线y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D坐标为（1，4），∴当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，∴E（1，2），∴DE＝2；（3）设P（t，﹣t2+2t+3），则H（t，﹣t+3），∴PH＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t＝﹣（t−32）2当t=32时，则PH【点评】本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，抛物线顶点公式，用坐标表示线段长度、二次函数最值问题，难度不大，熟练掌握相关知识是解题的关键．18．（13分）在∠AOB中，点C是∠AOB的平分线上一点，过点C作CD⊥OB，垂足为点D，过点D作DE⊥OA，垂足为点E，直线DE，OC交于点F，过点C作CG⊥DE，垂足为点G．（1）观察猜想如图1，当∠AOB为锐角时，用等式表示线段CG，OE，O