2025-2026学年北京大学附中下学期八年级期中数学试卷（含答案）

/北京大学附中2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷一、单选题1．下列二次根式中，最简二次根式是（）A． B． C． D．2．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．1，2，3 B．6，8，10 C．，， D．，，3．下列运算正确的是（）A． B．C． D．4．如图，中，，则（）A． B． C． D．5．已知一次函数，那么下列结论正确的是（）A．图象经过第一、二、三象限B．图象经过点C．当时，D．直线是由直线向下平移2个单位长度得到的6．如图，已知O为数轴原点．在数轴上截取线段，过点A作直线n垂直于，在直线n上截取线段，以O为圆心，的长为半径作弧，交数轴于点．根据以上作图过程及所作图形，点C所表示的数是（）A． B．3 C．4 D．7．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且互相平分．若添加下列条件，不能判定四边形ABCD为矩形的是（

）A．AC＝BD B．∠DAB＝90°C．AB＝AD D．∠ADC+∠ABC＝180°8．如图，中D、E分别是、的中点，F是上一点，，若，，则边的长是（）A．14 B．13 C．12 D．119．某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费，分两档收费：第一档是当月用电量不超过240度时实行“基础电价”；第二档是当用电量超过240度时，其中的240度仍按照“基础电价”计费，超过的部分按照“提高电价”收费．设每个家庭月用电量为x度时，应交电费为y元．具体收费情况如折线图所示，根据图象，得出以下结论中错误的是（

）A．“基础电价”是元/度B．“提高电价”是元/度C．当时，与的函数表达式为D．若明明家五月份缴纳电费144元，则明明家这个月用电量为280度10．对于函数的图象我们可以这么理解：如果点在的图象上，那么点一定也在的图象上．我们发现：点和点是关于y轴对称的．若在函数上，存在两个点，给出下面四个结论：①若，当时，x有唯一的对应值5；②当点A在点B上方时，则无论a为何值，都有；③若，，则无论a为何值，都有；

④若对于，，都有，则a满足条件的最大整数值为．上述结论中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题11．若二次根式有意义，则x的取值范围是____________．12．如图，直线与相交于点M，则关于x，y的方程组的解是______________．13．在平面直角坐标系中，若点是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系为：______________（填“”，“”或“”）．14．如图，在中，，D，E分别是，的中点，，，若，，则四边形的面积为______．15．在中，，，点Q在直线上，且，则线段的长为__________．16．观察所给等式寻求规律：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；…直接写出第4个等式：______；根据上述规律，化简：______（直接写出化简后的结果）．17．如图，在梯形中，，，，，．则______，的长为______．18．如图，将正方形绕点顺时针旋转，得到正方形．连接，与正方形交于点，连接，．①；②；③；④；⑤．以上结论中正确的有______（请填写正确结论的序号）．三、解答题19．计算：（1）；（2）已知，求代数式的值．20．已知：．求作：直线AD，使得．作法：如图，①分别以点A、点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、点N；②作直线MN交AC于点E；③以点E为圆心，BE长为半径画弧，交射线BE于点D；④作直线AD．所以直线AD就是所求作的直线．（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接CD，∵______，______，∴四边形ABCD是平行四边形，（________）（填推理的依据）．∴（______）（填推理的依据）．21．在解决问题“已知，求的值”时，小蓝是这样分析与解答的：，，，，，．请你根据小蓝的分析解答过程，解决如下问题：（1）化简：______；（2）若，求的值．22．在矩形中，点E，点F分别为边延长线上的点，且，连接．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若平分，，，求线段的长．23．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为，网格的中心标记为点按要求画四边形，使它的四个顶点均落在格点上，且点为其对角线交点：（1）在图中画一个两边长分别为和的矩形；（2）在图中画一个平行四边形，使它有且只有一条对角线与（1）中矩形的对角线相等；（3）在图中画一个正方形，使它的对角线与（1）中所画矩形的对角线相等．24．在平面直角坐标系中，直线与平行，且过点，过点A作y轴的垂线，垂足为点．

（1）则______，______；（2）点C在y轴上，点，四边形是矩形．①如果矩形的面积小于8，求m的取值范围；②直线与直线交于点E，，直接写出点E的坐标．25．如图，在菱形中，，E是线段上一动点（不与点B，C重合），连接，F在线段上，连接，满足．（1）依题意补全图1，用等式表示、和的数量关系，并证明；（2）连接，过F作的平行线，交于点．写出一个的值，使四边形为平行四边形，并证明．26．在平面直角坐标系中，对于第一象限的，两点，给出如下定义：若轴正半轴上存在点，轴正半轴上存在点，使，且（如图），则称点与点为反射点．对第一象限的点和图形，若图形上存在点，使得点与点为反射点，则称图形为反射图形．（1）在点，，，中，与为反射点的是______（填所有符合要求的序号）；（2）已知，，，．若线段（含端点）为反射图形，求的取值范围；已知，，，，，关于的对称点为，，，，若四边形上至少存在一点，使得四边形为反射图形，直接写出的取值范围．

答案1．【正确答案】A【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开得尽方的因数或式子；②被开方数不含分母，据此求解即可．【详解】选项A：，被开方数7是质数，无平方因数且不含分母，符合最简二次根式的条件．选项B：，即，被开方数含分母10，故不是最简二次根式．选项C：，被开方数12可分解为，其中4是平方数，即被开方数中含有开得尽方的因数，故不是最简二次根式．选项D：，被开方数为完全平方数，即被开方数中含有开得尽方的因数，故不是最简二次根式，故不符合条件．故选A．2．【正确答案】B【分析】本题考查勾股定理的逆定理以及三角形的三边关系，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据勾股定理的逆定理和三角形的三边关系分别对各个选项进行判断即可．【详解】解：A、，不能构成三角形，故A选项不符合题意；B、，能构成直角三角形，故B选项符合题意；C、，不能构成直角三角形，故C选项不符合题意；D、，不能构成直角三角形，故D选项不符合题意；故选B3．【正确答案】D【分析】本题考查了二次根式的运算根据二次根式的乘法法则对A选项进行判断；根据二次根式的减法运算对B选项进行判断；根据二次根式的性质对C选项进行判断；根据二次根式的除法法则对D选项进行判断．【详解】解：A.，所以A选项不符合题意；B.，所以B选项不符合题意；C.，所以C选项不符合题意；D.，所以D选项符合题意；故选D4．【正确答案】C【分析】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质．利用平行四边形的对角相等，邻角互补求解即可．【详解】解：四边形是平行四边形，，，，，，，．故选C．5．【正确答案】B【分析】本题考查了一次函数图象的分布和性质，图象的平移，熟练掌握一次函数图象分布、平移是解题的关键．根据一次函数图象与系数的关系，一次函数的性质，图象的平移，一次函数图象分布解答即可．【详解】解：∵，，∴图象经过第一、二，四象限，故A不符合题意；∵，当时，，∴图象过点，故B符合题意；当时，，∴一次函数与x轴交于点∵，∴y随x的增大而减小∴当时，，故C不符合题意；直线是由直线向上平移2个单位长度得到的，故D不符合题意；故选B．6．【正确答案】D【分析】利用勾股定理求出可得结论．本题考查作图复杂作图，勾股定理，实数与数轴，解题的关键是理解题意，正确计算．【详解】解：在中，，，点C表示的数为．故选D．7．【正确答案】C【分析】首先证出四边形ABCD是平行四边形，再分别对各个选项分别进行判定是不是矩形即可．【详解】解：∵四边形ABCD的对角线相交于点O，且互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，若AC=BD，则四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；若∠DAB=90°，则四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；若AB=AD，则四边形ABCD是菱形，故选项C符合题意；∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC=∠ABC，若∠ADC+∠ABC=180°，∴∠ADC=∠ABC=90°，则四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；故选C．8．【正确答案】C【分析】根据三角形中位线定理求出，进而求出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质计算即可．本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．【详解】解：，E分别是，的中点，是的中位线，，，，在中，E是AC的中点，，故选C．9．【正确答案】B【分析】根据图象，利用待定系数法，费用，电价与用电量的关系，解答判定即可．本题考查了一次函数的运用，理解图示，掌握待定系数法求一次函数解析式，一次函数解决实际问题的方法是解题的关键．【详解】解：根据图象，得“基础电价”是元/度，故A正确，不符合题意；当时，设直线解析式为，把当时，；当时，分别代入解析式，得，解得，故．故C正确，不符合题意；由明明家五月份缴纳电费144元，超过120元，故用电量超过240度，故当时，得，解得，故明明家这个月用电量为280度，正确，不符合题意；根据解析式，得提高电价为元/度，故B错误，符合题意，故选B．10．【正确答案】A【分析】结论①：当时，方程的解为或，存在两个解，故①错误．结论②：点A在点B上方仅表示，不保证，故②错误．结论③：代入和求解即可判断③错误．结论④：根据得到，则，然后得到，，代入求出，进而求解即可．【详解】①当时，当时，得解得得或，结论错误；②点A在点B上方仅说明，但无法确定与的大小关系，结论错误；③将和代入，得，，∴，结论错误；④若对于，，都有，则，，整理得：，，，，，，，即，满足条件的最大整数值为0．故④错误．综上，正确结论的个数是0．故选A．11．【正确答案】【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负是解题的关键；根据二次根式的被开方数是非负数可得，再解不等式即可．【详解】解：若二次根式有意义，则，即.12．【正确答案】【分析】根据图象直接解答即可．【详解】解：∵两直线的交点坐标为(2，4)，∴方程组的解是．13．【正确答案】【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数（k，b为常数）是一条直线，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．【详解】解：∵，∴y随x的增大而减小，又∵，∴.14．【正确答案】4【分析】连接交于M，连接，根据，可判定四边形是平行四边形，再证为的中位线，从而得，然后根据等腰三角形的性质得，据此，可得出，进而证得四边形为菱形，根据等腰三角形的性质得，可在中利用勾股定理求出，然后证为的中位线，可得的长，进而求出，根据菱形的面积公式即可求得答案．【详解】解：如图，连接交于M，连接，，，四边形是平行四边形，点D，E分别是，的中点，为的中位线，，，，，，，四边形为菱形，，，，点E为的中点，，在中，，，由勾股定理得，又点D为的中点，为的中位线，，，菱形的面积．15．【正确答案】或【分析】本题主要考查了勾股定理．分当Q在射线上和当Q在射线上两种情况利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示，当Q在射线上时，∵，，，∴，∴；如图所示，当Q在射线上时，∵，，，∴，∴，∴.16．【正确答案】；【分析】本题主要考查了数字变化的规律及实数的运算，根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题．【详解】解：由题知，因为；；；…，所以第n个等式可表示为当时，第4个等式为由上述规律可知，原式17．【正确答案】45；【分析】此题考查了梯形，直角梯形的性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．由梯形中，，，，可求得与的度数，然后在中，利用直角三角形的性质，求得的度数，继而求得的度数；首先过点B作于点E，于点F，在中，由，，利用三角函数的知识即可求得的长，又由，求得的长，继而求得的长，又由，，，即可解答．【详解】解：梯形中，，，，，，，过点B作于点E，于点F，在中，，，∴，，，，，，，，，∴，∴四边形是矩形，18．【正确答案】①③④【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，由正方形和旋转可得，进而由等腰三角形的性质求出，即可判断①；再根据求出即可判断②；根据等腰三角形的性质求出即可判断③；延长交于点，可证，，即得，得到，即可判断④；过点作于点，过点作于点，过点作于点，由得，再证明得到，即得到，证明四边形是矩形，得到，即可得，即可判断⑤，综上即可求解，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．【详解】解：如图，∵四边形是正方形，，，，，故①正确；∵四边形是正方形，，，故②错误；，，故③正确；延长交于点，，，，，，，，，，，，故④正确；∴四边形是等腰梯形，过点作于点，过点作于点，过点作于点，则，∵，，∴，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，∴，∴，∵，∴，又∵，∴四边形是矩形，，，故⑤错误；综上，结论中正确的有①③④.19．【正确答案】（1）（2）4【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，二次根式的化简．（1）先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）把x的值代入代数式进行计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：∵，∴．20．【正确答案】（1）见详解（2）EC，ED，对角线互相平分的四边形是平行四边形，平行四边形的对边平行．【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明，可得结论．【详解】（1）解：如图，直线AD即为所求；（2）证明：连接CD．∵AE＝EC．BE＝ED．∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），∴AD∥BC（平行四边形的对边平行）.21．【正确答案】（1）（2）【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．（1）把二次根式分母有理化即可；（2）根据题中给出的例子进行计算即可．【详解】（1）解.（2）解：，，，，即，，．22．【正确答案】（1）见详解（2）【分析】本题考查了矩形的性质、角平分线的定义、平行四边形的判定与性质、等角对等边、勾股定理等，熟练掌握以上知识点是关键．（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定；（2）根据角平分线定义及平行线性质得到，则，再利用勾股定理可得．【详解】（1）证明：四边形是矩形，，，点E，点F分别为边延长线上的点，且，，，四边形是平行四边形；（2）解：四边形是矩形，，，平分，，，，，则，，在中，由勾股定理得：，．∴线段的长为．23．【正确答案】（1）见详解（2）见详解（3）见详解【分析】（1）根据网格的特点，矩形的性质即可得到结论；（2）根据（1）的结论，固定点，根据平行四边形的性质，作出点，顺次连接即可得到结论；（3）固定点，根据网格的特点，勾股定理正方形的性质即可得到结论．【详解】（1）解：如图，矩形即为所求；（2）解：如图，平行四边形即为所求；（3）解：如图，正方形即为所求．，且则正方形即为所求．24．【正确答案】（1）1，（2）①；②或【分析】本题主要考查了一次函数点的坐标特征、坐标与图形的性质、矩形的性质等内容．（1）由两直线平行k值相等可得，进而将代入求出b值即可；（2）①画出图形，用m表示出矩形的面积，进而建立不等式求解即可；②根据点D的位置关系，分类讨论，求出点E坐标，进而利用求解即可．【详解】（1）解：直线与平行，，再将代入得，，解得.（2）解：由（1）知直线解析式为，①如图，

由题可知，，，，解得；②令，解得，，分以下三种情况讨论：如图，当点D在点A下方，且点E在y轴右侧时，

此时，，，解得，；如图，当点D在点A下方，且点E在y轴左侧时，

此时，，，，解得，；如图，当点D在点A上方时，

此时，，，，解得，此时不合题意，舍去；综上，点E的坐标为或．25．【正确答案】（1），图及见详解（2），见详解【分析】（1）补全图形，