2021大学初等数论平时测验+期末考题库及完整答案

2021大学初等数论平时测验+期末考题库及完整答案

一、单项选择题（总共10题，每题2分）1.下列哪个数是素数？A.15B.23C.27D.332.若a≡b(modm)，则下列哪个式子一定成立？A.a+c≡b+c(modm)B.a-c≡b-c(modm)C.a×c≡b×c(modm)D.a÷c≡b÷c(modm)3.欧拉定理适用于以下哪种情况？A.任意正整数a和nB.a与n互素C.n必须是素数D.a必须是素数4.若a≡3(mod5)，b≡4(mod5)，则a+b≡?(mod5)A.0B.1C.2D.35.下列哪个数是模7的二次剩余？A.2B.3C.5D.66.若p是素数，且p≡1(mod4)，则关于-1的二次剩余，下列说法正确的是？A.-1是模p的二次剩余B.-1不是模p的二次剩余C.无法判断D.取决于p的具体值7.下列哪个是同余方程x²≡2(mod5)的解？A.1B.2C.3D.48.若a≡b(modm)，且d|m，则下列哪个结论正确？A.a≡b(modd)B.a≡b(modm/d)C.a≡b(modm+d)D.以上都不对9.下列哪个数是模11的原根？A.2B.3C.5D.710.若n是合数，则欧拉函数φ(n)与n的关系是？A.φ(n)=nB.φ(n)<nC.φ(n)>nD.无法确定二、填空题（总共10题，每题2分）1.若a≡4(mod7)，则a²≡______(mod7)。2.欧拉函数φ(10)=______。3.若a≡b(modm)，且c≡d(modm)，则a+c≡______(modm)。4.若p是素数，则φ(p)=______。5.若a≡3(mod5)，则a³≡______(mod5)。6.若n=p₁^k₁p₂^k₂…p_r^k_r，则φ(n)=______。7.若a≡2(mod3)，b≡1(mod3)，则ab≡______(mod3)。8.若a≡5(mod6)，则a²≡______(mod6)。9.若a≡4(mod9)，则a⁻¹≡______(mod9)。10.若p是奇素数，则勒让德符号(2/p)=______当p≡±1(mod8)。三、判断题（总共10题，每题2分）1.若a≡b(modm)，则a²≡b²(modm)。（）2.若a≡b(modm)，且c≡d(modm)，则ac≡bd(modm)。（）3.若a≡b(modm)，则a≡b(modn)对所有n|m成立。（）4.若a≡b(modm)，则a+c≡b+c(modm+c)。（）5.若a≡b(modm)，则a^k≡b^k(modm)对所有正整数k成立。（）6.若a≡b(modm)，且c≡d(modm)，则a/c≡b/d(modm)。（）7.若a≡b(modm)，则a≡b(mod2m)。（）8.若a≡b(modm)，且a≡b(modn)，则a≡b(modlcm(m,n))。（）9.若a≡b(modm)，则a≡b(modm+1)。（）10.若a≡b(modm)，则a≡b(modm²)。（）四、简答题（总共4题，每题5分）1.简述欧拉定理的内容及其适用条件。2.解释什么是模m的完全剩余系，并举例说明。3.简述中国剩余定理的基本思想，并给出一个简单的例子。4.什么是二次剩余？如何判断一个数是否是模p的二次剩余？五、讨论题（总共4题，每题5分）1.讨论费马小定理与欧拉定理的关系，并说明它们的应用场景。2.分析模m的原根存在的条件，并举例说明哪些模数存在原根。3.讨论同余方程x²≡a(modp)的解的存在性及其求解方法。4.探讨欧拉函数φ(n)的性质及其在数论中的应用。---答案及解析一、单项选择题1.B2.A3.B4.C5.A6.A7.C8.A9.A10.B二、填空题1.22.43.b+d4.p-15.26.n(1-1/p₁)(1-1/p₂)…(1-1/p_r)7.28.19.710.1三、判断题1.√2.√3.×4.×5.√6.×7.×8.√9.×10.×四、简答题1.欧拉定理指出，若a与n互素，则a^φ(n)≡1(modn)，其中φ(n)是欧拉函数。适用条件是a与n互素。2.模m的完全剩余系是指一组整数，它们在模m下互不同余，且覆盖所有可能的余数。例如，{0,1,2,3,4}是模5的完全剩余系。3.中国剩余定理指出，若m₁,m₂,…,m_r两两互素，则同余方程组x≡a₁(modm₁),x≡a₂(modm₂),…,x≡a_r(modm_r)有唯一解模M=m₁m₂…m_r。例如，解x≡2(mod3)和x≡3(mod5)得x≡8(mod15)。4.二次剩余是指存在x使得x²≡a(modp)。判断方法是利用勒让德符号，若(a/p)=1，则a是模p的二次剩余。五、讨论题1.费马小定理是欧拉定理的特殊情况，当n为素数p时，φ(p)=p-1，故a^(p-1)≡1(modp)。费马小定理常用于素性测试，欧拉定理则用于更一般的模运算。2.模m的原根存在当且仅当m=2,4,p^k或2p^k，其中p是奇素数。例如，模5的