初中数学九年级下册《相似三角形的判定（二）》教案

初中数学九年级下册《相似三角形的判定（二）》教案

一、课标要求与核心素养解读

数学课程标准（2022年版）对图形与几何领域中的“图形的相似”明确提出要求：了解相似三角形的判定定理；会利用相似三角形的判定定理判定两个三角形相似；能运用相似三角形的知识解决一些简单的实际问题。本课时内容处于“图形的性质”与“图形的变化”的交汇点，是学生从全等到相似、从定性到定量研究图形关系的关键进阶。

核心素养导向：

1.直观想象与几何直观：通过画图、测量、观察、比较，从具体图形中抽象出几何命题，培养空间观念和图形感知能力。

2.逻辑推理：经历“操作—猜想—验证—证明”的完整过程，体会合情推理与演绎推理的有机结合，发展严谨的逻辑思维能力和数学表达力。

3.数学建模：将现实世界中“放大”、“缩小”、“看起来一样”等模糊描述，转化为“对应边成比例、对应角相等”的精确数学模型，并运用判定定理解决测量等问题。

4.运算能力：在验证“三边成比例”时涉及比例计算，训练比例运算的准确性和灵活性。

二、教材分析

本课内容选自人教版九年级下册第二十七章《相似》的第二节“相似三角形”的第二课时。第一课时学生已学习了相似多边形的定义及相似三角形的预备定理（平行线分线段成比例推论）。本课时承接上文，旨在探索并证明两个独立的、更具一般性的三角形相似判定定理，为后续学习相似三角形的性质、位似图形以及锐角三角函数奠定坚实的理论基础。教材编排遵循从特殊到一般、从实验几何到论证几何的原则，结构清晰，逻辑连贯。

三、学情分析

认知基础：

1.学生已掌握全等三角形的判定方法（SSS,SAS,ASA,AAS，HL），具备通过边、角条件判定两个三角形关系的基本经验。

2.学生已理解相似多边形的定义（对应角相等，对应边成比例），并初步掌握了通过平行线构造相似三角形的方法。

3.具备基本的尺规作图、测量和比例计算能力。

可能遇到的困难：

1.认知迁移的负干扰：将全等判定中的“边相等”迁移到相似判定时，容易机械地理解为“边相等”而非“边成比例”，忽略“比例”这一核心。

2.定理证明的理解障碍：“三边成比例”定理的证明需要构造辅助线并综合运用预备定理，逻辑链条较长，是学生推理能力的挑战。

3.“夹角”的敏感性：在“两边成比例且夹角相等”的判定中，学生容易忽略“夹角”这一关键限制条件，错误地认为“两边成比例且其中一边的对角相等”也能判定相似（即SSA谬误）。

4.定理的灵活选择：面对具体问题时，如何快速分析已知条件，准确选择最便捷的判定定理，需要一定的思维训练。

四、教学目标

1.知识与技能：

1.理解并掌握相似三角形的判定定理2：三边成比例的两个三角形相似。

2.理解并掌握相似三角形的判定定理3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

3.能准确叙述定理的条件与结论，并能用符号语言规范表达。

4.能初步运用这两个判定定理证明两个三角形相似，并进行简单的计算。

2.过程与方法：

1.经历动手操作、度量计算、提出猜想、验证猜想、逻辑证明的探索过程，积累数学活动经验。

2.通过类比全等三角形的判定方法，体会从特殊（全等）到一般（相似）的数学思想。

3.在定理的应用中，学习分析条件、选择判据的思维方法。

3.情感、态度与价值观：

1.在探究活动中获得成功的体验，建立学好数学的自信心。

2.感受数学定理的严谨性与和谐美，培养理性精神和科学态度。

3.体会相似三角形在实际生活中的广泛应用价值，增强应用意识。

五、教学重难点

1.教学重点：相似三角形判定定理2和定理3的内容及其初步应用。

2.教学难点：判定定理2的证明；在具体问题中根据条件灵活选择合适的判定方法。

六、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（几何画板动态演示）、三角板、圆规、导学案。

2.学生准备：直尺、量角器、圆规、练习本、导学案。

七、教学过程设计(核心环节，详案)

（一）情境唤醒，问题导学（预计时间：8分钟）

活动1：技术情境导入

教师利用几何画板动态演示：

1.展示一组图片：同一建筑物在不同距离拍摄的照片、地图与原地区、放大镜下的文字。提问：“这些现象背后的共同几何原理是什么？”（相似变换）

2.在屏幕上绘制任意△ABC。设定一个比例系数k（如k=0.5，2），动态生成一个新△A’B’C’，使得其三条边长度始终满足：A’B’=k·AB，B’C’=k·BC，C’A’=k·CA。拖动点A、B、C改变原三角形形状，观察新三角形随之变化。

教师提问：“同学们，在这个动态过程中，新三角形和原三角形的形状始终有什么关系？为什么？我们仅仅通过控制‘三边对应成比例’，能保证它们相似吗？”

活动2：回顾与类比

引导学生回顾：

1.相似三角形的定义是什么？（三个角对应相等，三边对应成比例）

2.我们已经学过哪种判定三角形相似的方法？（平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似——预备定理）

3.回忆全等三角形的判定，有哪些简便方法？（SSS,SAS,ASA…）

教师引导：“类比全等三角形的判定，我们能否找到比定义更简便的相似三角形判定方法？比如，是否‘三边对应成比例’就足够了？或者‘两边成比例且有一个角相等’就足够了？今天，我们就化身几何侦探，一起来探寻这些问题的答案。”

【设计意图】从生活和技术双重情境切入，激发兴趣。动态演示将“三边成比例”的条件直观化，引发认知冲突和探究欲望。类比全等判定的学习路径，为学生提供明确的研究思路和方法论指导。

（二）合作探究，建构新知（预计时间：25分钟）

探究活动一：三边成比例的两个三角形相似（定理2）

步骤1：动手实验，形成猜想

学生以小组为单位，完成导学案上的任务一：

1.在练习本上任意画一个△ABC。

2.利用尺规作图（或计算后近似作图），画出△A’B’C’，使得A’B’:AB=B’C’:BC=C’A’:CA=2:1（或3:1等确定比例）。

3.用量角器分别测量两个三角形的三个内角，记录数据，比较对应角的大小。

4.小组内交流各自的发现。

教师巡视指导，收集典型数据。请两到三个小组汇报结果。

汇总现象：几乎所有小组发现，在满足上述边条件时，∠A’≈∠A，∠B’≈∠B，∠C’≈∠C。

提出猜想：三边对应成比例的两个三角形相似。

步骤2：理性验证，逻辑证明

教师引导：“测量有误差，观察得结论。数学需要严密的逻辑证明。如何证明‘如果三边成比例，那么对应角相等’？”

引导学生回顾预备定理，并思考如何建立两个三角形的联系。教师通过课件，展示分析思路，并引导学生共同完成证明。

已知：在△ABC和△A’B’C’中，\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{C'A'}{CA}=k

。

求证：△ABC∽△A’B’C’。

分析：设法将△A’B’C’“搬”到△ABC上，使它们部分重合。关键是在△ABC上构造一个与△A’B’C’全等的三角形。

证明：（教师板书，学生同步思考）

1.构造辅助图形：在边AB（或其延长线）上截取AD=A’B’，过点D作DE//BC，交AC于点E。

根据平行线分线段成比例定理的推论，可得△ADE∽△ABC。

∴\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}

。

2.建立联系：∵AD=A’B’，且\frac{A'B'}{AB}=k

，∴\frac{AD}{AB}=k

。

又∵\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=k

，且\frac{C'A'}{CA}=k

，∴AE=C’A’（因为AC是定长，比例相同则对应线段相等）。

同理，由\frac{DE}{BC}=k

和\frac{B'C'}{BC}=k

，可得DE=B’C’。

3.转化问题：在△ADE和△A’B’C’中，

AD=A’B’（已作），AE=C’A’（已证），DE=B’C’（已证）。

∴△ADE≌△A’B’C’（SSS）。

4.得出结论：∵△ADE∽△ABC，且△ADE≌△A’B’C’，

∴△ABC∽△A’B’C’。

师生共同归纳判定定理2：三边成比例的两个三角形相似。

符号语言：在△ABC和△A’B’C’中，若\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{C'A'}{CA}

，则△ABC∽△A’B’C’。

探究活动二：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（定理3）

步骤1：类比迁移，提出猜想

教师提问：“类比全等SAS判定，对于相似，我们能猜想‘两边成比例且夹角相等’吗？这里的‘夹角’为什么重要？”

学生思考并讨论。教师可提示：回忆全等中的SSA为什么不行？相似中会不会有类似问题？

步骤2：实验与反例辨析

学生完成导学案任务二：

1.画一个锐角∠MAN。

2.在AM上取点B、B‘，使AB=4cm，AB’=2cm；在AN上取点C，使AC=5cm。连接BC。

3.以A为圆心，3cm为半径画弧，交AN于另一点C’。连接B‘C’。

（此时，\frac{AB'}{AB}=\frac{1}{2}

,\frac{AC'}{AC}=\frac{3}{5}

，两边成比例，但∠A是公共角。测量∠B和∠B’，观察△ABC与△AB‘C’相似吗？）

4.重新调整，使得\frac{AB'}{AB}=\frac{AC'}{AC}

，再观察。

通过实验，学生直观感受：仅有“两边成比例和一个等角”，若该角不是两边的夹角，不能保证相似。

步骤3：猜想与证明

基于实验，提出猜想：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

师生共同完成证明（思路类比定理2）：

已知：在△ABC和△A’B’C’中，\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC}

，且∠A=∠A’。

求证：△ABC∽△A’B’C’。

证明：在AB上截取AD=A’B’，过D作DE//BC交AC于E。证△ADE∽△ABC，再证△ADE≌△A’B’C’（SAS）即可。

师生共同归纳判定定理3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

符号语言：在△ABC和△A’B’C’中，若\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC}

，且∠A=∠A’，则△ABC∽△A’B’C’。

强调：“夹角相等”是定理成立的必要条件。

【设计意图】本环节是教学的核心。通过“实验—猜想—证明”的完整数学探究过程，让学生亲历知识的生成，而非被动接受。定理2的证明是难点，通过分析引导、板书示范，帮助学生突破。定理3通过辨析“夹角”关键词，并与SSA反例对比，深化理解，避免误区。两个定理的探索过程，深刻体现了从合情推理到演绎推理的数学思维范式。

（三）辨析理解，深化认知（预计时间：7分钟）

多媒体出示辨析题（学生口答，说明理由）：

1.下列条件能否判定△ABC∽△A’B’C’？为什么？

(1)AB=5,BC=4,CA=3；A’B’=10,B’C’=8,C’A’=6。（能，三边对应成比例）

(2)∠A=40°,AB=8,AC=6；∠A’=40°,A’B’=12,A’C’=9。（能，两边成比例且夹角相等）

(3)∠A=40°,AB=8,AC=6；∠B’=40°,A’B’=12,B’C’=9。（不能，40°角不是成比例两边AB与AC的夹角）

(4)AB=8,BC=6,CA=4；A’B’=4,B’C’=3,C’A’=2。（能，三边对应成比例。强调顺序对应）

(5)AB=10,BC=9,∠B=70°；A’B’=5,B’C’=4.5,∠C’=70°。（不能，70°角虽相等，但分别是BC与AB的夹角、A‘B’与B‘C’的夹角？需要确认对应关系。此处设计歧义，强调“对应”）

2.类比表：师生共同完成下表，系统对比全等与相似的判定。

判定类型

全等三角形（特殊相似，k=1）

相似三角形（一般情况）

边角组合1

SSS三边相等

三边成比例

边角组合2

SAS两边及其夹角相等

两边成比例且夹角相等

边角组合3

ASA/AAS两角及其夹边/一角对边相等

AA（两角相等）（下节课内容）

特殊直角三角形

HL斜边直角边相等

一直角边斜边成比例？（可作为拓展思考）

【设计意图】通过辨析正反例，特别是针对“夹角”和“对应边”这两个易错点进行强化训练，巩固对定理条件的精确理解。类比表的完成，将新知识系统化地纳入原有认知结构，建立全等与相似之间的深刻联系，实现知识的融会贯通。

（四）分层应用，巩固提升（预计时间：12分钟）

A层：基础应用（面向全体）

1.例题精讲：教材例题。

已知：如图，在△ABC和△ADE中，\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}

。求证：△ABC∽△ADE。

教师引导分析：条件给出了三组边的比例式，但需注意对应关系。由比例式\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}

，可转化为\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}

吗？哪个更有利于应用定理？强调根据结论（△ABC∽△ADE）来确定对应顶点，从而确定对应边。规范板书证明过程。

2.同步练习：根据下列条件，判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。

(1)AB=4,BC=6,CA=8；DE=6,EF=9,FD=12。

(2)∠A=70°,AB=6,AC=4；∠D=70°,DE=9,DF=6。

B层：综合应用（面向大多数）

3.如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且AD=3cm,BD=2cm,AE=2.7cm,CE=2.1cm。求证：△ADE∽△ACB。

分析点拨：要证△ADE∽△ACB，需找对应边比例。已知AD、AE在△ADE中，它们的对应边分别是△ACB中的哪两边？如何利用AD、BD求AB？利用AE、CE求AC？得到\frac{AD}{AC}

和\frac{AE}{AB}

是否相等？注意对应。

C层：拓展思考（学有余力）

4.跨学科链接（物理光学）：小明自制了一个简易的“小孔成像”装置。蜡烛火焰AB高6cm，距离小孔O（视为一点）15cm，光屏距离小孔O30cm。请用今天所学的相似三角形知识，建立模型并计算光屏上火焰像A‘B’的高度。

分析：抽象出数学模型（两个直角三角形共直角顶点O），利用“两角相等”（对顶角）或“两边成比例且夹角相等”（直角）均可证明相似，进而求解。

【设计意图】分层练习设计满足了不同层次学生的需求，确保全体学生掌握基础，促进多数学生综合应用，鼓励部分学生挑战拓展。例题讲解重在示范审题、分析条件、选择定理和规范书写的过程。拓展题融入物理情境，体现数学作为基础学科的工具价值，培养学生建模能力。

（五）课堂小结，反思升华（预计时间：3分钟）

引导学生从以下三个方面进行总结：

1.知识层面：我们今天学习了哪两个判定三角形相似的新定理？它们的条件和结论是什么？使用时需注意什么？（定理2：三边成比例；定理3：两边成比例且夹角相等。注意“对应”和“夹角”。）

2.方法层面：我们是如何得到这两个定理的？（实验、观察、猜想、证明）。我们运用了哪些数学思想？（类比思想、转化思想、数形结合思想）。

3.结构层面：这两个定理与全等三角形的判定、相似三角形的定义之间有何联系？（全等是相似的特例；定义是根本，定理是工具的简化）。

教师寄语：“今天，我们像数学家一样进行了一次成功的探索。判定定理是我们手中的新工具，但请记住，工具的价值在于运用。下节课，我们将学习更简洁的判定方法，并迎接更复杂的应用挑战。”

（六）布置作业，延伸学习

必做题：教材课后练习相应习题；练习册基础部分。

选做题：1.尝试用不同方法证明定理3。2.寻找生活中利用“两边成比例且夹角相等”原理的实例（如：比例尺地图、工程图纸）。

预习作业：阅读教材下一课时内容，思考：两个角对应相等的两个三角形为什么相似？它与我们学过的三角形内角和定理有什么联系？

八、板书设计

主板书：

27.2.1相似三角形的判定（二）

一、判定定理2：三边成比例的两个三角形相似。

已知：在△ABC和△A’B’C’中，\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{C'A'}{CA}

求证：△ABC∽△A’B’C’

证明：（关键步骤图示与简述）……构造→相似→全等→传递

二、判定定理3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

已知：\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC}

，且∠A=∠A’

求证：△ABC∽△A’B’C’

（证明思路关键词：截取、平行、相似、SAS全等）