山东省济南市商河县2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试卷（含详解）

2024-2025学年山东省济南市商河县七年级（下）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.二十四节气是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令，蕴含着悠久的文化内涵和历史积淀，请你用数学的眼光观察下列四副代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“白露”的作品，其中是轴对称图形的是(    )A. B. C. D.2.“池上无风有落晖，杨花晴后自飞飞.为将纤质凌清镜，湿却无穷不得归.”这是韩愈描写柳絮的《池上絮》.每年的四五月份是我国北方柳絮纷飞的季节，据统计每枚柳絮的质量最轻只有0.000067g.将数据0.000067用科学记数法可表示为(

)A.0.67×10-5 B.6.7×10-5 C.3.下列运算正确的是(

)A.x2+x2=x4 B.4.将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α=44°，则∠β的度数是(

)A.43° B.44° C.45° D.46°5.某数学兴趣小组在做“频率的稳定性”试验时，根据试验结果绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一统计结果的试验最有可能是(

)A.一副扑克牌去掉大小王后，从中任抽一张牌是红桃

B.任意掷一枚质地均匀的硬币，结果是正面朝上

C.从标有数字1，2，3的三张卡片中任抽一张，抽出的卡片标有数字3

D.任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数6.如果一个等腰三角形的两条边长分别为2和6.那么这个等腰三角形的周长是(

)A.11 B.12 C.13 D.147.小明在镜中看到对面电子时钟的示数如图所示，这现在的实际时间为(

)

A.12：01 B.10：21 C.15：10 D.10：518.均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示(图中OABC为一折线)，这个容器的形状是图中(

)

A. B. C. D.9.如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的面积为16，BC=4，分别以点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，连接EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点.则BM+MD长度的最小值为(

)A.6

B.8

C.10

D.1210.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAF=∠CAG=90°，AB=AF，AC=AG，连接FG，交DA的延长线于点E，连接BG，CF，则下列结论：

①BG=CF；

②BG⊥CF；

③∠EAF=∠ABC；

④EF=EG；

⑤S△AFG=S△ABC．

A.2

B.3

C.4

D.5二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11.计算：(a+3)(a-3)=______．12.一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，如果每块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是______．

13.某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”(如图)可抽象为如图所示模型.已知AB垂直于水平地面AE.当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升(即CD与AE始终平行)，在该运动过程中，当∠ABC=150°时，∠BCD的度数为______．14.某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据：鸭的质量/kg0.511.522.533.54烤制时间/min406080100120140160180若鸭的质量为3.2kg时，烤制时间为______min．15.如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部DE上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点B恰好落在左侧书籍的上方边沿，点A，B，C，D，E在同一平面内.已知每本书长20cm，厚度为2cm，则两摞书之间的距离DE为______cm．16.如图，AD为等边△ABC的高，M、N分别为线段AD、AC上的动点，且AM=BN，当BM+CN取得最小值时，∠ANC=______．

三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题6分)

计算：|-3|-(-1)2025-(π-3.1418.(本小题10分)

(1)计算：(3a-2b)2-4b2．

(2)先化简，再求值：[(2x+y)(2x-y)-y(6x-y)]÷2x，其中19.(本小题8分)

如图，在四边形ABCD中，点E为AB延长线上一点，点F为CD延长线上一点，连接EF，交BC于点G，交AD于点H，若∠1=∠2，∠A=∠C，求证：∠E=∠F．

证明：∵∠1=∠3(______)，

∠1=∠2(已知)．

∴______=______(等量代换)．

∴AD/​/BC(______).

∴∠A+∠4=180°(______).

∵∠A=∠C(已知)，

∴∠C+∠4=180°(等量代换)．

∴______/​/______(同旁内角互补，两直线平行)．

∴∠E=∠F(______).20.(本小题9分)

如图所示，小安同学为电力公司设计了一个安全用电的标识，点A、D、C、F在同一条直线上，且AF=DC，BC=EF，BC/​/EF．

(1)求证：AB//DE；

(2)若∠A=20°，∠AFE=102°，求∠E的度数．21.(本小题9分)

如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．

(1)求△ABC的面积；

(2)画出△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l成轴对称；

(3)在直线l22.(本小题10分)

在一个不透明的口袋里装有4个白球和6个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．

(1)从中任意摸出一个球，摸到______球的概率大(填白或红)；

(2)从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是______；

(3)从口袋里取走x个红球后，再放入x个白球，并充分摇匀，若随机摸出白球的概率是45，求x的值．23.(本小题10分)

【问题情境】

我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩之便对儿童公园内的摩天轮进行实地调研.摩天轮上均匀分布60个吊舱，顺时针旋转一周需要20分钟．

【实践过程】

小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度(h)和所用的时间(x)的数据，并绘制图象如图①．

【问题研究】

请根据图①中信息回答：

(1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______；

(2)摩天轮最高点距地面______(米)，摩天轮最低点距地面______(米)；

【问题解决】

(3)如图②，摩天轮某个吊舱从点A旋转到点B需5分钟，求出这个吊舱从点A顺时针旋转到点B所走的路径的长度.(结果保留π)24.(本小题12分)

在一次综合与实践课上，数学老师让同学们以“两条平行线AB、CD和一块直角三角尺EFG(∠EFG=90°,∠EGF=60°,∠FEG=30°)的不同方式摆放”为主题开展数学探究活动．

【初步体验】

(1)如图①，三角尺的60°角的顶点G在CD上.∠1=80°，则∠2的度数为______°.

【基础巩固】

(2)如图②，瑶瑶同学把三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在AB和CD上，请你探索∠AEF与∠FGC之间的数量关系，并说明理由．

【强化应用】

(3)如图③，雅雅同学把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E在AB上.若∠AEG=α，∠DFG=β，请写出∠AEG与∠DFG的数量关系(用含α，β的式子表示)，并说明理由．

25.(本小题12分)

【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法.如图1，OP平分∠MON，A为OM上一点，过点A作AC⊥OP，垂足为C，延长AC交ON于点B，可直接根据______(填字母依据)证明△AOC≌△BOC；

【类比解答】如图2，在△ABC中，∠B+∠BAC=130°，CD平分∠ACB，AE⊥CD于点E，延长AE交BC于点F，求∠AFC的度数；

【实际应用】图3是一块肥沃的三角形土地，其中边AB与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取∠ABC的平分线BD；②过点A作AD⊥BD于点D.已知BC=15，AB=10，△ABC的面积为30，请直接写出△ABD的面积；

【拓展延伸】如图4，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，交CD的延长线上于点E，试探究BE和CD之间的数量关系，并证明你的结论．

答案和解析1.B

解：A，C，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，

B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．

故选：B．

2.B

解：0.000067=6.7×10-5，

故选：B．

3.解：A、原式=2x2，错误；

B、原式=-a6，正确；

C、原式=a2-2ab+b2，错误；

D、原式解：由题意知：AB/​/CD，∠FEG=90°，

过E作EM/​/AB，则EM//CD，

∴∠FEM=∠α，∠GEM=∠β，

∵∠FEM+∠GEM=∠FEG=90°，

∴∠α+∠β=90°，

∵∠α=44°，

∴∠β=90°-44°=46°．

故选：D．

5.C

解：A、一副扑克牌去掉大小王后，从中任抽一张牌是红桃的概率是1352=14，不符合题意；

B、任意掷一枚质地均匀的硬币，结果是正面朝上的概率是12，不符合题意；

C、从标有数字1，2，3的三张卡片中任抽一张，抽出的卡片标有数字3的概率是13≈0.33，符合题意；

D、任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是12，不符合题意．解：当2是腰时，则2+2<6，不能组成三角形，应舍去；

当6是腰时，则三角形的周长是2+6×2=14．

故选：D．

7.D

解：因为是从镜子中看，

所以对称轴为竖直方向的直线，

因为2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反，

所以这时的时刻应是10：51．

故选：D．

8.A

解：均匀地向一个容器注水，函数图象的走势是稍陡，平，陡，

高度升高的速度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．

下面容积较大，中间容积最大，上面容积最小，则相应的排列顺序就为A．

故选A．9.B

解：由作图得：EF是AB的垂直平分线，

∴AM=BM，

∴BM+MD=AM+MD≥AD，

∵AB=AC，D为BC的中点，

∴AD⊥BC，

∵△ABC的面积为16，BC=4，

∴AD=8，

故选：B．

10.D

解：①∵∠BAF=∠CAG=90°，

∴∠BAF+∠BAC=∠CAG+∠BAC，

∴∠FAC=∠BAG，

在△BAG和△FAC中，

AB=AF∠FAC=∠BAGAC=AG，

∴△BAG≌△FAC(SAS)，

∴BG=CF，∠BGA=∠FCA，

故结论①正确；

②设BG与CF交于点P，BH与AC交于点H，如图1所示：

在△AGH中，∠BGA+∠AHG+∠CAG=180°，

在△PCH中，∠FCA+∠PHC+∠CPH=180°，

∵∠BGA=∠FCA，∠AHG=∠PHC，∠CAG=90°，

∴∠CPH=∠CAG=90°，

∴BG⊥CF，

故结论②正确；

③∵∠BAF=90°，

∴∠EAF+∠BAD=90°，

在△ABC中，AD是BC边上的高，

∴∠ABC+∠BAD=90°，

∴∠EAF=∠ABC，

故结论③正确；

④过点F作FK//AG交AE的延长线于点K，如图2所示：

∴∠AFK+∠FAG=180°，∠K=∠EAG，∠EFK=∠EGA，

∵∠BAF=∠CAG=90°，

∴∠BAC+∠FAG=180°，

∴∠AFK=∠BAC，

在△AFK和△BAC中，

∠AFK=∠BACAB=AF∠EAF=∠ABC，

∴△AFK≌△BAC(ASA)，

∴FK=AC，

∵AC=AG，

∴FK=AG，

在△EFK和△EGA中，

∠K=∠EAGFK=AG∠EFK=∠EGA，

∴△EFK≌△EGA(ASA)，

∴EF=EG；

故结论④正确；

⑤∵△EFK≌△EGA，

∴S△EFK=S△EGA，

∴S△EFK+S△AEF=S△EGA+S△AEF，

∴S△AFK=S△AFG，

∵△AFK≌△BAC解：原式=a2-32=a2-9．

故答案是：a12.49解：由图可知，黑色方砖4块，共有9块方砖，

∴小球最终停留在黑砖上的概率是49．

故答案为：49．

13.解：过点B作BM/​/CD，

∵CD/​/AE，

∴BM//CD//AE，

∴∠MBA+∠BAE=180°，∠MBC+∠BCD=180°，

∵AB⊥AE，

∴∠BAE=90°，

∴∠MBA=90°，

∵∠ABC=150°，

∴∠MBC=∠ABC-∠MBA=60°，

∴∠BCD=180°-∠MBC=120°，

故答案为：120°．

14.148

解：设鸭的质量为xkg时，烤制时间为t分钟，

根据表格数据可得，鸭的质量x每增加0.5千克，烤制时间t增加20分钟，

可设t=40+200.5(x-0.5)，

∴t=40x+20，

∴鸭的质量为3.2kg，即x=3，2时，t=40×3.2+20=148(min)．

故答案为：148．

解：由题意可知，BC=AC，∠BDC=∠CEA=∠ACB=90°，

∴∠BCD+∠CBD=∠BCD+∠ACE=90°，

∴∠CBD=∠ACE，

∴△BDC≌△CEA(AAS)，

∴BD=CE=2×2=4(cm)，CD=AE=20cm，

∴DE=CD+CE=20+4=24(cm)，

故答案为：24．

16.105°．

解：∵如图，作BE⊥BC，使BE=AB，连接CE交AB于点F，连接NE，

∵△ABC是等边三角形，且AD为△ABC的高，

∴∠ABC=60°，AB=BC，AD⊥BC，

∴BE/​/AD，BE=BC，

∴∠EBN=∠BAM，

∵∠CBE=90°，

∴∠BCE=∠BEC=45°，

在△EBN和△BAM中，

BE=AB∠EBN=∠BAMBN=AM，

∴△EBN≌△BAM(SAS)，

∴EN=BM，

∴EN+CN=BM+CN，

∵EN+CN≥CE，

∴当点N与点F重合时，EN+CN=CE，此时CE+CN的值最小，

∴此时BM+CN的值也最小，

∴∠ANC=∠AFC=∠ABC+∠BCE=105°，

∴当BM+CN取得最小值时，∠ANC=105°，

故答案为：105°．

17.7.解：|-3|-(-1)2025-(π-3.14)0+(12)-2

=3-(-1)-1+4

=3+1-1+4

=7(1)原式=9a2-12ab+4b2-4b2

=9a2-12ab；

(2)原式=(4x2-y2-6xy+y2)÷2x

=(4x2-6xy)÷2x

=4x2÷2x-6xy÷2x

=2x-3y，

当x=-解：∵∠1=∠3(对顶角相等)，

∠1=∠2(已知)，

∴∠2 =∠3(等量代换)，

∴AD/​/BC(同位角相等，两直线平行)，

∴∠A+∠4=180°(两直线平行，同旁内角互补)，

∵∠A=∠C(已知)，

∴∠C+∠4=180°(等量代换)，

∴CF//EA(同旁内角互补，两直线平行)，

∴∠E=∠F(两直线平行，内错角相等)．

故答案为：对顶角相等；∠2，∠3；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；CF，EA；两直线平行，内错角相等．

20.解：(1)证明：因为AF=CD，

所以AF+FC=CD+FC即AC=DF，

因为BC/​/EF，

所以∠ACB=∠DFE，

在△ABC和△DEF中，

AC=DF∠ACB=∠DFEBC=EF，

所以△ABC≌△DEF(SAS)，

所以∠A=∠D，

所以AB//DE；

(2)因为∠D=∠A=20°，∠AFE=102°，

所以∠EFD=180°-102°=78°，

所以∠E=180°-20°-78°=82°21.解：(1)S△ ABC=3×4-12×2×3-12×2×4-12×1×2=4；22.(1)红；

(2)25；

(3)从口袋里取走x个红球后，再放入x个白球，并充分摇匀，若随机摸出白球的概率是45，

则口袋中现在有白球(4+x)个，红球(6-x)个，根据题意得

4+x10=4解：(1)因为红球的数量多于白球的数量，所以从中任意摸出一个球，摸到红球的概率大，

故答案为：红；

(2)从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是44+6=25，

故答案为：25；

(3)从口袋里取走x个红球后，再放入x个白球，并充分摇匀，若随机摸出白球的概率是45，

则口袋中现在有白球(4+x)个，红球(6-x)个，根据题意得

4+x10=45，

解得x=4．

23.t，h解：(1)在这个变化过程中，自变量是t，因变量是h；

故答案为：t，h；

(2)摩天轮最高点距地面103(米)，摩天轮最低点距地面3(米)；

故答案为：103，3；

(3)∵摩天轮最高点距地面103米，最低点距离地面3米，

∴摩天轮的直径是100米，

∴100π×520=25π(米)

答：所走的路径的长度是632π米．

24.40；

∠AEF+∠FGC=90°，理由见解析；解：(1)∵AB/​/CD，∠1=80°，∠EGF=60°，

∴∠1=∠EGD=80°，

∴∠2=180°-80°-60°=40°，

故答案为：40；

(2)∠AEF+∠FGC=90°，理由如下：

如图，过点F作FP//CD，

∵AB/​/CD，∠EFG=90°，

∴AB//FP//CD，

∴∠AEF=∠EFP，∠FGC=∠GFP，

∴∠AEF+∠FGC=∠EFP+∠GFP=∠EFG，

∴∠AEF+∠F