【专项训练02】立体几何（学生版）

立体几何七类大题梳理题型归纳题型一：空间异面直线夹角的求解（23-24高三上·河北衡水·月考）如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，且是等边三角形，.(1)求证：平面；(2)若是等腰三角形，求异面直线与所成角的余弦值.1．（24-25高三上·江西南昌·开学考试）如图，圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，是的中点，是底面圆周上一点，.(1)求的值；(2)求异面直线与所成角的余弦值.2．（24-25高三上·上海·期中）如图，在直三棱柱中，，.(1)求证：平面；(2)求直线与所成角的余弦值.题型二：空间直线与平面夹角的求解（24-25高三上·江苏南京·期中）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，，，，，，，

(1)求证：平面⊥平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·月考）在三棱柱中，，，，，为中点.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.2．（24-25高三上·云南大理·月考）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧棱底面，.点是棱的中点，点为棱上的一点，且.(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.题型三：空间平面与平面夹角的求解（24-25高三上·湖北·期中）如图，球的半径为，为球面上三点，若三角形为直角三角形，其中.延长与球的表面交于点.(1)求证：平面；(2)若直线与平面所成的角分别为，试求二面角的正弦值.1．（24-25高三上·福建南平·期中）如图，在四棱锥中，点在平面上射影是的外心，且是棱的中点，且平面.

(1)证明：平面；(2)若，求二面角的正弦值.2．（24-25高三上·北京·月考）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，M为线段的动点.(1)若直线平面，求证：为的中点：(2)求证：平面平面(3)若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.题型四：空间点、线、面间的距离求解（24-25高三上·贵州贵阳·月考）如图，是正三角形的一条中位线，，将沿折起，得到四棱锥.(1)证明：平面；(2)若求点到平面的距离.1．（24-25高三上·广东广州·月考）已知四棱柱中，底面ABCD为梯形，，平面，，其中，.，分别是线段和线段上的动点，且，.

(1)求证：平面；(2)若到平面的距离为，求的长度.2．（24-25高三上·福建福州·月考）如图，在直四棱柱中，底面四边形为梯形，，，，．(1)证明：；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求直线BD到平面的距离．题型五：空间几何体的体积求解（23-24高三上·海南海口·月考）如图，在长方体中，，，分别为，的中点．(1)证明：；(2)求三棱锥的体积．1．（24-25高三上·广东深圳·月考）如图，将长方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，其中，，劣弧的长为，为圆的直径，平面与平面的交线为.(1)证明：；(2)若平面与平面夹角的正切值为，求四棱锥的体积．2．（24-25高三上·河南·开学考试）如图，四棱锥中，底面四边形为凸四边形，且，，．(1)证明：；(2)已知平面与平面夹角的余弦值为，求四棱锥的体积．题型六：空间几何体的翻折问题（23-24高三下·山东·模拟预测）如图，在菱形中，，是的中点，将沿直线翻折使点到达点的位置，为线段的中点.(1)求证：平面；(2)若平面平面，求直线与平面所成角的大小.1．（24-25高三上·云南昆明·期中）已知在长方形中，，，点是边的中点，如图甲所示.将沿翻折到，连接，，得到四棱锥，其中，如图乙所示.(1)求证：平面平面；(2)求平面和平面夹角的余弦值.2．（2024·河北承德·二模）如图1，在直角中，为中点，，取中点，连接，现把沿着翻折，形成三棱锥如图2，此时，取中点，连接，记平面和平面的交线为为上异于的一点.

(1)求证：平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度.题型七：空间动点存在性问题的探究（24-25高三上·四川德阳·月考）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为棱上的动点.(1)若为中点，证明：平面；(2)若，在线段上是否存在点使得面与面夹角余弦值为，若存在，求出点位置，若不存在，说明理由.1．（24-25高三上·江西南昌·月考）如图，在矩形纸片中，，沿将折起，使点到达点的位置，且满足平面⊥平面.(1)求证：平面平面，并求的长度；(2)若是线段上（不包括端点）的一个动点，是否存在点，使得直线与平面的夹角为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由.2．（24-25高三上·湖南·月考）如图，侧面水平放置的正三棱台，侧棱长为为棱上的动点.(1)求证：平面；(2)是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点；若不存在，请说明理由.必刷大题1．（24-25高三上·江苏扬州·月考）已知三棱锥底面，点是的中点，点为线段上一动点，点在线段上.(1)若平面，求证：为的中点；(2)若为的中点，求直线与平面所成角的余弦值.2．（24-25高三上·江苏苏州·月考）如图，在平行四边形中，，以为折痕将折起，使点M到达点D的位置，且.(1)证明：平面平面.(2)Q为线段上一点，P为线段上一点，且，求点P到平面ABQ的距离.3．（24-25高三上·浙江宁波·模拟考试）在三棱锥中，侧面是边长为2的等边三角形，，，.

(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值.4．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将△沿折起到△位置，使得（如图2）.(1)求证：平面平面；(2)线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.5．（24-25高三上·北京·期中）如图，在四棱锥中，直线平面.，，，，，平面平面，F为线段的中点，E为线段上一点.(1)证明：；(2)证明：；(3)是否存在点E，使得点E到平面的距离是，若存在求出的值，若不存在请说明理由.6．（24-25高三上·浙江·月考）在四棱锥中，，，底面，点O在上，且.(1)求证：；(2)若，，点在上，平面，求的值；(3)若，二面角的正切值为，求二面角的余弦值.1．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，．(1)若为线段中点，求证：平面．(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值．2．（2024·全国·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点．(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值．3．（2024·全国·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．(1)证明：；(2)求平面PCD与平面PBF所成的二